Pochodna arytmetyczna

W teorii liczb pochodna arytmetyczna Lagariasa lub pochodna liczbowa jest funkcją zdefiniowaną dla liczb całkowitych , opartą na rozkładzie na czynniki pierwsze , przez analogię do reguły iloczynu dla pochodnej funkcji , która jest używana w analizie matematycznej .

Istnieje wiele wersji „pochodnych arytmetycznych”, w tym ta omówiona w tym artykule (pochodna arytmetyczna Lagariasa), taka jak pochodna arytmetyczna Ihary i pochodne arytmetyczne Buium.

Wczesna historia

Pochodna arytmetyczna została wprowadzona przez hiszpańskiego matematyka Josè Mingota Shelly'ego w 1911 roku. Pochodna arytmetyczna pojawiła się również w Konkursie Putnama w 1950 roku .

Definicja

Dla liczb naturalnych $n$ pochodna arytmetyczna $D (n)$ jest zdefiniowana następująco:

$re (0) = re (1) = 0$ .
$re (p) = 1$ dla dowolnej liczby pierwszej $p$ .
$re (mn) = re (m) n + mD (n)$ dla dowolnego ${\ Displaystyle m, n \ in \ mathbb {N}}$ ( reguła Leibniza ).

Rozszerzenia poza liczbami naturalnymi

Edward J. Barbeau rozszerzył dziedzinę na wszystkie liczby całkowite, pokazując, że wybór $D (- n) = - D (n)$ , który jednoznacznie rozszerza dziedzinę na liczby całkowite, jest zgodny ze wzorem na iloczyn. Barbeau rozszerzył to również dalej na liczby wymierne , pokazując, że znana reguła ilorazu daje dobrze zdefiniowaną pochodną na: ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}: Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}$ }

{\ Displaystyle D \! \ lewo ({\ Frac {m} {n}} \ prawej) = {\ Frac {D (m) n-mD (n)} {n ^ {2}}}.}

Victor Ufnarovski i Bo Åhlander rozszerzyli to na liczby irracjonalne , które można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych podniesionych do dowolnych potęg wymiernych, pozwalając na wyrażenie takie jak re $\ Displaystyle D ({\ sqrt {3}} \,)}$ obliczone.

Pochodną arytmetyczną można również rozszerzyć na dowolną unikalną dziedzinę faktoryzacji (UFD), taką jak liczby całkowite Gaussa i liczby całkowite Eisensteina , oraz powiązane z nią pole ułamków . Jeśli UFD jest pierścieniem wielomianowym , to pochodna arytmetyczna jest taka sama jak wyprowadzenie po wspomnianym pierścieniu wielomianowym. Na przykład pochodna regularna jest pochodną arytmetyczną dla pierścieni jednowymiarowych funkcji wielomianowych i wymiernych rzeczywistych i zespolonych , co można udowodnić za pomocą podstawowego twierdzenia algebry .

Pochodna arytmetyczna została również rozszerzona na pierścień liczb całkowitych modulo n .

Właściwości elementarne

Z reguły Leibniza wynika, że $D (0) = 0$ (przyjmij $m = n = 0$ ) i $D (1) = 0$ (przyjmij $m = n = 1$ ).

Reguła potęgowa obowiązuje również dla pochodnej arytmetycznej. Dla dowolnych liczb całkowitych $k$ i $n \geq 0$ :

{\ Displaystyle D (k ^ {n}) = nk ^ {n-1} D (k).}

Pozwala to obliczyć pochodną z rozkładu na czynniki pierwsze liczby całkowitej, ${\ textstyle x = \ prod _ {i = 1} ^ {\ omega (x)}{p_{i}}^{\nu _{p_{i}}(x)}}$ :

{\ Displaystyle D(x)=\suma _{i=1}^{\omega (x)}\left[\nu _{p_{i}}(x)\left(\prod _{j=1}^{i -1}{p_{j}}^{\nu _{p_{j}}(x)}\right)p_{i}^{\nu _{p_{i}}-1}\left(\prod _{j=i+1}^{\omega (x)}{p_{j}}^{\nu _{p_{j}}(x)}\right)\right]=\suma _{i= 1}^{\omega (x)}{\frac {\nu _{p_{i}}(x)}{p_{i}}}x=\sum _{\stackrel {p\,\mid \, x}{p{\text{prim}}}}{\frac {\nu _{p}(x)}{p}}x}

gdzie $ω (x)$ , pierwsza funkcja omega , to liczba różnych czynników pierwszych w $x$ , a $ν p (x)$ to p -adyczna wycena $x$ .

