Pole z jednym elementem

W matematyce pole z jednym elementem jest sugestywną nazwą obiektu, który powinien zachowywać się podobnie do skończonego pola z jednym elementem, gdyby takie pole mogło istnieć. Przedmiot ten jest oznaczony jako F ₁ lub, we francusko-angielskiej grze słów, F _un . Nazwa "ciało z jednym elementem" i oznaczenie F ₁ są tylko sugestywne, gdyż w klasycznej algebrze abstrakcyjnej nie ma ciała z jednym elementem . Zamiast tego F ₁ odnosi się do idei, że powinien istnieć sposób na zastąpienie zbiorów i operacji , tradycyjnych elementów składowych algebry abstrakcyjnej, innymi, bardziej elastycznymi obiektami. Zaproponowano wiele teorii F _{1 , ale nie jest jasne, która z nich, jeśli w ogóle, nadaje} F ₁ wszystkie pożądane właściwości. Chociaż w tych teoriach nadal nie ma pola z jednym elementem, istnieje obiekt podobny do pola, którego cecha jest jedna.

Większość proponowanych teorii F ₁ całkowicie zastępuje algebrę abstrakcyjną. Obiekty matematyczne, takie jak przestrzenie wektorowe i pierścienie wielomianowe, można przenieść do tych nowych teorii, naśladując ich abstrakcyjne właściwości. Pozwala to na rozwój algebry przemiennej i geometrii algebraicznej na nowych podstawach. Jedną z charakterystycznych cech teorii F ₁ jest to, że te nowe podstawy dopuszczają więcej obiektów niż klasyczna algebra abstrakcyjna, z których jeden zachowuje się jak pole charakterystyczne.

Możliwość studiowania matematyki F ₁ została po raz pierwszy zasugerowana w 1956 r. przez Jacquesa Titsa , opublikowanego w Tits 1957 , na podstawie analogii między symetriami w geometrii rzutowej a kombinatoryką kompleksów uproszczonych . F ₁ powiązano z nieprzemienną geometrią i możliwym dowodem hipotezy Riemanna .

Historia

W 1957 roku Jacques Tits przedstawił teorię budynków , która wiąże grupy algebraiczne z abstrakcyjnymi uproszczonymi kompleksami . Jednym z założeń jest warunek nietrywialności: jeśli budynek jest n -wymiarowym abstrakcyjnym kompleksem symplicjalnym i jeśli k < n , to każdy k -simplex budynku musi zawierać się w co najmniej trzech n -simplicach. Jest to analogiczne do warunku w klasycznej geometrii rzutowej , że prosta musi zawierać co najmniej trzy punkty. Istnieją jednak zdegenerowane , które spełniają wszystkie warunki geometrii rzutowej, z wyjątkiem tego, że linie dopuszczają tylko dwa punkty. Analogiczne obiekty w teorii budynków nazywane są mieszkaniami. Mieszkania odgrywają tak istotną rolę w teorii budynków, że Tits przypuszczał istnienie teorii geometrii rzutowej, w której zdegenerowane geometrie miałyby taką samą pozycję jak klasyczne. Ta geometria miałaby miejsce, powiedział, na polu charakterystycznym . Korzystając z tej analogii, można było opisać niektóre elementarne właściwości F ₁ , ale nie można było jej skonstruować.

