domniemanie abc

domniemanie abc

Pole	Teoria liczb
Przypuszczalny przez	Józef Oesterlé Dawid Masser
Przypuszczalny w	1985
Równoważny	Zmodyfikowana hipoteza Szpiro
Konsekwencje	Przypuszczenie Beala Problem Erdősa-Ulama Twierdzenie Faltingsa Ostatnie twierdzenie Fermata Przypuszczenie Fermata-Katalończyka Twierdzenie Rotha Twierdzenie Tijdemana

matematyk Joseph Oesterlé

matematyk David Masser

Hipoteza abc , (znana również jako hipoteza Oesterlé-Massera ) jest hipotezą z teorii liczb która powstała w wyniku dyskusji Josepha Oesterlé i Davida Massera w 1985 r. Jest wyrażona za pomocą trzech liczb całkowitych dodatnich a , b i c (stąd nazwa), które są względnie pierwsze i spełniają a + b = c . Hipoteza zasadniczo stwierdza , że ​​iloczyn różnych czynników pierwszych abc jest zwykle niewiele mniejszy niż c . Szereg słynnych przypuszczeń i twierdzeń w teorii liczb wynikałoby bezpośrednio z abc lub jej wersji. Matematyk Dorian Goldfeld opisał hipotezę abc jako „najważniejszy nierozwiązany problem w analizie diofantycznej ”.

Hipoteza abc powstała w wyniku prób zrozumienia przez Oesterlé i Massera hipotezy Szpiro o krzywych eliptycznych , która zawiera w swoim stwierdzeniu więcej struktur geometrycznych niż hipoteza abc . Wykazano, że hipoteza abc jest równoważna zmodyfikowanej hipotezie Szpiro.

Podejmowano różne próby udowodnienia hipotezy abc , ale żadna nie jest obecnie akceptowana przez główny nurt społeczności matematycznej, a od 2020 r. Przypuszczenie to jest nadal uważane za nieudowodnione.

preparaty

należy wprowadzić pojęcie pierwiastka liczby całkowitej : dla dodatniej liczby całkowitej n , pierwiastek n , oznaczony rad( n ), jest iloczynem różnych czynników pierwszych n . Na przykład

rad(16) = rad(2 ⁴ ) = rad(2) = 2,

rad(17) = 17,

rad(18) = rad(2 ⋅ 3 ² ) = 2 · 3 = 6,

rad(1000000) = rad(2 ⁶ ⋅ 5 ⁶ ) = 2 ⋅ 5 = 10.

Jeśli a , b i c są dodatnimi liczbami całkowitymi względnie pierwszymi takimi, że a + b = c , okazuje się, że „zwykle” c < rad( abc ). Hipoteza abc dotyczy wyjątków. W szczególności stwierdza, że:

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej ε istnieje tylko skończenie wiele trójek ( a , b , c ) względnie pierwszych dodatnich liczb całkowitych, przy czym a + b = c , takie, że

${\ Displaystyle c> \ nazwa operatora {rad} (abc) ^ {1+ \ varepsilon}.}$

Równoważny preparat to:

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej ε istnieje stała K _ε taka, że ​​dla wszystkich trójek ( a , b , c ) liczb całkowitych względnie pierwszych dodatnich, gdzie a + b = c :

${\ Displaystyle c <K_ {\ varepsilon} \ cdot \ operatorname {rad} (abc) ^ {1+ \ varepsilon}.}$

Równoważnie (używając małej notacji o ):

Dla wszystkich trójek ( a , b , c ) liczb całkowitych względnie pierwszych dodatnich z a + b = c rad( abc ) wynosi co najmniej c ^{1- o (1)} .

Czwarte równoważne sformułowanie hipotezy dotyczy jakości q ( a , b , c ) potrójnej ( a , b , c ), która jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle q (a, b, c) = {\ Frac {\ log (c)} {\ log {\ duży (} \ operatorname {rad} (abc) {\ duży)}}}.}$

Na przykład:

q (4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0,46820... q (3,

125 , 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1,426565...

Typowa trójka ( a , b , c ) względnie pierwszych dodatnich liczb całkowitych z a + b = c będzie miała c < rad( abc ), tj. q ( a , b , c ) < 1. Trójki z q > 1, takie jak w drugi przykład jest raczej szczególny, składa się z liczb podzielnych przez duże potęgi małych liczb pierwszych . Trzecia formuła to:

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej ε istnieje tylko skończenie wiele trójek ( a , b , c ) liczb całkowitych względnie pierwszych dodatnich z a + b = c takich , że q ( a , b , c ) > 1 + ε .

Chociaż wiadomo, że istnieje nieskończenie wiele trójek ( a , b , c ) liczb całkowitych względnie pierwszych dodatnich z a + b = c takich, że q ( a , b , c ) > 1, przypuszczenie przewiduje, że tylko skończenie wiele z nich ma q > 1,01 lub q > 1,001 lub nawet q > 1,0001 itd. W szczególności, jeśli przypuszczenie jest prawdziwe, to musi istnieć trójka ( a , b , c ), która osiąga maksymalną możliwą jakość q ( a , b , c ).

