Funkcja jednorodna

Aby zapoznać się z jednorodnymi mapami liniowymi, zobacz Gradowana przestrzeń wektorowa § Homomorfizmy .

W matematyce funkcja jednorodna jest funkcją kilku zmiennych, taką, że jeśli wszystkie jej argumenty są pomnożone przez skalar , to jej wartość jest mnożona przez pewną potęgę tego skalara, zwaną stopniem jednorodności lub po prostu stopniem ; to znaczy, jeśli k jest liczbą całkowitą, funkcja f n zmiennych jest jednorodna stopnia k if

${\ Displaystyle f (sx_ {1}, \ ldots, sx_ {n}) = s ^ {k} f (x_{1},\ldkropki,x_{n})}$

dla $_$ { $0.$

Na przykład jednorodny wielomian stopnia k definiuje jednorodną funkcję stopnia k .

Powyższa definicja rozciąga się na funkcje, których dziedzina i kodomena są przestrzeniami wektorowymi nad polem między dwiema przestrzeniami F -wektorowymi jest jednorodna co $}$ stopnia fa : funkcja $V \ do W}$$Displaystyle f$ : jeśli

${\ Displaystyle f (s \ mathbf {v}) = s ^ {k} f (\ mathbf {v})}$

 

 

 

 

()

dla wszystkich niezerowych ${\ Displaystyle s \ in F}$ i ${\ displaystyle v \ in V.}$ Ta definicja jest często dalej uogólniana na funkcje, których domeną nie jest V , ale stożek w V , to znaczy podzbiór C z V taki, że ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ w C}$ implikuje ${\ Displaystyle s \ mathbf {v} \ w C}$ dla każdego niezerowego skalara s .

W przypadku funkcji kilku zmiennych rzeczywistych i rzeczywistych przestrzeni wektorowych często rozważa się nieco bardziej ogólną formę jednorodności zwaną jednorodnością dodatnią , wymagając jedynie, aby powyższe tożsamości zachodziły dla ${\ displaystyle s> 0}$ dowolna liczba rzeczywista k jako stopień jednorodności. Każda jednorodna funkcja rzeczywista jest dodatnio jednorodna . Odwrotność nie jest prawdziwa, ale jest lokalnie prawdziwa w tym sensie, że (dla stopni całkowitych) nie można rozróżnić dwóch rodzajów jednorodności, biorąc pod uwagę zachowanie funkcji w pobliżu danego punktu.

Norma w rzeczywistej przestrzeni wektorowej jest przykładem dodatnio jednorodnej funkcji, która nie jest jednorodna . Szczególnym przypadkiem jest wartość bezwzględna liczb rzeczywistych. Iloraz dwóch jednorodnych wielomianów tego samego stopnia daje przykład jednorodnej funkcji stopnia zero. Ten przykład jest fundamentalny w definicji schematów projekcyjnych .

Definicje

Pojęcie funkcji jednorodnej zostało pierwotnie wprowadzone dla funkcji kilku zmiennych rzeczywistych . Wraz z definicją przestrzeni wektorowych pod koniec XIX wieku koncepcja została naturalnie rozszerzona na funkcje między przestrzeniami wektorowymi, ponieważ krotka wartości zmiennych może być uważana za wektor współrzędnych . Ten bardziej ogólny punkt widzenia został opisany w tym artykule.

Powszechnie stosowane są dwie definicje. Ogólny działa dla przestrzeni wektorowych nad dowolnymi polami i jest ograniczony do stopni jednorodności, które są liczbami całkowitymi .

Drugi ma pracować nad ciałem liczb rzeczywistych , czyli ogólniej nad ciałem uporządkowanym . Definicja ta ogranicza do wartości dodatnich współczynnik skalowania występujący w definicji i dlatego jest nazywana jednorodnością pozytywną , przy czym często pomija się kwalifikacyjny pozytyw , gdy nie ma ryzyka pomyłki. Dodatnia jednorodność prowadzi do uznania większej liczby funkcji za jednorodne. Na przykład wartość bezwzględna i wszystkie normy są dodatnio jednorodnymi funkcjami, które nie są jednorodne.

