Wielomian Schuberta

W matematyce wielomiany Schuberta są uogólnieniami wielomianów Schura , które reprezentują klasy kohomologii cykli Schuberta w odmianach flagowych . Zostały one wprowadzone przez Lascoux i Schützenberger (1982) i zostały nazwane na cześć Hermanna Schuberta .

Tło

Lascoux (1995) opisał historię wielomianów Schuberta.

$są$ Schuberta ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots}$ w zmiennych zależnych od element $wszystkie$ grupy symetrycznej $wszystkich$ permutacji $ustalających$ elementy z wyjątkiem skończonej Stanowią one podstawę pierścienia wielomianowego ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots]}$ w nieskończenie wielu zmiennych.

Kohomologia rozmaitości flagowej $ja$$,}$ [ $Z} [ x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}]/$$I$ gdzie jest ideałem generowanym przez jednorodne funkcje symetryczne stopnia dodatniego Wielomian Schuberta ${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {w}}$ jest unikalnym jednorodnym wielomianem stopnia reprezentującym cykl Schuberta $displaystyle$ kohomologii rozmaitości flagowej. $w$$}}(m)}$$\ ell$ dla wszystkich wystarczająco dużych ${\ displaystyle m.}$

Nieruchomości

• Jeśli $displaystyle {\mathfrak {S}}_{w_{0}}=x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}}$ permutacją najdłuższej długości $to$$S$ w

• ${\ Displaystyle \ częściowe _ {i} {\ mathfrak {S}} _ {w} = {\ mathfrak {S}} _ {ws_ {i}}} jeśli$ w $\ displaystyle w (i)> w (i + 1)}$ , gdzie ${\ displaystyle s_ {i}}$ to transpozycja ${\ displaystyle (i, i + 1)}$ i gdzie $przyjmującym$ jest operatorem różnicy dzielonej ${\ Displaystyle P}$ do ${\ Displaystyle (P-s_ {i} P) / (x_ {i} -x_ {i + 1})}$ .

Na podstawie tych dwóch właściwości można obliczyć wielomiany Schuberta rekurencyjnie. W szczególności oznacza to, że ${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {w} = \ częściowe _ {w ^{-1}w_{0}}x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}}$ .

Inne właściwości to

• $mathfrak {S}} _ {id} = 1}$

• Jeśli jest transpozycją $i, ja +1)}$$\$ , wtedy ${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {s_ {i}} = x_ {1} + \ cdots + x_ {i}$ }

• Jeśli ${\ Displaystyle w (i) <w (i + 1)}$ dla wszystkich ${\ displaystyle i \ neq r}$ , następnie $}$${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {w$$_$ Schura _ $_$ _ partycja ${\ Displaystyle (w (r) -r, \ ldots, w (2) -2, w (1) -1)}$ . W szczególności wszystkie wielomiany Schura (o skończonej liczbie zmiennych) są wielomianami Schuberta.

• Wielomiany Schuberta mają dodatnie współczynniki. Hipotetyczna reguła dotycząca ich współczynników została wysunięta przez Richarda P. Stanleya i udowodniona w dwóch artykułach, jednym autorstwa Sergeya Fomina i Stanleya oraz jednym autorstwa Sary Billley , Williama Jockuscha i Stanleya.

• Wielomiany Schuberta można postrzegać jako funkcję generującą pewne obiekty kombinatoryczne zwane snami rurowymi lub wykresami RC . Są one w bijekcji ze zredukowanymi ścianami Kogana (wprowadzonymi w pracy doktorskiej Michaiła Kogana), które są specjalnymi ścianami wielotopu Gelfanda-Tsetlina.

• Wielomiany Schuberta można również zapisać jako sumę ważoną obiektów zwanych snami bez nierówności .

Jako przykład

${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {24531} (x) = x_ {1} x_ {3} ^ {2} x_ {4} x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2 }x_{3}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}.}$

Stałe struktury multiplikatywnej

Ponieważ wielomiany Schuberta tworzą podstawę ${Z}}$ istnieją unikalne współczynniki , że za $\ displaystyle \$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {\ beta} {\ mathfrak {S}} _ {\ gamma} = \ suma _ {\ alfa} c _ {\ beta \ gamma} ^ {\ alfa} {\ mathfrak {S}} _ {\alfa}.}$

Można je postrzegać jako uogólnienie współczynników Littlewooda-Richardsona opisanych regułą Littlewooda-Richardsona . Ze względów algebrogeometrycznych ( twierdzenie Kleimana o poprzeczności z 1974 r. ) współczynniki te są nieujemnymi liczbami całkowitymi, a podanie reguły kombinatorycznej dla tych liczb stanowi wybitny problem w teorii reprezentacji i kombinatoryce .

Wielomiany podwójne Schuberta

Podwójne wielomiany Schuberta ${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {w} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, y_ {1}, y_ {2}, \ ldots)}$ są wielomianami w dwóch nieskończonych zbiorach zmiennych, sparametryzowanymi przez element w nieskończonej grupy symetrycznej, który staje się zwykłymi wielomianami Schuberta, gdy wszystkie zmienne są ${\ displaystyle y_ {i}}$ są ${\ displaystyle 0}$ .

