grupa Weyla

W matematyce , w szczególności w teorii algebr Liego , grupa Weyla (nazwana na cześć Hermanna Weyla ) systemu korzeniowego Φ jest podgrupą grupy izometrii tego systemu korzeniowego. W szczególności jest to podgrupa, która jest generowana przez odbicia przez hiperpłaszczyzny prostopadłe do korzeni i jako taka jest skończoną grupą odbiciową . W rzeczywistości okazuje się, że większość skończonych grup refleksyjnych to grupy Weyla. Abstrakcyjnie, grupy Weyla są skończone grupy Coxetera i są ich ważnymi przykładami.

Grupa Weyla półprostej grupy Liego , półprostej algebry Liego , półprostej liniowej grupy algebraicznej itp. jest grupą Weyla systemu korzeniowego tej grupy lub algebry .

Definicja i przykłady

Grupa Weyla

korzeniowego to grupa

trójkąta równobocznego

Niech będzie systemem korzeniowym w przestrzeni euklidesowej $\ Phi}$ $displaystyle$ . Dla każdego pierwiastka $oznacza$ niech ${\ Displaystyle s_ {\ alfa}}$ odbicie od hiperpłaszczyzny prostopadłej do ${\ Displaystyle \ alpha}$ które jest podane wprost jako α ∈ Φ {\ Displaystyle \ alpha \ in

{\ Displaystyle s _ {\ alfa} (v) = v-2 {\ Frac {(v, \ alfa)} {(\ alfa} ,\alfa }}}\alfa}

,

gdzie $.$ na $V$ } Grupa Weyla z ${\ Displaystyle$ $\ Phi}$ $Displaystyle$ podgrupą ortogonalnej grupy generowanej przez wszystkie $}$ $s_ {$ 's. Zgodnie z definicją systemu korzeniowego, każdy ${\ displaystyle s _ {\ alfa}}$ zachowuje ${\ displaystyle \ Phi}$ , z czego wynika, że $.$ grupą skończoną

w przypadku systemu $korzeniowego$ hiperpłaszczyzny prostopadłe do korzeni to po prostu linie, a grupa Weyla to grupa symetrii trójkąta równobocznego, jak pokazano na $które$ grupa jest izomorficzna z grupą permutacji na trzech elementach, możemy uważać za wierzchołki trójkąta. Zauważ, że w tym przypadku $to$ pełna grupa symetrii systemu głównego; obrót o 60 stopni zachowuje ${\ displaystyle \ Phi}$ $jest$ elementem .

Możemy również $system$ . W tym przypadku $jest$ $to$ przestrzeń wszystkich wektorów w sumują się Korzenie składają się z wektorów postaci $\ Displaystyle e_ {i} -e_ {j}, \, i \ neq j}$ , gdzie ${\ Displaystyle e_ {i}}$ jest ${\ Displaystyle i}$ th standardowy element podstawowy dla ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ . $.$ $pierwiastkiem$ $jest$ transformacja uzyskana przez zamianę wpisów każdego wektora Grupa $jest$ $_$ grupą permutacji

komory Weyla

Zacieniony obszar to podstawowa komora Weyla dla podstawy

{\ Displaystyle \ {\ alfa _ {1}, \ alfa _ {2} \}}

Jeśli $korzeniowym ,$ rozważyć hiperpłaszczyznę prostopadłą $korzenia$ . Przypomnijmy, że $że$ grupa Weyla to grupa przekształceń generowanych przez wszystkie $s_ {\ alpha} }$ $displaystyle$ 'S. Dopełnienie zbioru hiperpłaszczyzn jest odłączone, a każdy połączony element nazywany jest komorą Weyla . Jeśli ustaliliśmy określony zestaw Δ prostych pierwiastków, możemy zdefiniować podstawową komorę Weyla $)$ jako zbiór punktów takich, że $\ alfa, v)> 0}$ $\ displaystyle ($ dla wszystkich ${\ Displaystyle \ alpha \ in \ Delta}$ .

Ponieważ odbicia $korzeni$ również $do$ Zatem każdy element grupy Weyla permutuje komory Weyla.