Ograniczenie współczynnika skalowania do rzeczywistych wartości dodatnich pozwala również rozpatrywać funkcje jednorodne, których stopniem jednorodności jest dowolna liczba rzeczywista.

Ogólna jednorodność

Niech V i W będą dwiema przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F . Stożek liniowy w V $s$ podzbiorem C V takim $,$${\ displaystyle s \ w F.}$ wszystkich i _

Funkcja jednorodna f od V do W jest funkcją częściową od V do W , której dziedziną jest liniowy stożek C i spełnia

${\ Displaystyle f (sx) = s ^ {k} f (x)}$

dla $s \ in F.}$ liczby całkowitej k $niezerowy$ każdy Displaystyle Liczba całkowita k nazywana jest stopniem jednorodności lub po prostu stopniem f .

Typowym przykładem jednorodnej funkcji stopnia k jest funkcja zdefiniowana przez jednorodny wielomian stopnia k . Funkcja wymierna zdefiniowana przez iloraz dwóch jednorodnych wielomianów jest funkcją jednorodną; jego stopień jest różnicą stopni licznika i mianownika; jego stożek definicji jest liniowym stożkiem punktów, w których wartość mianownika jest różna od zera.

Funkcje jednorodne odgrywają fundamentalną rolę w geometrii rzutowej , ponieważ każda funkcja jednorodna f od V do W definiuje dobrze zdefiniowaną funkcję między rzutowaniami V i W . Jednorodne funkcje wymierne stopnia zerowego (określone przez iloraz dwóch jednorodnych wielomianów tego samego stopnia) odgrywają zasadniczą rolę w schematów rzutowych w Proj .

Pozytywna jednorodność

Pracując nad liczbami rzeczywistymi lub bardziej ogólnie nad uporządkowanym ciałem , zwykle wygodnie jest rozważyć dodatnią jednorodność , której definicja jest dokładnie taka sama jak w poprzedniej sekcji, z „niezerowym s ” zastąpionym przez „ s > 0 ” w definicje stożka liniowego i funkcji jednorodnej.

Ta zmiana pozwala rozpatrywać (pozytywnie) funkcje jednorodne z dowolną liczbą rzeczywistą jako ich stopniami, ponieważ potęgowanie z dodatnią podstawą rzeczywistą jest dobrze zdefiniowane.

Nawet w przypadku stopni całkowitych istnieje wiele użytecznych funkcji, które są dodatnio jednorodne, ale nie są jednorodne. Dotyczy to w szczególności funkcji wartości bezwzględnej i norm , które są dodatnio jednorodne stopnia 1 . Nie są one jednorodne, ponieważ ${\ Displaystyle | - x | = | x | \ neq - | x |}$ jeśli ${\ Displaystyle x \ neq 0.}$ Pozostaje to prawdą w przypadku zespolonym , ponieważ pole liczb zespolonych $i$ każdą zespoloną przestrzeń wektorową można uznać za rzeczywiste przestrzenie wektorowe

Twierdzenie Eulera o funkcji jednorodnej jest charakterystyką dodatnio jednorodnych funkcji różniczkowalnych , które można uznać za fundamentalne twierdzenie o funkcjach jednorodnych .

Przykłady

Funkcja jednorodna niekoniecznie jest ciągła , jak pokazano w tym przykładzie. Jest to funkcja zdefiniowana przez $($${\ Displaystyle f (x, y) = x}$${\ Displaystyle f (x, y) = 0}$ y $displaystyle xy> 0}$ i jeśli ${\ Displaystyle xy \ równoważnik 0.}$ Ta funkcja jest jednorodna stopnia 1, to znaczy dla dowolnych liczb rzeczywistych ${\ Displaystyle s, x, y.}$$}$ Jest nieciągły w ${\ Displaystyle y = 0, x \ neq 0.}$

Prosty przykład

Funkcja ${\ Displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}}$ jest jednorodna stopnia 2:

$${\ Displaystyle f (tx, ty) = (tx) ^ {2} + (ty) ^ {2} = t ^ {2} \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} \ prawo) = t ^{2}f(x,y).}$$