Po początkowych obserwacjach Titsa poczyniono niewielkie postępy aż do wczesnych lat 90-tych. Pod koniec lat 80. Alexander Smirnov wygłosił serię przemówień, w których przypuszczał, że hipotezę Riemanna można udowodnić, uznając liczby całkowite za krzywą nad polem z jednym elementem. Do 1991 roku Smirnov poczynił pewne kroki w kierunku geometrii algebraicznej na F ₁ , wprowadzając rozszerzenia F ₁ i używając ich do obsługi linii rzutowej P ¹ na F ₁ . Liczby algebraiczne potraktowano jako odwzorowania tego P ^{1 i} zasugerowano domniemane przybliżenia wzoru Riemanna-Hurwitza dla tych odwzorowań. Przybliżenia te implikują bardzo głębokie twierdzenia, takie jak hipoteza abc . Rozszerzenia F ₁ później oznaczono jako F _q z q = 1 ⁿ . Wraz z Michaiłem Kapranowem Smirnov zaczął badać, jak konstrukcje algebraiczne i teoretyczne w postaci liczb pierwszych mogą wyglądać w „charakterystycznej jedynki”, czego kulminacją była niepublikowana praca wydana w 1995 r. W 1993 r. Yuri Manin wygłosił serię wykładów na temat funkcji zeta gdzie zaproponował rozwinięcie teorii geometrii algebraicznej nad F ₁ . Zasugerował, że funkcje zeta rozmaitości nad F ₁ miałyby bardzo proste opisy i zaproponował związek między K- teorią F 1 _a grupami homotopii sfer . Zainspirowało to kilka osób do _podjęcia próby skonstruowania wyraźnych teorii geometrii F1 .

Pierwsza opublikowana definicja rozmaitości nad F ₁ pochodzi od Christophe Soulé w 1999 r., który skonstruował ją za pomocą algebr liczb zespolonych i funktorów z kategorii pewnych pierścieni. W 2000 roku Zhu zaproponował, że F ₁ jest tym samym co F ₂ , z wyjątkiem tego, że suma jeden i jeden wynosi jeden, a nie zero. Deitmar zasugerował, że F ₁ należy znaleźć, zapominając o strukturze addytywnej pierścienia i skupiając się na mnożeniu. Toën i Vaquié oparli się na teorii schematów względnych Hakima i zdefiniowali F ₁ za pomocą symetrycznych kategorii monoidów . Później wykazano, że ich konstrukcja jest równoważna konstrukcji Deitmara autorstwa Vezzaniego. Nikołaj Durow skonstruował F ₁ jako przemienną monadę algebraiczną . Borger użył pochodzenia , aby skonstruować go ze skończonych pól i liczb całkowitych.

Alain Connes i Caterina Consani rozwinęli zarówno pojęcia $,}$$,$ „sklejając” kategorię multiplikatywnych i kategorię pierścieni, aby stworzyć nową kategorię następnie zdefiniowanie F ₁ -schematów jako szczególnego rodzaju reprezentowalnego funktora na ${\ Displaystyle {\ mathfrak {M}} {\ mathfrak {R}}.}$ Korzystając z tego, udało im się przedstawić pojęcie kilku konstrukcji teorii liczb nad F ₁ , takich jak motywy i rozszerzenia pól, a także konstruowanie grup Chevalley ponad F _{1 ²} . Wraz z Matilde Marcolli _, Connes i Consani również połączyli F1 z nieprzemienną geometrią . Sugerowano również, że ma to związek z przypuszczeniem o unikalnych grach w teorii złożoności obliczeniowej .

Oliver Lorscheid, wraz z innymi, niedawno osiągnął pierwotny cel Titsa, jakim było opisanie grup Chevalley w F ₁ , wprowadzając obiekty zwane planami, które są jednoczesnym uogólnieniem zarówno półpierścieni , jak i monoidów. Służą one do definiowania tak zwanych „niebieskich schematów”, z których jednym jest Spec F ₁ . Pomysły Lorscheida odbiegają nieco _od innych pomysłów grup na F1 , ponieważ schemat F1 nie jest sam w sobie grupą Weyla w jego podstawowym rozszerzeniu na schematy normalne _. Lorscheid najpierw definiuje kategorię cycków, pełną podkategorię kategorii niebieskich schematów, i definiuje „rozszerzenie Weyla”, funktor z kategorii cycki do zbioru . Model cycków-Weyla grupy algebraicznej to niebieski schemat $sol$ z operacją grupową, która jest morfizmem w kategorii cycków, której podstawowym rozszerzeniem jest ${G}}}$$\ displaystyle {\$ mathcal i którego rozszerzenie Weyla jest izomorficzne z grupą Weyla ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}.}$

