p – wycena adyczna

W teorii liczb , p -adyczne wartościowanie lub p -adyczny rząd liczby całkowitej n jest wykładnikiem najwyższej potęgi liczby pierwszej p , która dzieli n . Jest to oznaczone ${\ Displaystyle \ nu _ {p} (n)}$ . Równoważnie $_$ wykładnikiem pojawia się w rozkładzie na czynniki pierwsze $displaystyle n}$$\$ .

Wycena p -adyczna jest wyceną i prowadzi do analogii zwykłej wartości bezwzględnej . Podczas gdy uzupełnienie liczb wymiernych w odniesieniu do zwykłej wartości bezwzględnej daje w wyniku liczby rzeczywiste , uzupełnienie liczb wymiernych w odniesieniu do -adic ${\ displaystyle \$ bezwzględnej jest $mathbb {R}}$ daje p -adyczne liczby ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ .

Rozkład liczb naturalnych według ich oceny 2-adycznej, oznaczony odpowiednimi potęgami dwójki w systemie dziesiętnym. Zero ma nieskończoną wartość.

Definicja i właściwości

Niech p będzie liczbą pierwszą .

Liczby całkowite

P -adic wycena liczby całkowitej jest zdefiniowana jako ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ nu _ {p} (n) = {\ rozpocząć {przypadki} \ operatorname { max} \{k\in \mathbb {N} :p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0 ,\koniec {przypadków}}}$

gdzie oznacza zbiór $liczb$ naturalnych i oznacza podzielność przez $mid n$$displaystyle$$\$ m } szczególności $jest$ funkcją ${\ Displaystyle \ nu _ {p} \ okrężnica \ mathbb {Z} \ do \ mathbb {N} \ kubek \ {\ infty \}}$ .

Na przykład ${\ Displaystyle \ nu _ {2} (-12) = 2}$ , ${\ Displaystyle \ nu _ {3} (-12) = 1}$ i ${\ Displaystyle \ nu _ {5} (-12) = 0}$ od ${\ Displaystyle | {-12} | = 12 = 2 ^ {2} \ cdot 3 ^ {1} \ cdot 5 ^ {0}}$ .

Notacja $\ Displaystyle k = \ nu _ {p} ($ czasami używana w znaczeniu $)$ .

Jeśli jest dodatnią liczbą całkowitą, to ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ nu _ {p} (n) \ równoważnik \ log _ {p} n}$ ;

wynika to bezpośrednio z ${\ Displaystyle n \ geq p ^ {\ nu _ {p} (n)}}$ .

Liczby wymierne

Wycenę p -adic można rozszerzyć na liczby wymierne jako funkcję

${\ Displaystyle \ nu _ {p}: \ mathbb {Q} \ do \ mathbb {Z} \ kubek \ {\ infty \}}$

określony przez

${\ Displaystyle \ nu _ {p} \ lewo ({\ Frac {r} {s}} \ prawej) = \ nu _ {p} (r) - \ nu _ {p} (s).}$

Na przykład ${\ Displaystyle \ nu _ {2} {\ bigl (}{\ tfrac {9} {8}} {\ bigr)} = - 3}$ i ${\ Displaystyle \ nu _ {3} {\ bigl (}{\ tfrac {9} {8}} {\ bigr)} = 2}$ od ${\ Displaystyle { \tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}$ .

Niektóre właściwości to:

${\ Displaystyle \ nu _ {p} (r \ cdot s) = \ nu _ {p} (r) + \ nu _ {p } (s)}$

${\ Displaystyle \ nu _ {p} (r + s) \ geq \ min {\ bigl \ { }\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

Ponadto, jeśli ${\ Displaystyle \ nu _ {p} (r) \ neq \ nu _ {p} (s)}$ , ​​to

${\ Displaystyle \ nu _ {p} (r + s) = \ min {\ bigl \ {} \ nu _ {p }(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

gdzie jest $($ tj. mniejsze z dwóch).

p -adyczna wartość bezwzględna

P -adyczna wartość bezwzględna na ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ jest funkcją

${\ Displaystyle |\ cdot | _ {p} \ dwukropek \ mathbb {Q} \ do \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$

określony przez

${\ Displaystyle | r | _ {p} = p ^ {- \ nu _ {p} (r)}.}$

W ten sposób ${\ Displaystyle | 0 | _ {p} = p ^ {- \ infty} = 0}$$dla$ wszystkich na przykład ${\ Displaystyle | {-12} | _ {2} = 2 ^ {- 2} = {\ tfrac {1} {4}}}$ i ${\ Displaystyle {\ bigl |} {\ tfrac {9} {8}} {\ bigr |} _ {2} = 2 ^ {- (-3)} = 8.}$

Wartość bezwzględna p -adic spełnia następujące właściwości.

Brak negatywności	${\ Displaystyle | r | _ {p} \ geq 0}$
Pozytywna określoność	${\ Displaystyle | r | _ {p} = 0 \ iff r = 0}$
Multiplikatywność	${\ Displaystyle | rs | _ {p} = | r | _ {p} | s | _ {p}}$
Nie-archimedesowy	${\ Displaystyle | r + s | _ {p} \ równoważnik \ max \ lewo (| r | _ {p}, | s | _ {p} \ prawo )}$

Z multiplikatywności ${\ Displaystyle | rs |_ {p} = | r | _ {p} | s | _ {p}}$ wynika, że ${\ Displaystyle |1|_ {p} = 1 =|-1|_ {p}}$ dla korzeni jedności ${\ Displaystyle 1}$ i ${\ Displaystyle -1}$ aw konsekwencji także ${\ Displaystyle | {- r} | _ {p} = | r | _ {p}.$ } Subaddytywność ${\ Displaystyle | r + s | _ {p} \ równoważnik | r | _ {p} + | s | _ {p}} wynika$ z nierówności trójkąta innego niż Archimedesa ${\ Displaystyle | r + s | _ {p} \ równoważnik \ max \ lewo (| r | _ {p}, | s | _ {p} \ prawo) }$ .

Wybór podstawy p w potęgowaniu nie ma znaczenia dla większości właściwości, ale obsługuje formułę produktu: ${\ Displaystyle p ^ {- \ nu _ {p} (r)}}$

${\ Displaystyle \ prod _ {0, p} | r | _ {p} = 1}$

gdzie iloczyn jest przejęty przez wszystkie liczby pierwsze p i zwykłą wartość bezwzględną, oznaczoną ${\ displaystyle | r | _ {0}}$ . Wynika to po prostu z rozkładu na czynniki pierwsze : każdy główny współczynnik mocy $p$ swoją odwrotność do swojej -adycznej wartości bezwzględnej, następnie zwykła wartość bezwzględna Archimedesa anuluje je wszystkie.

Wartość bezwzględna p -adic jest czasami określana jako „ norma p -adic” chociaż w rzeczywistości nie jest normą , ponieważ nie spełnia wymogu jednorodności .

Przestrzeń metryczną można utworzyć na zbiorze z metryką ( niearchimedesową , niezmienną w tłumaczeniu ) ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ Displaystyle d \ dwukropek \ mathbb {Q} \ razy \ mathbb {Q} \ do \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$

określony przez

${\ displaystyle d (r, s) = | rs | _ {p}.}$

Uzupełnienie w odniesieniu do tej $.$$prowadzi$ do -adic liczb

Zobacz też

• p - liczba adyczna
• Własność Archimedesa
• Wielość (matematyka)
• Twierdzenie Ostrowskiego
• Formuła Legendre'a