Wartość bezwzględna i normy

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest dodatnio jednorodną funkcją stopnia 1 , która nie jest jednorodna, ponieważ ${\ Displaystyle | sx | = s | x |}$ jeśli ${\ Displaystyle s> 0,}$ i ${\ Displaystyle | sx | = - s | x |}$ jeśli ${\ displaystyle s <0.}$

Wartość bezwzględna liczby zespolonej jest dodatnio jednorodną funkcją stopnia $względem$ liczb rzeczywistych (to znaczy, gdy traktuje się liczby zespolone jako przestrzeń wektorową nad liczbami rzeczywistymi) Nie jest jednorodny, zarówno względem liczb rzeczywistych, jak i liczb zespolonych.

Mówiąc bardziej ogólnie, każda norma i seminorma jest dodatnio jednorodną funkcją stopnia 1 , która nie jest funkcją jednorodną. Jeśli chodzi o wartość bezwzględną, jeśli norma lub półnorma jest zdefiniowana w przestrzeni wektorowej nad liczbami zespolonymi, tę przestrzeń wektorową należy traktować jako przestrzeń wektorową nad liczbą rzeczywistą, aby zastosować definicję funkcji dodatnio jednorodnej.

Funkcje liniowe

Każda mapa liniowa $\ Displaystyle f: V \ do W}$ przestrzeniami wektorowymi nad polem F jest jednorodna co do stopnia 1, zgodnie z definicją liniowości: fa :

$${\ Displaystyle f (\ alfa \ mathbf {v}) = \ alfa f (\ mathbf {v})}$$

dla $i$ v ${\ Displaystyle v \ w V.}$

Podobnie, każda funkcja wieloliniowa ${\ Displaystyle f: V_ {1} \ razy V_ {2} \ razy \ cdots V_ {n} \ do W}$ jest jednorodna stopnia $\ displaystyle n}$ z definicji wieloliniowości:

$${\ Displaystyle f \ lewo (\ alfa \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ alfa \ mathbf {v} _{n}\right)=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots,\mathbf {v} _{n})}$$

dla $_$ i ${\ Displaystyle v_ {1} \ w V_ {1}, v_ {2} \ w V_ {2}, \ ldots, v_ {n} \ w V_ {n}.}$

Wielomiany jednorodne

Główny artykuł: Jednorodny wielomian

Jednomiany w $n$ definiują jednorodne ${\ Displaystyle f: \ mathbb {F} ^ {n} \ do \ mathbb {F}.}$ Na przykład

$${\ Displaystyle f (x, y, z) = x ^ {5} y ^ {2} z ^ {3} \,}$$

jest jednorodny stopnia 10 od

$${\ Displaystyle f (\ alfa x, \ alfa y, \ alfa z) = (\ alfa x) ^ {5} (\ alfa y) ^ {2} (\ alfa z) ^ {3} = \ alfa ^ { 10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alfa ^{10}f(x,y,z).\,}$$

Stopień jest sumą wykładników zmiennych; w tym przykładzie ${\ Displaystyle 10 = 5 + 2 + 3.}$

Wielomian jednorodny to wielomian składający się z sumy jednomianów tego samego stopnia. Na przykład,

$${\ Displaystyle x ^ {5} + 2x ^ {3} y ^ {2} + 9xy ^ {4}}$$

jest wielomianem jednorodnym stopnia 5. Wielomiany jednorodne definiują również funkcje jednorodne.

Biorąc pod uwagę jednorodny wielomian stopnia $do$${\ Displaystyle 1/d.}$$re$ dodatnio jednorodną funkcję stopnia, potęgi Na przykład następująca funkcja jest dodatnio jednorodna stopnia 1, ale nie jest jednorodna:

$${\ Displaystyle \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ prawo) ^ {\ Frac {1} {2}}.}$$

Minimum maksimum

Dla każdego zestawu wag następujące funkcje są dodatnio jednorodne stopnia 1, ale nie jednorodne: ${\ displaystyle w_ {1}, \ kropki, w_ {n}}$