Podwójny wielomian Schuberta ${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {w} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )}$ charakteryzują się właściwościami

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {w} (x_ { 1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )=\prod \limits _{i+j\leq n}(x_{i}-y_{j})}$ kiedy $permutacją$ na $długości$ .

• ${\ Displaystyle \ częściowe _ {i} {\ mathfrak {S}} _ {w} = {\ mathfrak {S}} _ {ws_ {i}}}$ jeśli ${\ Displaystyle w (i)> w (i + 1)}$ .

Podwójne wielomiany Schuberta można również zdefiniować jako

${\ Displaystyle {\ mathfrak {S} }_{w}(x,y)=\sum _{w=v^{-1}u{\text{ i }}\ell (w)=\ell (u)+\ell (v)} \mathfrak {S}}_{u}(x){\mathfrak {S}}_{v}(-y)}$ .

Kwantowe wielomiany Schuberta

Fomin, Gelfand i Postnikov (1997) wprowadzili kwantowe wielomiany Schuberta, które mają taki sam związek z (małą) kohomologią kwantową rozmaitości flagowych, jak zwykłe wielomiany Schuberta ze zwykłą kohomologią.

Uniwersalne wielomiany Schuberta

Fulton (1999) wprowadził uniwersalne wielomiany Schuberta, które uogólniają klasyczne i kwantowe wielomiany Schuberta. Opisał także uniwersalne podwójne wielomiany Schuberta uogólniając podwójne wielomiany Schuberta.

Zobacz też

• Funkcja symetryczna Stanleya
• Wielomian Kostanta
• Wzór Monka daje iloczyn liniowego wielomianu Schuberta i wielomianu Schuberta.
• Algebra Nila-Coxetera

• Bernstein, IN ; Gelfand, IM ; Gelfand, SI (1973), „Komórki Schuberta i kohomologia przestrzeni G/P”, Russian Math. Ankiety , 28 (3): 1–26, Bibcode : 1973RuMaS..28....1B , doi : 10.1070/RM1973v028n03ABEH001557
•    Fomin, Siergiej ; Gelfand, Siergiej; Postnikov, Alexander (1997), „Kwantowe wielomiany Schuberta”, Journal of the American Mathematical Society , 10 (3): 565–596, doi : 10.1090/S0894-0347-97-00237-3 , ISSN 0894-0347 , MR 1431829
•    Fulton, William (1992), „Flagi, wielomiany Schuberta, loci degeneracji i formuły determinantowe”, Duke Mathematical Journal , 65 (3): 381–420, doi : 10.1215 / S0012-7094-92-06516-1 , ISSN 0012 -7094 , MR 1154177
•    Fulton, William (1997), Młode obrazy , London Mathematical Society Student Texts, tom. 35, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56144-0 , MR 1464693
•     Fulton, William (1999), „Universal Schubert wielomiany”, Duke Mathematical Journal , 96 (3): 575–594, arXiv : alg-geom/9702012 , doi : 10.1215/S0012-7094-99-09618-7 , ISSN 0012 -7094 , MR 1671215 , S2CID 10546579
•    Lascoux, Alain (1995), „Polynômes de Schubert: une approche historique”, Matematyka dyskretna , 139 (1): 303–317, doi : 10.1016/0012-365X(95)93984-D , ISSN 0012-365X , MR 1336845
•    Lascoux, Alain ; Schützenberger, Marcel-Paul (1982), „Polynômes de Schubert”, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 294 (13): 447–450, ISSN 0249-6291 , MR 0660739
•     Lascoux, Alain ; Schützenberger, Marcel-Paul (1985), „Wielomiany Schuberta i reguła Littlewooda-Richardsona”, Letters in Mathematical Physics. A Journal for the Rapid Dissemination of Short Contributions in the Field of Mathematical Physics , 10 (2): 111–124, Bibcode : 1985LMaPh..10..111L , doi : 10.1007/BF00398147 , ISSN 0377-9017 , MR 0815233 , S2CID 119654656
•    Macdonald, IG (1991), „Wielomiany Schuberta” , w: Keedwell, AD (red.), Surveys in kombinatoryka, 1991 (Guildford, 1991) , London Math. Towarzystwo Notatka z wykładu Ser., tom. 166, Cambridge University Press , s. 73–99, ISBN 978-0-521-40766-3 , MR 1161461
•   Macdonald, IG (1991b), Uwagi o wielomianach Schuberta , Publications du Laboratoire de Combinatoire et d'informatique mathématique, tom. 6, Laboratoire de Combinatoire et d'informatique mathématique (LACIM), Université du Québec a Montréal, ISBN 978-2-89276-086-6
•    Manivel, Laurent (2001) [1998], Funkcje symetryczne, wielomiany Schuberta i loci degeneracji , SMF/AMS Texts and Monographs, tom. 6, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-2154-1 , MR 1852463
• Sottile, Frank (2001) [1994], „Wielomiany Schuberta” , Encyklopedia matematyki , EMS Press