Rysunek ilustruje przypadek systemu korzeniowego A2. „Hiperpłaszczyzny” (w tym przypadku jednowymiarowe) prostopadłe do korzeni zaznaczono liniami przerywanymi. Sześć 60-stopniowych sektorów to komory Weyla, a zacieniony region to podstawowa komora Weyla powiązana ze wskazaną podstawą.

Podstawowe ogólne twierdzenie o komorach Weyla jest następujące:

Twierdzenie : Grupa Weyla działa swobodnie i przechodnio na komory Weyla. Zatem rząd grupy Weyla jest równy liczbie komór Weyla.

Powiązany wynik to ten:

Twierdzenie : Napraw komorę Weyla do

\ displaystyle C}

. Następnie dla wszystkich orbita Weyla z

\ displaystyle v

} zawiera dokładnie jeden

w zamknięciu

{\ Displaystyle {\ bar {C}}}

z do

{\ displaystyle

.

Struktura grupy Coxetera

Zespół generujący

Kluczowym wynikiem dotyczącym grupy Weyl jest to:

Twierdzenie : Jeśli jest podstawą dla , to grupa Weyla jest generowana przez odbicia

displaystyle \ alpha}}

\

{

\

Δ

displaystyle \ delta

{\ Displaystyle \ Delta}

.

Oznacza to, że grupa generowana przez odbicia ${\ Displaystyle s _ {\ alfa}, \, \ alfa \ w \ Phi}$ taka sama jak grupa generowana przez odbicia ${\ Displaystyle s_ {\ alfa}, \, \ alfa \ in \ Delta$ .

Relacje

Tymczasem, jeśli i ${\ Displaystyle \$ $\ Phi}$ $}$ są w , to diagram Dynkina dla $Displaystyle$ podstawy ${\ Displaystyle \ Delta} }$ mówi nam coś o tym, jak zachowuje się para ${\ Displaystyle \ {s_ {\ alfa}, s_ {\ beta} \}}$ . W szczególności załóżmy, że i . ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle v'}$ to odpowiednie wierzchołki na diagramie Dynkina. Następnie mamy następujące wyniki:

Jeśli nie ma więzi między i $v$ $do$ { $}$ $i$ ' dojeżdżają . Ponieważ $s$ $drugi$ , jest to równoważne z β ${\ Displaystyle (s_ {\ alfa} s_ {\ beta}) ^ {2} = 1}$ .
Jeśli istnieje jedno wiązanie między ${\ displaystyle v}$ i ${\ displaystyle v'}$ , to ${\ Displaystyle (s_ {\ alfa} s_ {\ beta}) ^ {3 }=1}$ .
Jeśli istnieją dwa wiązania między i ${\ Displaystyle$ $v'}$ , to $s_ {\ beta}) ^ {4 }=1}$ .
Jeśli istnieją trzy wiązania między i $\ Displaystyle$ $v'}$ ${\ Displaystyle (s_ {\ alfa} s_ {\ beta}) ^ {6 }=1}$ , to .

Powyższe twierdzenie nie jest trudne do zweryfikowania, jeśli tylko przypomnimy sobie, co mówi nam diagram Dynkina o kącie między każdą parą korzeni. Jeśli na przykład nie ma wiązania między dwoma wierzchołkami, to $są$ ortogonalne , z czego łatwo wynika $,$ że odpowiednie odbicia dojeżdżają do pracy Mówiąc bardziej ogólnie, liczba wiązań określa kąt $.$ korzeniami Iloczyn dwóch odbić jest wtedy obrotem o kąt ${\ Displaystyle 2 \ theta}$ w płaszczyźnie rozpiętej przez $i ,$ jak czytelnik może $zweryfikować$ łatwo wynika powyższe twierdzenie.