• ${\ Displaystyle \ min \ lewo ({\ Frac {x_ {1}} {w_ {1}}}, \ kropki, {\ Frac {x_ {n} }{w_{n}}}\right)}$ ( narzędzia Leontiefa )
• ${\ Displaystyle \ max \ lewo ({\ Frac {x_ {1}} {w_ {1}}}, \ kropki, {\ Frac {x_ {n} }{w_{n}}}\prawo)}$

Funkcje wymierne

Funkcje wymierne utworzone jako stosunek dwóch jednorodnych wielomianów są funkcjami jednorodnymi w swojej dziedzinie , to znaczy poza liniowym stożkiem utworzonym przez zera mianownika. Tak więc, jeśli $i$ jednorodny stopnia jest jednorodny stopnia $n$$}$$displaystyle$ to ${\ displaystyle f / g}$${\ Displaystyle g.}$ jednorodny w $g$ zera

Nie-przykłady

Jednorodne funkcje rzeczywiste pojedynczej $stałej$ dla pewnej Tak więc funkcja afiniczna logarytm naturalny ${\ Displaystyle x \ mapsto \$$ln (x)} i funkcja wykładnicza x ↦ x + 5 , {\ Displaystyle$ mapsto x ${\ displaystyle x \ mapsto e ^ {x}}$ nie są jednorodne.

Twierdzenie Eulera

Z grubsza mówiąc, twierdzenie Eulera o funkcji jednorodnej stwierdza, że ​​dodatnio jednorodne funkcje danego stopnia są dokładnie rozwiązaniem określonego równania różniczkowego cząstkowego . Dokładniej:

Twierdzenie Eulera o funkcji jednorodnej - Jeśli f jest (częściową) funkcją n zmiennych rzeczywistych, która jest dodatnio jednorodna stopnia k i różniczkowalna w sposób ciągły w pewnym otwartym podzbiorze $}$ to spełnia w tym zbiorze otwartym równanie różniczkowe cząstkowe

$${\ Displaystyle k \, f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x_ {i}}}(x_{1},\ldkropki,x_{n}).}$$

I odwrotnie, każde maksymalnie różniczkowalne w sposób ciągły rozwiązanie tego równania różniczkowalnego cząstkowego jest dodatnio jednorodną funkcją stopnia k , zdefiniowaną na dodatnim stożku (tutaj maksimum oznacza, że ​​rozwiązania nie można przedłużyć do funkcji o większej dziedzinie).

Dowód

Aby mieć prostsze formuły, ustawiamy ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}).}$ Pierwsza część wynika z zastosowania reguły łańcuchowej do różniczkowania obu stron równania ${\ Displaystyle f (s \ mathbf {x}) = s ^ {k} f (\ mathbf {x})}$ w odniesieniu do ${\ displaystyle s,}$ i przyjmując granicę wyniku, gdy s dąży do 1 .

Odwrotność jest udowodniona przez całkowanie prostego równania różniczkowego . Niech $będzie we$ wnętrzu dziedziny . Dla s $_$ blisko 1 funkcja _ Wynika to z równania różniczkowego cząstkowego

$${\ Displaystyle sg' (s) = kf (s \ mathbf {x}) = kg (s).}$$

Rozwiązania tego liniowego równania różniczkowego mają postać ${\ Displaystyle g (s) = g (1) s ^ {k}.}$ Dlatego

$${\ Displaystyle f (s \ mathbf {x}) = g (s) = s ^ {k} g ( 1)=s^{k}f(\mathbf {x} ),}$$

jeśli s jest wystarczająco bliskie 1 . Gdyby to rozwiązanie równania różniczkowego cząstkowego nie zostało zdefiniowane dla wszystkich dodatnich s , to równanie funkcyjne pozwoliłoby na wydłużenie rozwiązania, a z równania różniczkowego cząstkowego wynika, że ​​wydłużenie to jest jednoznaczne. Zatem dziedziną maksymalnego rozwiązania równania różniczkowego cząstkowego jest stożek liniowy, a rozwiązanie jest dodatnio jednorodne stopnia k . ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

W konsekwencji, jeśli $}$$sposób$ i jednorodna stopnia ∂ $f / \ częściowe x_ {i}}$ częściowe są jednorodne stopnia ${\ Displaystyle k-1.$ Wynika to z twierdzenia Eulera poprzez różniczkowanie równania różniczkowego cząstkowego względem jednej zmiennej.