F ₁ - geometria została powiązana z geometrią tropikalną , poprzez fakt, że półpierścienie (w szczególności półpierścienie tropikalne) powstają jako iloraz pewnego półpierścienia monoidalnego N [ A ] skończonych formalnych sum elementów monoidu A , który sam jest F ₁ -algebra. To połączenie jest wyraźnie widoczne dzięki zastosowaniu planów przez Lorscheida. Bracia Giansiracusa skonstruowali teorię schematów tropikalnych, dla których ich kategoria schematów tropikalnych jest równoważna kategorii F _{1 Toën-Vaquié} . Ta kategoria wpisuje się wiernie , choć nie w pełni , w kategorię schematów niebieskich i jest pełną podkategorią kategorii schematów Durowa.

Motywacje

Teoria liczb algebraicznych

Jedna z motywacji dla F ₁ pochodzi z algebraicznej teorii liczb . Dowód Weila hipotezy Riemanna dla krzywych nad polami skończonymi zaczyna się od krzywej C nad polem skończonym k , która jest wyposażona w pole funkcyjne F , które jest rozszerzeniem pola k . Każde takie pole funkcyjne daje początek funkcji zeta Hassego-Weila ζ _F , a hipoteza Riemanna dla pól skończonych określa zera ζ _F . Dowód Weila wykorzystuje następnie różne właściwości geometryczne C do badania ζ _F .

Ciało liczb wymiernych Q jest powiązane w podobny sposób z funkcją zeta Riemanna , ale Q nie jest ciałem funkcji rozmaitości. Zamiast tego Q jest polem funkcyjnym schematu Spec Z . Jest to schemat jednowymiarowy (znany również jako krzywa algebraiczna ), więc powinno istnieć jakieś „pole podstawowe”, na którym leży ta krzywa, którego Q byłoby przedłużeniem pola (w taki sam sposób, w jaki C jest krzywą nad k , a F jest przedłużeniem k ). Nadzieja F ₁ polega na tym, że odpowiedni obiekt F ₁ mógłby pełnić rolę tego pola bazowego, co pozwoliłoby na dowód hipotezy Riemanna naśladując dowód Weila z F ₁ zamiast k .

Geometria Arakelowa

Geometria nad polem z jednym elementem jest również motywowana geometrią Arakelowa , w której równania diofantyczne są badane za pomocą narzędzi z geometrii złożonej . Teoria obejmuje skomplikowane porównania między polami skończonymi a liczbami zespolonymi. Tutaj istnienie F ₁ jest przydatne ze względów technicznych.

Oczekiwane właściwości

F ₁ nie jest polem

F ₁ nie może być polem, ponieważ z definicji wszystkie pola muszą zawierać dwa różne elementy, tożsamość addytywną zero i tożsamość multiplikatywną . Nawet jeśli to ograniczenie zostanie odrzucone (na przykład pozwalając tożsamościom addytywnym i multiplikatywnym być tym samym elementem), pierścień z jednym elementem musi być pierścieniem zerowym , który nie zachowuje się jak ciało skończone. Na przykład wszystkie moduły nad pierścieniem zerowym są izomorficzne (ponieważ jedynym elementem takiego modułu jest element zerowy). Jednak jedną z kluczowych motywacji F ₁ jest opisanie zbiorów jako „ F ₁ - przestrzenie wektorowe” - gdyby skończone zbiory były modułami na pierścieniu zerowym, to każdy skończony zbiór miałby ten sam rozmiar, co nie ma miejsca. Co więcej, widmo trywialnego pierścienia jest puste, ale widmo pola ma jeden punkt.

Inne właściwości

• Zbiory skończone to zarówno przestrzenie afiniczne , jak i przestrzenie rzutowe nad F ₁ .
• Zbiory spiczaste to przestrzenie wektorowe nad F ₁ .
• Pola skończone F q _są deformacjami kwantowymi F ₁ , gdzie q jest deformacją.
• Grupy Weyla są prostymi grupami algebraicznymi nad F ₁ :

  Biorąc pod uwagę diagram Dynkina dla półprostej grupy algebraicznej, jej grupa Weyla jest półprostą grupą algebraiczną nad F ₁ .