Jako grupa Coxeter

Grupy Weyla są przykładami skończonych grup odbiciowych, ponieważ są generowane przez odbicia; grupy abstrakcyjne (nie uważane za podgrupy grupy liniowej) są odpowiednio skończonymi grupami Coxetera , co pozwala na ich klasyfikację na podstawie ich diagramu Coxetera – Dynkina . Bycie grupą Coxetera oznacza, że grupa Weyla ma szczególny rodzaj prezentacji , w której każdy generator x _i jest rzędu drugiego, a relacje inne niż x _i² = 1 mają postać ( x _i x _j ) ^{m _ij} = 1. Generatory są odbiciami wynikającymi z pierwiastków prostych, a m _ij wynosi 2, 3, 4 lub 6 w zależności od tego, czy pierwiastki i oraz j tworzą kąt 90, 120, 135 lub 150 stopni, tj. czy na diagramie Dynkina są niepołączone, połączone prostą krawędzią, połączone podwójną krawędzią lub połączone potrójną krawędzią. Odnotowaliśmy już te relacje w powyższych punktach, ale aby powiedzieć, że $jedyne$ grupą Coxetera, mówimy, że są to relacje w ${\ displaystyle W}$ .

Grupy Weyla mają kolejność i funkcję długości Bruhata w odniesieniu do tej prezentacji: długość elementu grupy Weyla to długość najkrótszego słowa reprezentującego ten element w kategoriach tych standardowych generatorów. Istnieje unikalny najdłuższy element grupy Coxetera , który jest przeciwieństwem tożsamości w porządku Bruhata.

Grupy Weyla w układach algebraicznych, teorii grup i geometrycznych

Powyżej grupę Weyla zdefiniowano jako podgrupę grupy izometrii systemu korzeniowego. Istnieją również różne definicje grup Weyla specyficzne dla różnych kontekstów teorii grup i geometrycznych ( algebra Liego , grupa Liego , przestrzeń symetryczna itp.). Dla każdego z tych sposobów definiowania grup Weyla jest (zwykle nietrywialne) twierdzenie, że jest to grupa Weyla w sensie definicji na początku tego artykułu, a mianowicie grupa Weyla jakiegoś systemu korzeniowego powiązanego z obiektem. Konkretna realizacja takiej grupy Weyla zależy zwykle od wyboru – np. podalgebry Cartana dla algebry Liego, torusa maksymalnego dla grupy Liego.

Grupa Weyla połączonej zwartej grupy Liego

Niech będzie połączoną zwartą grupą Liego i niech $będzie$ maksymalnym torusem w $}$ $displaystyle K$ . Następnie wprowadzamy normalizator w , oznaczony jako $}$ ${ \$ $Displaystyle N$

{\ Displaystyle N (T) = \ {x \ w K | xtx ^ {- 1} \ w T \, {\ tekst {dla wszystkich}} t \w T\}}

.

Definiujemy również ${\ displaystyle$ w , $displaystyle T}$ jako $\$ i zdefiniowany jako K

{\ Displaystyle Z (T) = \ {x \ w K | xtx ^ {- 1} = t \, {\ tekst {dla wszystkich}} t \ w T \}}

.

Grupa Weyla $displaystyle$ (w stosunku do danego maksymalnego torusa $następnie$ $T}$ definiowana początkowo jako T { \

{\ Displaystyle W = N (T) / T}

.

$Ostatecznie$ udowadnia się, że grupy Weyla

{\ Displaystyle W = N (T) / Z (T)}

.

Teraz można zdefiniować system główny $}$ z parą ${\ Displaystyle (K, T)$ ; pierwiastki to niezerowe wagi połączonego działania na algebrze Liego z $\ displaystyle K$ $}$ . Dla każdego można skonstruować element N $\ Displaystyle \ alpha \$ $\ Phi$ ${\ Displaystyle N (T)}$ , którego działanie na $.$ formę odbicia $wysiłku$ większego wszystkie Tak więc ostatecznie grupa Weyla zdefiniowana jako ${\ Displaystyle N (T) / T}$ lub ${\ Displaystyle N (T) / Z (T)}$ jest izomorficzne z grupą Weyla systemu korzeniowego ${\ Displaystyle \ Phi}$ .

W innych ustawieniach

Dla złożonej półprostej algebry Liego, grupa Weyla jest po prostu zdefiniowana jako grupa refleksyjna generowana przez odbicia w korzeniach - specyficzna realizacja systemu korzeniowego zależna od wyboru podalgebry Cartana .