W przypadku funkcji pojedynczej zmiennej rzeczywistej ( $implikuje$${\ Displaystyle f (x) = c_ {+} x ^ {k}}$ , że różniczkowalna w sposób ciągły i dodatnio jednorodna funkcja stopnia ma postać dla ${\ Displaystyle x> 0}$ i ${\ Displaystyle f (x) = c_ {-} x ^ {k}}$ dla $x<0.$ The constants $c_{+}$ and $c_{-}$ are not necessarily the same, as it is the case for the absolute value.

Zastosowanie do równań różniczkowych

Główny artykuł: Jednorodne równanie różniczkowe

Podstawienie przekształca zwykłe równanie różniczkowe ${\ displaystyle v = y/x}$

$${\ Displaystyle I (x, y) {\ Frac {\ operatorname {d} y} {\ operatorname {d} x}} + J (x,y)=0,}$$

gdzie $displaystyle$ są jednorodnymi funkcjami tego samego stopnia, w rozdzielnym równaniu różniczkowym ja { $}$ I

$${\ Displaystyle x {\ Frac {\ operatorname {d} v} {\ operatorname {d} x}} = - {\ Frac {J (1, v)} {I (1, v)}} -v.}$$

Uogólnienia

Jednorodność pod działaniem monoidu

Wszystkie podane powyżej definicje są wyspecjalizowanymi przypadkami następującego, bardziej ogólnego pojęcia jednorodności, w którym może być dowolnym zbiorem (a nie przestrzenią wektorową), a liczby rzeczywiste można zastąpić bardziej ogólnym pojęciem monoidu: X $\ displaystyle X}$ .

Niech będzie monoidem z elementem tożsamości ${\ Displaystyle 1 \ w M,}$$M$ X $\ displaystyle X}$ i ${\ displaystyle Y}$ będą zbiorami i załóżmy, że na obu $} \displaystyle X}$$i$ zdefiniowane działania monoidowe ${\ displaystyle M.}$ Niech ${\ displaystyle k}$ będzie nieujemną liczbą całkowitą i niech ${\ displaystyle f: X \ do Y}$ być mapą. Wtedy mówi się, że jest $jeśli$$\w M,}$ ponad $,$$M}$ \ dla każdego $∈$ m $Displaystyle$

$${\ Displaystyle f (mx) = m ^ {k} f (x).}$$

${\ Displaystyle m \ mapsto | m |,}$$_$ funkcja ↦ jednorodny stopnia $,$$M}$ nazywany wartością bezwzględną , to mówi się, że jest $Displaystyle$ jeśli dla każdego ${\ displaystyle x \ w X}$ i ${\ Displaystyle m \ w M,}$

$${\ Displaystyle f (mx) = | m | ^ {k} f (x).}$$

Funkcja jest jednorodna w stosunku do $absolutnie$ (odp. absolutnie jednorodna w stosunku do $)$ , jeśli jest jednorodna pod względem stopnia ( ${$ jednorodna pod względem stopnia ) $displaystyle M}$${\ Displaystyle 1}$ nad ${\ Displaystyle M}$ ).

$Mówiąc$$liczba$ zdefiniowanie symboli dla niż całkowita $($ na przykład, jeśli to $liczby$ rzeczywiste, a to niezerowa liczba rzeczywista, to $displaystyle k$$}$$mimo$ że nie jest liczbą całkowitą). Jeśli tak jest, wówczas jednorodny stopnia nad $displaystyle M},$$jeśli$ nazwany zachodzi ta sama równość: ${\ displaystyle f }$

$${\ Displaystyle f (mx) = m ^ {k} f (x) \ quad {\ tekst {dla każdego}} x \ w X {\ tekst {i}} m \ w M.}$$

Pojęcie bycia absolutnie jednorodnym w stopniu $sposób$ jest $podobny$ uogólniane w

Rozkłady (funkcje uogólnione)