• Schemat afiniczny Spec Z jest krzywą _nad F1 .
• Grupy są algebrami Hopfa nad F ₁ . Mówiąc bardziej ogólnie, wszystko zdefiniowane wyłącznie w kategoriach diagramów obiektów algebraicznych powinno mieć F ₁ -analog w kategorii zbiorów.
• Działania grupowe na zbiorach są rzutowymi reprezentacjami G na F ₁ , iw ten sposób G jest grupową algebrą Hopfa F ₁ [ G ].
• Odmiany toryczne determinują odmiany F _{1 .} W niektórych opisach geometrii F1 odwrotność _{jest również prawdziwa, w tym sensie ,} że rozszerzenie skalarów rozmaitości F1 do Z jest toryczne. Podczas gdy inne podejścia do F1 dopuszczają szersze klasy przykładów, odmiany toryczne wydają się leżeć w samym sercu tej teorii _.
• Funkcja zeta P ^N ( fa ₁ ) powinna być ζ( s ) = s ( s - 1) ⋯ ( s - N ) .
• M -ta K - grupa F1 powinna być m -tą stabilną grupą _homotopii widma sferycznego .

Obliczenia

Różne struktury na zbiorze są analogiczne do struktur na przestrzeni rzutowej i można je obliczyć w ten sam sposób:

Zbiory to przestrzenie rzutowe

Liczba elementów P ( F
ⁿ _q ) = P ^{n −1} ( fa _q ), ( n - 1) -wymiarowa rzutowa przestrzeń nad ciałem skończonym F _q , jest liczbą całkowitą q

${\ Displaystyle [n] _ {q}: = {\ Frac {q ^ {n} -1} {q-1}} = 1 + q + q ^ {2} + \ kropki + q ^ {n-1 }.}$

Biorąc q = 1 daje [ n ] _q = n .

Rozwinięcie liczby całkowitej q do sumy potęg q odpowiada rozkładowi przestrzeni rzutowej w komórce Schuberta .

Permutacje to maksymalne flagi

jest n ! permutacje zbioru o n elementach i [ n ] _q ! maksymalne flagi w F
ⁿ _q , gdzie

${\ Displaystyle [n] _ {q}!: = [1] _ {q} [2] _ {q} \ kropki [n] _ {q }}$

jest silnią q . Rzeczywiście, permutację zbioru można uznać za zbiór filtrowany , ponieważ flaga jest filtrowaną przestrzenią wektorową: na przykład kolejność (0, 1, 2) zbioru {0,1,2} odpowiada filtracji { 0} ⊂ {0,1} ⊂ {0,1,2}.

Podzbiory to podprzestrzenie

Współczynnik dwumianowy

${\ Displaystyle {\ Frac {n!} {m! (nm)!}}}$

podaje liczbę m -elementowych podzbiorów zbioru n -elementowego oraz q -współczynnik dwumianowy

${\ Displaystyle {\ Frac {[n] _ {q}!} {[m] _ {q}! [nm] _ {q}!}}}$

podaje liczbę m -wymiarowych podprzestrzeni n -wymiarowej przestrzeni wektorowej nad F _q .

Rozwinięcie współczynnika q -dwumianowego na sumę potęg q odpowiada rozkładowi Grassmanna w komórce Schuberta .

Schematy monoidów

Konstrukcja schematów monoidów Deitmara została nazwana „samym rdzeniem geometrii F ₁ ”, ponieważ większość innych teorii geometrii F ₁ zawiera opisy schematów monoidów. Pod względem moralnym naśladuje teorię schematów opracowaną w latach pięćdziesiątych i sześćdziesiątych XX wieku , zastępując pierścienie przemienne monoidami . Efektem tego jest „zapomnienie” struktury addytywnej pierścienia, pozostawiając jedynie strukturę multiplikatywną. Z tego powodu jest czasami nazywany „geometrią nieaddytywną”.