Na przykład:

{\ Displaystyle D (60) = D (2 ^ {2} \ cdot 3 \ cdot 5)=\left({\frac {2}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)\cdot 60=92,}

Lub

{\ Displaystyle D (81) = D (3 ^ {4}) = 4 \ cdot 3 ^{3}\cdot D(3)=4\cdot 27\cdot 1=108.}

Sekwencja pochodnych liczbowych dla $k = 0, 1, 2, \dots$ zaczyna się (sekwencja A003415 w OEIS ):

{\ Displaystyle 0,0,1,1,4,1,5,1,12, 6,7,1,16,1,9,\ldkropki }

Powiązane funkcje

Pochodna logarytmiczna ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {ld} (x) = {\ Frac {D (x)}} }}=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p{\text{prim}}}}{\frac {\nu _{p}(x)}{p}}}$ jest całkowicie addytywna funkcja : ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {ld} (x \ cdot y) = \ nazwa operatora {ld} (x) + \ nazwa operatora {ld} (y).}$

Arytmetyczna pochodna $cząstkowa$ względem ${\ Displaystyle x_ {p} ^ {\ liczba pierwsza} = {\ Frac {\ nu _ {p} (x)} {p}} x.} Tak więc pochodna$ $zdefiniowana$ jako _ arytmetyczna ${\ displaystyle x}$ jest dana jako ${\ Displaystyle D (x) = \ suma _ {\ stackrel {p \, \ środkowy \, x} {p {\ tekst {liczba pierwsza}}}} x_ {p} ^ {\ liczba pierwsza}.}$

Funkcja arytmetyczna $jest$ dodatkiem Leibniza ${\ Displaystyle f (mn) = f (m) h_ {f} (n) + f (n) h_ {f} (m)} dla wszystkich$ istnieje funkcja całkowicie multiplikatywna że $n$ dodatnich liczb całkowitych ${\ Displaystyle m}$ i ${\ displaystyle n}$ . Motywacją dla tej koncepcji jest fakt, że funkcje addytywne Leibniza są uogólnieniami $pochodnej$ ; mianowicie, jest dodatkiem Leibniza z ${$ $\ displaystyle h_ {D} (n) = n$ .

Funkcja $podana w rozdziale$ $3.5$ książki Sandora i Atanassowa jest w rzeczywistości dokładnie taka sama jak zwykła .

Nierówności i granice

EJ Barbeau zbadał granice pochodnej arytmetycznej i znalazł to

{\ Displaystyle D (n) \ równoważnik {\ Frac {n \ log _ {2} n} {2}}}

I

{\ Displaystyle D (n) \ geq \ Omega (n) \, n ^ {\ Frac {\ Omega (n) -1} {\Omega (n)}}}

gdzie $Ω(n)$ , pierwsza funkcja omega , to liczba czynników pierwszych w $n$ . W obu powyższych granicach równość występuje zawsze, gdy $n$ jest potęgą 2 .

Dahl, Olsson i Loiko odkryli, że arytmetyczna pochodna liczb naturalnych jest ograniczona przez

{\ Displaystyle D (n) \ równoważnik {\ Frac {n \ log _ {p} n} {p}}}

gdzie $p$ jest najmniejszą liczbą pierwszą w $n$ i równość zachodzi, gdy $n$ jest potęgą $p$ .

Alexander Loiko, Jonas Olsson i Niklas Dahl stwierdzili, że niemożliwe jest znalezienie podobnych granic dla pochodnej arytmetycznej rozciągniętej na liczby wymierne, udowadniając, że między dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi istnieją inne liczby wymierne z dowolnymi dużymi lub małymi pochodnymi (zauważ, że oznacza to, że pochodna arytmetyczna nie jest funkcją ciągłą od ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ do ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ).

Kolejność średniej

Mamy

{\ Displaystyle \ suma _ {n \ równoważnik x} {\ Frac {D (n)} {n}} = T_{0}x+O(\log x\log \log x)}

I

{\ Displaystyle \ suma _ {n \ równoważnik x} D (n) = \ lewo ({\ Frac {1} {2}}\right)T_{0}x^{2}+O(x^{1+\delta})}

dla dowolnego δ > 0, gdzie

{\ Displaystyle T_ {0} = \ suma _ {p} {\ frac {1} {p (p-1)}}.}

Znaczenie dla teorii liczb

hipotezami teorii liczb, takimi jak hipoteza bliźniaczych liczb pierwszych , hipoteza liczb pierwszych potrójnych i hipoteza Goldbacha . Na przykład hipoteza Goldbacha implikowałaby, że dla każdego $k > 1$ istnieje n $tak$ , że $D (n) = 2 k$ . Hipoteza bliźniaczych liczb pierwszych oznaczałaby, że istnieje nieskończenie wiele $k$ , dla których $D 2 (k) = 1$ .