Główny artykuł: Homogeniczna dystrybucja

Funkcja ciągła ${\ Displaystyle$$\ mathbb {R} ^ {n}}$ jest jednorodna stopnia wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle k$ }

$${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (tx )\varphi (x)\,dx=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx}$$

dla wszystkich kompaktowo obsługiwanych funkcji testowych ${\ displaystyle \ varphi}$ ; i niezerowe rzeczywiste $t$${\ Displaystyle y = tx,}$${\ Displaystyle f}$ Równoważnie, dokonanie zmiany zmiennej jest jednorodne stopnia wtedy i tylko wtedy, gdy $displaystyle k}$

$${\ Displaystyle t ^ {- n} \ int _ {\ mathbb {R } ^{n}}f(y)\varphi \left({\frac {y}{t}}\right)\,dy=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n} }f(y)\varphi (y)\,dy}$$

dla wszystkich i wszystkich funkcji testowych ${\ displaystyle \ varphi.}$$\ displaystyle t}$ Ostatni ekran umożliwia zdefiniowanie jednorodności rozkładów . Rozkład $jest$ stopnia $_$ _

$${\ Displaystyle t ^ {- n} \ langle S, \ varphi \ circ \ mu _ {t} \ rangle = t ^ {k} \langle S,\varphi \rangle }$$

dla wszystkich niezerowych rzeczywistych $i$ funkcji testowych ${\ Displaystyle \ varphi.}$ Tutaj nawiasy ostrokątne oznaczają parowanie między rozkładami a funkcjami testowymi i ${\ Displaystyle \ mu _ {t}: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \mathbb {R} ^{n}}$ jest odwzorowaniem dzielenia skalarnego przez liczbę rzeczywistą ${\ Displaystyle t.}$

Słowniczek wariantów nazw

Niech $\ Displaystyle f: X \ do Y}$$\ mathbb {R}} }$ będzie mapą między dwiema przestrzeniami wektorowymi nad polem (zwykle liczby rzeczywiste $Displaystyle$ lub liczby zespolone ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ). Jeśli jest zbiorem skalarów, takich jak $[$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$$[0,\infty ),$ or $\mathbb {R}$ for example, then $f$ is said to be homogeneous over $S$ if ${\textstyle f(sx)=sf(x)}$ for every $x\in X$ and scalar $s\in S.$ Na przykład każda addytywna mapa między przestrzeniami wektorowymi jest $względem$ liczb wymiernych, może nie być względem liczb rzeczywistych ${\ Displaystyle S: = \ mathbb {R}.}$

Następujące często spotykane przypadki szczególne i odmiany tej definicji mają swoją własną terminologię:

1. ( Ścisła ) Pozytywna jednorodność : $x)}$$($$\ displaystyle r> 0.}$ dla wszystkich i wszystkich dodatnich rzeczywistych
   • Ta właściwość jest często nazywana również nieujemną jednorodnością , ponieważ dla funkcji wycenianej w przestrzeni wektorowej lub polu jest logicznie równoważna z: ${\ displaystyle f (rx) = rf (x)}$ dla wszystkich $displaystyle r \$ wszystkich nieujemnych rzeczywistych $}$ Jednak dla funkcji o wartości w rozszerzone liczby rzeczywiste ${\ Displaystyle [- \ infty, \ infty ] = \ mathbb {R} \ kubek \ {\ pm \ infty \}},$ które pojawiają się w polach podobnie jak analiza wypukła , mnożenie będzie niezdefiniowane za każdym razem, gdy $x) = \ pm$$±$ więc te stwierdzenia niekoniecznie są wymienne.
   • Ta właściwość jest używana w definicji funkcji podliniowej .
   • Funkcjonały Minkowskiego to dokładnie te nieujemne rozszerzone funkcje o wartościach rzeczywistych o tej właściwości.
2. Prawdziwa jednorodność : $)}$${\ displaystyle r.}$$x$ dla wszystkich i wszystkich rzeczywistych
   • Ta właściwość jest używana w definicji rzeczywistego funkcjonału liniowego .
3. jednorodność : $)}$$x$ dla wszystkich wszystkich skalarów ${\ Displaystyle s \ w \ mathbb {F}.}$
   • Podkreśla się, że ta definicja zależy od pola skalarnego $u$ podstaw domeny ${\ Displaystyle X.}$
   • Ta właściwość jest używana w definicji funkcjonałów liniowych i map liniowych .
4. jednorodność sprzężenia : ${\ Displaystyle f (sx) = {\ overline {s}} f (x)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ w X}$ skalary ${\ Displaystyle s \ w \ mathbb {F}.}$
   • Jeśli $\ Displaystyle {\ overline {$$}$ { $displaystyle s}$ zazwyczaj oznacza złożony koniugat . Ale bardziej ogólnie, jak na przykład w przypadku map półliniowych ${\ Displaystyle \ mathbb {F}.}$$może to$ być obraz z $automorfizmem$ wyróżniającym
   • Wraz z addytywnością tę właściwość przyjmuje się w definicji przekształcenia antyliniowego . Zakłada się również, że jedna z dwóch współrzędnych formy seskwiliniowej ma tę właściwość (na przykład iloczyn wewnętrzny przestrzeni Hilberta ).