monoidy

Monoid multiplikatywny to monoid A , który zawiera również element pochłaniający 0 (różny od tożsamości 1 monoidu), taki że 0 a = 0 dla każdego a w monoidzie A . Ciało z jednym elementem jest wtedy definiowane jako F ₁ = {0,1}, multiplikatywna monoida ciała z dwoma elementami, która jest początkowa w kategorii monoidów multiplikatywnych. Ideałem monoidu w monoidzie A jest podzbiór I , który jest multiplikatywnie domknięty, zawiera 0 i taki, że IA = { ra : r ∈ I , a ∈ A } = I . Taki ideał jest liczbą pierwszą , jeśli jest multiplikatywnie domknięty i zawiera 1. ZA $}$

Dla monoidów A i B ; homomorfizm monoidu jest funkcją f : A → B taką, że

• fa (0) = 0 ;
• fa (1) = 1 i
• fa ( ab ) fa ( za ) fa ( b ) = dla każdego aib w A .

Schematy monoidów

Widmo monoidu A , oznaczone Spec A , . jest zbiorem ideałów pierwszych A Widmo monoidu można nadać topologii Zariskiego , definiując podstawowe zbiory otwarte

${\ Displaystyle U_ {h} = \ {{\ mathfrak {p}} \ w {\ tekst {Spec}} A: h \ notin {\ mathfrak {p }}\},}$

dla każdego h w A . Przestrzeń monoidalna jest przestrzenią topologiczną wraz ze snopem multiplikatywnych monoidów zwanym snopem struktury . Schemat monoidu afinicznego to przestrzeń monoidu, która jest izomorficzna z widmem monoidu, a schemat monoidu to snop monoidów, który ma otwartą osłonę przez schematy monoidu afinicznego.

$,$ pomocą funktora rozszerzenia podstawowego który wysyła A do modułu Z (tj. pierścienia) ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} [A] / \ langle 0_ {A} \ rangle}$ i homomorfizm monoidu f : A → B ${\ Displaystyle f _ {\ mathbf {Z}}: A \ otimes _ {\ mathbf {F} _ {1}} \ mathbf {$ ZA który jest liniowy jako homomorfizm modułu Z. Podstawowe rozszerzenie afinicznego schematu monoidu jest zdefiniowane za pomocą wzoru

${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (A) \ razy _ {\ Operatorname {Spec} (\ mathbf {F} _{1})}\operatorname {Spec} (\mathbf {Z})=\operatorname {Spec} {\big (}A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} {\duży}},}$

co z kolei definiuje podstawowe rozszerzenie ogólnego schematu monoidów.

Konsekwencje

Ta konstrukcja osiąga wiele pożądanych właściwości geometrii F ₁ : spec F ₁ składa się z pojedynczego punktu, więc zachowuje się podobnie do widma pola w konwencjonalnej geometrii, a kategoria afinicznych schematów monoidalnych jest podwójna do kategorii multiplikatywnych monoidy, odzwierciedlające dwoistość schematów afinicznych i pierścieni przemiennych. Co więcej, teoria ta spełnia właściwości kombinatoryczne oczekiwane od F ₁ wspomniane w poprzednich rozdziałach; na przykład przestrzeń rzutowa nad F ₁ wymiaru n jako schemat monoidu jest identyczna z mieszkaniem przestrzeni rzutowej nad F _q wymiaru n , gdy jest opisywane jako budynek.

Jednak schematy monoidalne nie spełniają wszystkich oczekiwanych właściwości teorii geometrii F1 , ponieważ jedynymi odmianami, które mają odpowiedniki schematów monoidalnych, są _odmiany toryczne . Dokładniej, jeśli X jest schematem monoidalnym, którego rozszerzenie podstawy jest płaskim , rozdzielonym , połączonym schematem typu skończonego , to rozszerzenie podstawy X jest rozmaitością toryczną. Inne koncepcje F1 , takie jak koncepcja Connesa-Consaniego, opierają się na tym modelu, aby opisać _rozmaitości F1 _, które nie są toryczne.