Zobacz też

Notatki

Barbeau, EJ (1961). „Uwagi na temat pochodnej arytmetycznej” . Kanadyjski Biuletyn Matematyczny . 4 (2): 117–122. doi : 10.4153/CMB-1961-013-0 . Zbl 0101.03702 .
Ufnarowski, Wiktor; Ahlander, Bo (2003). „Jak odróżnić liczbę” . Dziennik sekwencji liczb całkowitych . 6 . Artykuł 03.3.4. ISSN 1530-7638 . Zbl 1142.11305 .
Pochodna arytmetyczna , Planet Math , dostęp 04:15, 9 kwietnia 2008 (UTC)
L.Westrick (2003). Badania pochodnej liczby .
Peterson, I. Math Trek: wyprowadzanie struktury liczb .
Zostań, Michael (2005). „Uogólnione pochodne liczbowe” . Dziennik sekwencji liczb całkowitych . 8 . Artykuł 05.1.4. arXiv : matematyka/0508364 . ISSN 1530-7638 . Zbl 1065.05019 .
Dahl N., Olsson J., Loiko A., Badanie właściwości pochodnej arytmetycznej .
Balzarotti Giorgio; Lawa, Paolo Pietro (2013). La derivata aritmetica. Alla scoperta di un nuovo approccio alla teoria dei numeri . Mediolan: Hoepli. ISBN 978-88-203-5864-8 .
Sandor Józef; Atanassow, Krassimir (2021). Funkcje arytmetyczne, sekcja 3.5 . Wydawcy Nova Science.

Kovic, Jurij (2012). „Pochodna arytmetyczna i funkcja pierwotna” (PDF) . Dziennik sekwencji liczb całkowitych . 15 (3,8).
Haukkanen, Pentti; Merikoski, Jorma K.; Mattila, Mika; Tossavainen, Timo (2017). „Arytmetyczna macierz i wyznacznik jakobianu” (PDF) . Dziennik sekwencji liczb całkowitych . 20 . Artykuł 17.9.2. ISSN 1530-7638 .
Haukkanen, Pentti; Merikoski, Jorma K.; Tossavainen, Timo (2016). „O arytmetycznych równaniach różniczkowych cząstkowych” (PDF) . Dziennik sekwencji liczb całkowitych . 19 . ISSN 1530-7638 .
Haukkanen, Pentti; Merikoski, Jorma K.; Tossavainen, Timo (2018). „Pochodna arytmetyczna i funkcje addytywne Leibniza” . Uwagi na temat teorii liczb i matematyki dyskretnej . 24 (3): 68–76. doi : 10.7546/nntdm.2018.24.3.68-76 . S2CID 119688466 .
Haukkanen, Pentti (2019). „Uogólniona arytmetyczna pochodna pochodna” . Uwagi na temat teorii liczb i matematyki dyskretnej . 25 (2): 1–7. doi : 10.7546/nntdm.2019.25.2.1-7 . S2CID 198468574 .
Haukkanen, Pentti; Merikoski, Jorma K.; Tossavainen, Timo (2020). „Pochodne arytmetyczne: p-adyczna nieciągłość i ciągłość” . Dziennik sekwencji liczb całkowitych . 23 . Artykuł 20.7.3. ISSN 1530-7638 .
Haukkanen, Pentti; Merikoski, Jorma K.; Tossavainen, Timo (2020). „Asymptotyka sum cząstkowych szeregu Dirichleta pochodnej arytmetycznej” . Komunikacja matematyczna . 25 .
Merikoski, Jorma K.; Haukkanen, Pentti; Tossavainen, Timo (2019). „Pochodne arytmetyczne i funkcje addytywne Leibniza” (PDF) . Annales Mathematicae et Informaticae . 50 .
Merikoski, Jorma K.; Haukkanen, Pentti; Tossavainen, Timo (2021). „Pełna addytywność, pełna multiplikatywność i addytywność Leibniza na liczbach wymiernych” (PDF) . liczby całkowite . 21 .