Wszystkie powyższe definicje można uogólnić, zastępując warunek ${\ Displaystyle f (rx) = rf (x)}$ z ${\ Displaystyle f (rx) = | r | f (x)}$ w takim przypadku definicja jest poprzedzona słowem „ absolutny ” lub „ absolutnie ” " Na przykład

5. Absolutna jednorodność : $s | f (x)}$$skalarów$${\ Displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$ dla wszystkich wszystkich
   • Ta właściwość jest używana w definicji seminormy i normy .

Jeśli jest $ustaloną liczbą rzeczywistą, powyższe definicje można dalej uogólnić,$ zastępując warunek $\ Displaystyle f (rx) = rf (x)$${\ Displaystyle f (rx) = r ^ {k} f (x)}$ (i podobnie, zastępując ${\ Displaystyle f (rx) = | r | f (x)}$ z ${\ Displaystyle f (rx) = | r | ^ {k} f (x)}$ dla warunków wykorzystujących wartość bezwzględną itp.), w którym to przypadku mówi się, że jednorodność wynosi „ stopnia ${ \displaystyle k}$ " (gdzie w szczególności wszystkie powyższe definicje są " stopnia ${\ Displaystyle 1}$ " ). Na przykład

6. $)$ stopnia $\ Displaystyle k}$ dla wszystkich : ${\ Displaystyle f (rx) = r ^ {k} f (x$ i wszystkie prawdziwe ${\ Displaystyle r.}$
7. jednorodność stopnia ${\ Displaystyle k}$ : ${\ Displaystyle f (sx) = s ^ {k} f (x)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ w X}$ i wszystkich skalarach ${\ Displaystyle s \ w \ mathbb {F}.}$
8. Absolutna rzeczywista jednorodność stopnia ${\ displaystyle k}$ : $)}$$x$ dla wszystkich wszystkich rzeczywistych ${\ Displaystyle r.}$
9. $s | ^ {k} f (x)}$ jednorodność $)$ : $dla$${\ Displaystyle s \ w \ mathbb {F}.}$ wszystkich wszystkich skalarów

Niezerowa funkcja ciągła , która jest jednorodna stopnia na $Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ ukośnik odwrotny \ lbrace 0 \ rbrace}$$\$ się w sposób ciągły do ${\ displaystyle \ \ mathbb {R} ^ {n}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle k> 0.}$

Zobacz też

• Homogeniczna przestrzeń
• Funkcja środka trójkąta – punkt w trójkącie, który może być postrzegany jako środek pod pewnymi kryteriami Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowania

Notatki

Dowody

•   Blatter, chrześcijanin (1979). "20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.". Analiza II (wyd. 2) (w języku niemieckim). Springer Verlag. P. 188. ISBN 3-540-09484-9 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Schechter, Eric (1996). Podręcznik analizy i jej podstaw . San Diego, Kalifornia: Prasa akademicka. ISBN 978-0-12-622760-4 . OCLC 175294365 .

Linki zewnętrzne

• „Funkcja jednorodna” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Erica Weissteina. „Twierdzenie o funkcji jednorodnej Eulera” . MathWorld .