Rozszerzenia pól

Można zdefiniować rozszerzenia pola z jednym elementem jako grupę pierwiastków jedności lub dokładniej (o strukturze geometrycznej) jako schemat grup pierwiastków jedności . Jest to nienaturalnie izomorficzne z grupą cykliczną rzędu n , izomorfizm zależny od wyboru pierwotnego pierwiastka jedności :

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {1 ^ {n}} = \ mu _ {n}.}$

Tak więc przestrzeń wektorowa wymiaru d nad F1n jest skończonym zbiorem porządku _{na ^dn} , którym pierwiastki jedności działają swobodnie wraz z punktem bazowym.

Z tego punktu widzenia ciało skończone F _q jest algebrą nad F _{1 ⁿ} , o wymiarze d = ( q − 1)/ n dla dowolnego n , które jest współczynnikiem q − 1 (np. n = q − 1 lub n = 1 ). Odpowiada to temu, że grupa jednostek ciała skończonego F _q (które są q − 1 niezerowymi elementami) jest cykliczną grupą rzędu q − 1 , na którą działa dowolna cykliczna grupa rzędu dzieląca q − 1 dowolnie (podnosząc do potęgi), a elementem zerowym pola jest punkt bazowy.

Podobnie liczby rzeczywiste R są algebrą na F _{1 ²} , o nieskończonym wymiarze, ponieważ liczby rzeczywiste zawierają ±1, ale nie mają innych pierwiastków jedności, a liczby zespolone C są algebrą na F _{1 ⁿ} dla wszystkich n , znowu o nieskończonym wymiarze, ponieważ liczby zespolone mają wszystkie pierwiastki jedności.

Z tego punktu widzenia każde zjawisko, które zależy tylko od pola mającego pierwiastki jedności, można postrzegać jako pochodzące z F ₁ - na przykład dyskretna transformata Fouriera (o wartościach zespolonych) i związana z nią transformata teoretyczna liczb ( Z / n o wartości Z ).

