Odmiana Schuberta

W geometrii algebraicznej rozmaitość Schuberta jest pewną pododmianą Grassmanna , zwykle z punktami osobliwymi . Podobnie jak Grassmannian jest to rodzaj przestrzeni modułowej , której punkty odpowiadają pewnym rodzajom podprzestrzeni V , określonych za pomocą algebry liniowej , wewnątrz podprzestrzeni wektora ustalonego W . Tutaj W może być przestrzenią wektorową nad dowolnym ciałem , choć najczęściej nad liczbami zespolonymi .

Typowym przykładem jest zbiór X , którego punkty odpowiadają dwuwymiarowym podprzestrzeniom V 4-wymiarowej przestrzeni wektorowej W tak, że V nietrywialnie przecina stałą (odniesienia) dwuwymiarową podprzestrzeń W ₂ :

{\ Displaystyle X \ = \ \ {V \ podzbiór W \ środek \ dim (V) = 2, \, \ dim (V \ czapka W_ {2}) \ geq 1 \}.}

W polu liczb rzeczywistych można to zobrazować w zwykłej przestrzeni xyz w następujący sposób. Zastępując podprzestrzenie $,$ obszarem współrzędnych otrzymujemy otwarty podzbiór X ° ⊂ X . Jest to izomorficzne ze zbiorem wszystkich linii L (niekoniecznie przechodzących przez początek), które przecinają oś x . Każda taka linia L odpowiada punktowi X °, a ciągłe przemieszczanie się L w przestrzeni (utrzymując kontakt z osią x ) odpowiada krzywej w X °. Ponieważ istnieją trzy stopnie swobody poruszania się L (przesuwanie punktu na osi x , obracanie i przechylanie), X jest trójwymiarową rzeczywistą rozmaitością algebraiczną . Jednakże, gdy L jest równe osi x , można je obrócić lub przechylić wokół dowolnego punktu na osi, a ten nadmiar możliwych ruchów sprawia, że L jest punktem osobliwym X .

$fladze$ przecięcia k -wymiarowego V z każdą spacją w stałej , gdzie ${\ displaystyle \ dim W_ {j} = j}$ . (W powyższym przykładzie oznaczałoby to konieczność pewnych przecięć linii L z osią x i płaszczyzną xy .)

W jeszcze większym ogólności, mając daną półprostą grupę algebraiczną G z podgrupą borelową B i standardową podgrupą paraboliczną P , wiadomo, że przestrzeń jednorodna X = G / P , będąca przykładem odmiany flagowej , składa się ze skończenie wielu B -orbity, które można sparametryzować pewnymi elementami grupy Weyla W . Zamknięcie B związanej z elementem w grupy Weyla jest oznaczana przez _Xw i nazywana odmianą Schuberta w G / P . Klasyczny przypadek odpowiada G = SL _n i P będącemu k -tą maksymalną podgrupą paraboliczną G .

Znaczenie

Odmiany Schuberta stanowią jedną z najważniejszych i najlepiej poznanych klas osobliwych rozmaitości algebraicznych . Pewną miarą osobliwości odmian Schuberta są wielomiany Kazhdana – Lusztiga , które kodują ich lokalną kohomologię przecięcia Goresky’ego – MacPhersona .

Algebry funkcji regularnych na rozmaitościach Schuberta mają głębokie znaczenie w kombinatoryce algebraicznej i są przykładami algebr z prawem prostowania . (Ko)homologia Grassmanna i bardziej ogólnie, bardziej ogólnych odmian flagowych, ma podstawę składającą się z klas (ko)homologii odmian Schuberta, cykli Schuberta . Badania nad teorią przecięcia Grassmanna zapoczątkował Hermann Schubert , a kontynuował je Zeuthen w XIX wieku pod hasłem geometrii wyliczeniowej . Obszar ten został uznany przez Davida Hilberta za na tyle ważny, że został zaliczony do piętnastego z jego słynnych 23 problemów . Badania kontynuowano w XX wieku jako część ogólnego rozwoju topologii algebraicznej i teorii reprezentacji , ale przyspieszono w latach 90. XX wieku, począwszy od prac Williama Fultona nad loci degeneracji i wielomianami Schuberta , kontynuując wcześniejsze badania Bernsteina – Gelfanda – Gelfanda i Demazure w teorii reprezentacji w latach 70., Lascoux i Schützenberger w kombinatoryce w latach 80. oraz Fulton i MacPherson w teorii przecięć osobliwych rozmaitości algebraicznych, także w latach 80.

Zobacz też

PA Griffiths, JE Harris, Zasady geometrii algebraicznej , Wiley (Interscience) (1978)
AL Onishchik (2001) [1994], „Odmiana Schuberta” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
H. Schubert, Lösung des Charakteristiken-Problems für lineare Räume beliebiger Dimension Mitt. Matematyka. Gesellschaft Hamburg, 1 (1889), s. 134–155