Dla grupy Liego G spełniającej określone warunki, przy danym torusie T < G (który nie musi być maksymalny), grupa Weyla w odniesieniu do tego torusa jest zdefiniowana jako iloraz normalizatora torusa N = N ( T ) = N _G ( T ) przez centralizator torusa Z = Z ( T ) = Z _G ( T ),

{\ Displaystyle W (T, G): = N (T) / Z (T). \}

₀ Grupa W jest skończona – Z ma skończony indeks w N . Jeśli T = T jest maksymalnym torusem (więc jest równy własnemu centralizatorowi: ${\ Displaystyle Z (T_ {0}) = T_ {0}}$ ), to wynikowy iloraz N / Z = N / T nazywa się grupą Weyla G i oznaczamy W ( G ). Należy zauważyć, że określony zestaw ilorazów zależy od wyboru maksymalnego torusa , ale wszystkie powstałe grupy są izomorficzne (przez wewnętrzny automorfizm G ), ponieważ maksymalne torusy są sprzężone.

Jeśli G jest zwarty i spójny, a T jest maksymalnym torusem, to grupa Weyla G jest izomorficzna z grupą Weyla jej algebry Liego, jak omówiono powyżej.

Na przykład dla ogólnej grupy liniowej GL maksymalny torus to podgrupa D odwracalnych macierzy diagonalnych, których normalizatorem są uogólnione macierze permutacji (macierze w postaci macierzy permutacji , ale z dowolnymi liczbami niezerowymi zamiast „ 1's), i którego grupa Weyla jest grupą symetryczną . W tym przypadku mapa ilorazowa N → N / T dzieli się (poprzez macierze permutacji), więc normalizator N jest iloczynem półprostym torusa i grupy Weyla, a grupę Weyla można wyrazić jako podgrupę G . Na ogół tak nie jest zawsze - iloraz nie zawsze się rozdziela, normalizator N nie zawsze jest półprostym iloczynem W i Z, a grupa Weyla nie zawsze może być zrealizowana jako podgrupa G.

rozkład Bruhata

₀ Jeśli B jest podgrupą borelowską G , tj. maksymalnie spójną rozwiązywalną podgrupą i wybrano maksymalny torus T = T leżący w B , to otrzymujemy rozkład Bruhata

{\ Displaystyle G = \ bigcup _ {w \ w W} BwB}

co powoduje rozkład flagowej odmiany G / B na komórki Schuberta (patrz Grassmannian ).

Struktura diagramu Hassego grupy jest geometrycznie powiązana z kohomologią rozmaitości (raczej rzeczywistych i złożonych form grupy), która jest ograniczona przez dualność Poincarégo . Zatem właściwości algebraiczne grupy Weyla odpowiadają ogólnym właściwościom topologicznym rozmaitości. Na przykład dualność Poincarégo daje parowanie komórek w wymiarze k oraz w wymiarze n - k (gdzie n jest wymiarem rozmaitości): dolna (0) komórka wymiarowa odpowiada elementowi tożsamości grupy Weyla, a podwójna górna komórka wymiarowa odpowiada najdłuższemu elementowi grupy Coxetera .

Analogia z grupami algebraicznymi

Istnieje wiele analogii między grupami algebraicznymi a grupami Weyla - na przykład liczba elementów grupy symetrycznej wynosi n !, a liczba elementów ogólnej grupy liniowej w polu skończonym jest związana z silnią q ${\ displaystyle [n] _ {q}!}$ ; zatem grupa symetryczna zachowuje się tak, jakby była grupą liniową nad „polem z jednym elementem”. Jest to sformalizowane przez pole z jednym elementem , który uważa grupy Weyla za proste grupy algebraiczne na polu z jednym elementem.