Zobacz też

• Pochodna arytmetyczna
• Półgrupa z jednym elementem

Bibliografia

• Borger, James (2009), pierścienie Λ i pole z jednym elementem , arXiv : 0906,3146
•    Consani, Caterina; Connes, Alain , wyd. (2011), Nieprzemienna geometria, arytmetyka i tematy pokrewne. Materiały z 21. spotkania Japan-US Mathematics Institute (JAMI), które odbyło się na Johns Hopkins University, Baltimore, MD, USA, 23–26 marca 2009 r., Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press , ISBN 978-1-4214- 0352-6 , Zbl 1245.00040
•     Connes, Alain ; Consani, Caterina; Marcolli, Matilde $($ 2009), „Zabawa z Journal of Number Theory , 129 (6): 1532–1561, arXiv : 0806,2401 , doi : 10,1016 / j .jnt.2008.08.007 , MR 2521492 , S2CID 5327852 , Zbl 1228.11143
•   Connes, Alain ; Consani, Caterina (2010), „Schematy nad F ₁ i zeta”, Compositio Mathematica , London Mathematical Society, 146 (6): 1383–1415, arXiv : 0903,2024 , doi : 10,1112/S0010437X09004692 , S2CID 14448430
• Deitmar, Anton (2005), „Schematy nad F ₁ ”, w: van der Geer, G.; Moonen, B.; Schoof, R. (red.), Pola liczbowe i pola funkcyjne: dwa równoległe światy , Progress in Mathematics, tom. 239
• Deitmar, Anton (2006), F ₁ - schematy i odmiany toryczne , arXiv : math/0608179 , Bibcode : 2006math......8179D
• Durov, Nikolai (2008), „Nowe podejście do geometrii Arakelowa”, arXiv : 0704.2030 [ math.AG ]
•   Giansirakuza, Jeffrey; Giansiracusa, Noe (2016), „Równania odmian tropikalnych”, Duke Mathematical Journal , 165 (18): 3379–3433, arXiv : 1308,0042 , doi : 10,1215/00127094-3645544 , S2CID 16276528
• Kapranow, Michaił; Smirnov, Alexander (1995), Wyznaczniki kohomologii i prawa wzajemności: przypadek pola liczbowego (PDF)
• Le Bruyn, Lieven (2009), „(nie) przemienna geometria f-un”, arXiv : 0909,2522 [ math.RA ]
• Lescot, Paul (2009), Algebre absolue (PDF) , zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 27 lipca 2011 r. , pobrane 21 listopada 2009 r.
• López Peña, Javier; Lorscheid, Oliver (2011), „Mapowanie F ₁ -land: przegląd geometrii w polu z jednym elementem”, Noncommutative Geometry, Arithmetic, and related Topics : 241–265, arXiv : 0909,0069
• Lorscheid, Oliver (2009), „Grupy algebraiczne na polu z jednym elementem”, arXiv : 0907,3824 [ math.AG ]
• Lorscheid, Oliver (2016), „A planowany widok na geometrię F _{1 ”, w: Koen, Thas (red.),} Arytmetyka bezwzględna i geometria F ₁ , Wydawnictwo Europejskiego Towarzystwa Matematycznego, arXiv : 1301.0083
•   Lorscheid, Oliver (2018a), „ F ₁ dla każdego”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , Springer, 120 (2): 83–116, arXiv : 1801.05337 , doi : 10.1365/s13291-018-0177-x , S2CID 1196 64210
•   Lorscheid, Oliver (2018b), „Geometria planów część II: modele Titsa-Weyla grup algebraicznych”, Forum of Mathematics, Sigma , 6 , arXiv : 1201,1324 , doi : 10,1017/fms.2018.17 , S2CID 117587513
• Lorscheid, Oliver (2015), Tropikalizacja z teorią schematu , arXiv : 1508,07949
• Manin, Yuri (1995), „Wykłady na temat funkcji i motywów zeta (według Deningera i Kurokawy)” (PDF) , Astérisque , 228 (4): 121–163
• Scholze, Peter (2017), geometria p-adyczna , s. 13, arXiv : 1712.03708
• Smirnov, Alexander (1992), „Nierówności Hurwitza dla pól liczbowych” (PDF) , Algebra i Analiz (po rosyjsku), 4 (2): 186–209
• Soulé, Christophe (1999), Na polu z jednym elementem (exposé à l'Arbeitstagung, Bonn, czerwiec 1999) (PDF) , Preprint IHES
• Soulé, Christophe (2003), Les variétés sur le corps à un élément (po francusku), arXiv : math/0304444 , Bibcode : 2003math......4444S
• Cycki, Jacques (1957), „Sur les analogs algébriques des groupes semi-simples complexes”, Colloque d'algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Louvain , Paris: Librairie Gauthier -Villars, s. 261–289
• Toën, Bertrand ; Vaquié, Michel (2005), Au dessous de Spec Z , arXiv : math/0509684
•   Vezzani, Alberto (2010), „Schematy Deitmara kontra Toën-Vaquié na F ₁ ” , Mathematische Zeitschrift , 271 : 1–16, arXiv : 1005,0287 , doi : 10,1007/s00209-011-0896-5 , S2CID 1191452 51

Linki zewnętrzne

• Johna Baeza z tego tygodnia w fizyce matematycznej: tydzień 259
• Pole z jednym elementem w kawiarni kategorii n
• Pole z jednym elementem na tajnym seminarium blogowym
• Szukam zabawy _i folkloru _zabawy , Lieven le Bruyn.
• Mapowanie F_1-land: Przegląd geometrii na polu z jednym elementem , Javier López Peña, Oliver Lorscheid
• Zabawna _matematyka Koen , Lieven le Bruyn, Thas .
• Konferencja Vanderbilta na temat geometrii nieprzemiennej i geometrii w terenie z jednym elementem zarchiwizowano 12 grudnia 2013 r. w Wayback Machine ( harmonogram zarchiwizowano 15 lutego 2012 r. w Wayback Machine )
• NCG i F_un , autorstwa Alaina Connesa i K. Consaniego: podsumowanie przemówień i slajdów