Rozdzielczość Botta-Samelsona

W geometrii algebraicznej rozdzielczość Botta -Samelsona odmiany Schuberta jest rozdzielczością osobliwości . Został wprowadzony przez Botta i Samelsona (1958) w kontekście zwartych grup Liego . Sformułowanie algebraiczne jest niezależne od Hansena (1973) i Demazure'a (1974) .

Definicja

Niech G będzie spójną redukcyjną zespoloną grupą algebraiczną , B podgrupą borelowską , a T maksymalnym torusem zawartym w B .

Niech ${\ Displaystyle w \ in W = N_ {G} (T) / T.}$ Każde takie w można zapisać jako iloczyn odbić za pomocą prostych pierwiastków. Napraw minimalne takie wyrażenie:

${\ Displaystyle {\ podkreślenie {w}} = (s_ {i_ {1}}, s_ {i_ {2}}, \ ldots, s_ {i_{\ell}})}$

tak, że ${\ Displaystyle w = s_ {i_ {1}} s_ {i_ {2}} \ cdots s_ {i_ {\ ell}}}$ . ( ℓ to długość w . ) Niech ${\ Displaystyle P_ {i_ {j}} \ podzbiór G}$ będzie podgrupą wygenerowaną przez B i przedstawicielem $\ Displaystyle s_ {i_ {j} }}}$ . Niech ${\ displaystyle Z _ {\ podkreślenie {w}}}$ będzie ilorazem: Z w _ {\ displaystyle Z _ {\ podkreślenie {w}}}

${\ Displaystyle Z _ {\ podkreślenie {w}} = P_ {i_ {1}} \ razy \ cdots \ razy P_ {i_ {\ ell}} / B^{\ell}}$

w odniesieniu do działania ${\ Displaystyle B ^ {\ ell}}$ przez

${\ Displaystyle (b_ {1}, \ ldots, b_ {\ ell}) \ cdot (p_ {1}, \ ldots, p_ {\ ell}) = (p_ {1} b_ {1} ^ {-1} ,b_{1}p_{2}b_{2}^{-1},\ldots,b_{\ell -1}p_{\ell }b_{\ell }^{-1}).}$

Jest to gładka odmiana rzutowa . Pisanie ${\ Displaystyle X_ {w} = {\ overline {BwB}}/B = (P_ {i_ {1}} \ cdots P_{i_{\ell }})/B}$ dla odmiany Schuberta dla w , mapa mnożenia

${\ Displaystyle \ pi: Z _ {\ podkreślenie {w}} \ do X_ {w}}$

jest rozdzielczością osobliwości zwaną rozdzielczością Botta-Samelsona. ${\ Displaystyle \ pi}$ ma właściwość: ${\ Displaystyle \ pi _ {*} {\ mathcal {O}} _ {Z _ {\ podkreślenie {w}}} = { \ mathcal {O}} _ {X_ {w}}}$ i ${\ Displaystyle R ^ {i} \ pi _ {*} {\ mathcal {O}} _ {Z_ {\ podkreślenie {w}}} = 0, \, i \ geq 1.}$ Innymi słowy, ${\ Displaystyle X_ {w}}$ ma racjonalne osobliwości .

Istnieją również inne konstrukcje; patrz np. Vakil (2006) .

Notatki

•   Bott, Raoul ; Samelson, Hans (1958), „Zastosowania teorii Morse'a do przestrzeni symetrycznych”, American Journal of Mathematics , 80 : 964–1029, doi : 10,2307/2372843 , MR 0105694 .
•   Brion, Michel (2005), „Wykłady z geometrii odmian flagowych”, Tematy w badaniach kohomologicznych odmian algebraicznych , Trends Math., Birkäuser, Bazylea, s. 33–85, arXiv : math / 0410240 , doi : 10.1007/3 -7643-7342-3_2 , MR 2143072 .
•   Demazure, Michel (1974), „Désingularisation des variétés de Schubert généralisées” , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (w języku francuskim), 7 : 53–88, MR 0354697 .
•   Gorodski, Claudio; Thorbergsson, Gudlaugur (2002), „Cycles of Bott-Samelson type for napięte reprezentacje”, Annals of Global Analysis and Geometry , 21 (3): 287–302, arXiv : math / 0101209 , doi : 10.1023 / A: 1014911422026 , MR 1896478 .
•   Hansen, HC (1973), „O cyklach w rozmaitościach flag”, Mathematica Scandinavica , 33 : 269–274 (1974), doi : 10,7146/math.scand.a-11489 , MR 0376703 .
•   Vakil, Ravi (2006), „Geometryczna reguła Littlewooda-Richardsona”, Annals of Mathematics , druga seria, 164 (2): 371–421, arXiv : math.AG/0302294 , doi : 10.4007/annals.2006.164.371 , MR 2247964 .