Kohomologia

Dla nieabelowo połączonej zwartej grupy Liego G, kohomologia pierwszej grupy grupy Weyla W ze współczynnikami w maksymalnym torusie T użytym do ${\ Displaystyle N = N_ {G} (T)}$ zdefiniowania jest powiązana z zewnętrzną grupą automorfizmów normalizatora jako:

{\ Displaystyle \ operatorname {Out} (N) \ cong H ^ {1} (W; T) \ rtimes \ operatorname {Out} (G).}

Zewnętrzne automorfizmy grupy Out( G ) są zasadniczo automorfizmami diagramu diagramu Dynkina , podczas gdy kohomologia grupowa jest obliczana w Hämmerli, Matthey & Suter 2004 i jest skończoną elementarną abelową 2-grupą ( ${ \displaystyle (\mathbf {Z} /2)^{k}} )$ ; dla prostych grup Liego ma rząd 1, 2 lub 4. Kohomologia grupy 0 i 2 jest również ściśle związana z normalizatorem.

Zobacz też

przypisy

Notatki

Cytaty

Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 222 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6
Knapp, Anthony W. (2002), Grupy kłamstw: poza wprowadzeniem , Progress in Mathematics, tom. 140 (wyd. 2), Birkhaeuser, ISBN 978-0-8176-4259-4
Popow, VL ; Fedenko, AS (2001) [1994], "Grupa Weyla" , Encyklopedia matematyki , EMS Press
Hämmerli, J.-F.; Matthey, M.; Suter, U. (2004), „Automorfizmy normalizatorów toru maksymalnego i pierwszej kohomologii grup Weyla” (PDF) , Journal of Lie Theory , Heldermann Verlag, 14 : 583–617, Zbl 1092.22004

Dalsza lektura

Bourbaki, Nicolas (2002), Grupy kłamstw i algebry kłamstw: rozdziały 4-6 , Elementy matematyki , Springer, ISBN 978-3-540-42650-9 , Zbl 0983.17001
Björner, Anders ; Brenti, Francesco (2005), Kombinatoryka grup Coxetera , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 231, Springer, ISBN 978-3-540-27596-1 , Zbl 1110.05001
Coxeter, HSM (1934), „Dyskretne grupy generowane przez odbicia”, Ann. z matematyki. , 35 (3): 588–621, CiteSeerX 10.1.1.128.471 , doi : 10.2307/1968753 , JSTOR 1968753
Coxeter, HSM (1935), „Pełne wyliczenie skończonych grup postaci ${\ displaystyle r_ {i} ^ {2} = (r_ {i} r_ {j})^{k_{ij}}=1}$ ", J. London Math. soc. , 1, 10 (1): 21–25, doi : 10.1112/jlms/s1-10.37.21
Davis, Michael W. (2007), Geometria i topologia grup Coxetera (PDF) , ISBN 978-0-691-13138-2 , Zbl 1142.20020
Grove, Larry C.; Benson, Clark T. (1985), Grupy odbicia skończonego , Teksty magisterskie z matematyki, tom. 99, Springera, ISBN 978-0-387-96082-1
Hiller, Howard (1982), Geometria grup Coxetera , Research Notes in Mathematics, tom. 54, Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1 , Zbl 0483.57002
Howlett, Robert B. (1988), „O mnożnikach Schura grup Coxetera”, J. London Math. soc. , 2, 38 (2): 263–276, doi : 10.1112/jlms/s2-38.2.263 , Zbl 0627.20019
Humphreys, James E. (1992) [1990], Reflection Groups and Coxeter Groups , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, tom. 29, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43613-7 , Zbl 0725.20028
Ihara, S.; Yokonuma, Takeo (1965), „O drugich grupach kohomologii (mnożniki Schur) grup odbicia skończonego” (PDF) , J. Fac. nauka Uniw. Tokio, sekt. 1 , 11 : 155–171, Zbl 0136.28802
Kane, Richard (2001), Reflection Groups and Invariant Theory , CMS Books in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2 , Zbl 0986.20038
Vinberg, EB (1984), „Brak krystalograficznych grup odbić w przestrzeniach Łobaczewskiego o dużym wymiarze”, Trudy Moskov. Mata. Obszcz. , 47
Yokonuma, Takeo (1965), „O drugich grupach kohomologicznych (mnożnikach Schur) nieskończonych dyskretnych grup odbiciowych”, J. Fac. nauka Uniw. Tokio, sekt. 1 , 11 : 173–186, hdl : 2261/6049 , Zbl 0136.28803

Linki zewnętrzne