Projekcja

W matematyce rzutowanie jest procedurą $, która$ z niezerową przestrzenią wektorową przestrzenią rzutową , której elementami jednowymiarowe podprzestrzenie V . Mówiąc bardziej ogólnie, każdy podzbiór S od V zamknięty przy mnożeniu przez skalar definiuje podzbiór ${\ Displaystyle {\ mathbb {P}} (V)}$ utworzony przez linie zawarte w S i nazywa się rzutowaniem S .

Nieruchomości

• Rzutyzacja jest szczególnym przypadkiem rozkładu na czynniki przez działanie grupowe : przestrzeń rzutowa jest ilorazem zbioru otwartego V \ {0} niezerowych wektorów przez ${\ Displaystyle {\ mathbb {P}} (V)}$ działanie multiplikatywnej grupy pola podstawowego przez przekształcenia skalarne. Wymiar w sensie geometrii algebraicznej jest o jeden mniejszy niż wymiar przestrzeni wektorowej ${\ Displaystyle {\ mathbb {P}} (V)$ } V. _
• Projekcja jest funkcjonalna w odniesieniu do iniekcyjnych map liniowych: jeśli

${\ Displaystyle f: V \ do W}$

jest mapą liniową z trywialnym jądrem , a następnie f definiuje algebraiczną mapę odpowiednich przestrzeni rzutowych,

${\ Displaystyle \ mathbb {P} (f): \ mathbb {P} (V) \ do \ mathbb {P} (W).} W$

szczególności ogólna grupa liniowa GL ( V ) działa na przestrzeń rzutową ${\ Displaystyle {\ mathbb {P}} (V)}$ przez automorfizmy .

Zakończenie projekcyjne

$osadza$ przestrzeń wektorową nad polem K w przestrzeni rzutowej tego Do każdego wektora v z V przypisuje linię rozpiętą przez wektor ( v , 1) z V ⊕ K .

Uogólnienie

Główny artykuł: Pakiet projekcyjny

W geometrii algebraicznej istnieje procedura, która wiąże rozmaitość rzutową Proj S ze stopniowaną algebrą przemienną S (z pewnymi ograniczeniami technicznymi dotyczącymi S ). Jeśli S jest algebrą wielomianów w przestrzeni wektorowej V , to Proj S jest ${\ Displaystyle {\ mathbb {P}} (V).}$ Ta konstrukcja Proj daje początek funktorowi kontrawariantnemu od kategorii stopniowanych kręgów przemiennych i surjektywnych map stopniowanych do kategorii schematów rzutowych .