Przykłady trójek z małym rodnikiem

Warunek, że ε > 0 jest konieczny, ponieważ istnieje nieskończenie wiele trójek a , b , c gdzie c > rad( abc ). Na przykład niech

${\ Displaystyle a = 1 \ quad b = 2 ^ {6n} -1 \ quad c = 2 ^ {6n} ,\qquad n>1.}$

Liczba całkowita b jest podzielna przez 9:

${\ Displaystyle b = 2 ^ {6n} -1 = 64 ^ {n} -1 = (64-1) (\ cdots) = 9 \ cdot 7 \ cdot (\ cdots).}$

Korzystając z tego faktu, dokonuje się następującego obliczenia:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {rad} (abc) & = \ nazwa operatora {rad} (a) \ nazwa operatora {rad} (b) \ nazwa operatora {rad} (c) \\& = \ nazwa operatora { rad} (1)\nazwa_operatora {rad} \left(2^{6n}-1\right)\nazwa_operatora {rad} \left(2^{6n}\right)\\&=2\nazwa_operatora {rad} \ left(2^{6n}-1\right)\\&=2\nazwa operatora {rad} \left(9\cdot {\tfrac {b}{9}}\right)\\&\leqslant 2\cdot 3 \cdot {\tfrac {b}{9}}\\&=2{\tfrac {b}{3}}\\&<{\tfrac {2}{3}}c.\end{wyrównane}}}$

Zastępując wykładnik 6 n innymi wykładnikami, zmuszając b do posiadania większych współczynników kwadratowych, stosunek między pierwiastkiem a c można dowolnie zmniejszyć. Konkretnie, niech p > 2 będzie liczbą pierwszą i rozważmy

${\ Displaystyle a = 1, \ quad b = 2 ^ {p (p- 1)n}-1,\quad c=2^{p(p-1)n},\qquad n>1.}$

Teraz można wiarygodnie twierdzić, że b jest podzielne przez p ² :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} b & = 2 ^ {p (p-1) n} -1 \\& = \ lewo (2 ^ {p (p-1)} \ prawo) ^ {n} -1 \\&=\left(2^{p(p-1)}-1\right)(\cdots )\\&=p^{2}\cdot r(\cdots ).\end{wyrównane}}}$

Ostatni krok wykorzystuje fakt, że p ² dzieli 2 ^{p ( p −1)} − 1. Wynika to z małego twierdzenia Fermata , które pokazuje, że dla p > 2, 2 ^{p −1} = pk + 1 dla pewnej liczby całkowitej k . Podniesienie obu stron do potęgi p pokazuje wtedy, że 2 ^{p ( p −1)} = p ² (...) + 1.

A teraz z podobnymi obliczeniami jak powyżej, następujące wyniki:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {rad} (abc) <{\ tfrac {2} {p}} c.}$

Lista trójek najwyższej jakości (trójek ze szczególnie małym rodnikiem w stosunku do c ) jest podana poniżej; najwyższą jakość, 1,6299, znalazł Eric Reyssat ( Lando & Zvonkin 2004 , s. 137) dla

za = 2,

b = 3 ¹⁰ ·109 = 6 436 341 ,

do = 23 ⁵ = 6 436 343 ,

rad( abc ) = 15 042 .

Niektóre konsekwencje

Hipoteza abc ma wiele konsekwencji. Należą do nich zarówno wyniki znane (niektóre z nich zostały udowodnione oddzielnie dopiero od czasu sformułowania przypuszczenia), jak i przypuszczenia, dla których daje dowód warunkowy . Konsekwencje obejmują:

• Twierdzenie Rotha o aproksymacji diofantycznej liczb algebraicznych .
• Hipoteza Mordella (ogólnie udowodniona już przez Gerda Faltingsa ).
• Jako ekwiwalent przypuszczenie Vojty w wymiarze 1.
• Erdősa -Woodsa dopuszczająca skończoną liczbę kontrprzykładów.
• Istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych innych niż Wieferich w każdej bazie b > 1.
• Słaba postać hipotezy Marshalla Halla o rozdzieleniu kwadratów i sześcianów liczb całkowitych.
• Ostatnie twierdzenie Fermata ma słynny trudny dowód autorstwa Andrew Wilesa. Jednak łatwo wynika, przynajmniej dla ${\ displaystyle n \ geq 6}$ , z efektywnej formy słabej wersji hipotezy abc . Hipoteza abc mówi, że lim sup zbioru wszystkich jakości (zdefiniowanych powyżej) wynosi 1, co implikuje znacznie słabsze twierdzenie, że istnieje skończona górna granica jakości. Przypuszczenie, że 2 jest taką górną granicą, wystarcza do bardzo krótkiego dowodu Wielkiego Twierdzenia Fermata dla ${\ displaystyle n \ geq 6}$ .
• Hipoteza Fermata-Catalana , uogólnienie Wielkiego Twierdzenia Fermata dotyczące potęg, które są sumami potęg.
• Funkcja L biorąc pod ( s , χ _d ) utworzona za pomocą symbolu Legendre'a nie ma zera Siegela , uwagę jednolitą wersję hipotezy abc w polach liczbowych , a nie tylko hipotezę abc sformułowaną powyżej dla liczb całkowitych wymiernych.
• Wielomian P ( x ) ma tylko skończenie wiele doskonałych potęg dla wszystkich liczb całkowitych x , jeśli P ma co najmniej trzy zera proste .
• Uogólnienie twierdzenia Tijdemana dotyczące liczby rozwiązań y ^m = x ⁿ + k (twierdzenie Tijdemana odpowiada przypadku k = 1) oraz hipoteza Pillai (1931) dotycząca liczby rozwiązań Ay ^m = Bx ⁿ + k .
• Jako równoważnik, hipoteza Granville'a-Langevina , że jeśli f jest postacią binarną bez kwadratów stopnia n > 2, to dla każdego rzeczywistego β > 2 istnieje stała C ( f , β ) taka, że ​​dla wszystkich względnie pierwszych liczb całkowitych x , y , rodnik f ( x , y ) przekracza C · max{| x |, | y |} ^{n - β} .
• Jako równoważnik, zmodyfikowana hipoteza Szpiro , która dawałaby granicę rad( abc ) ^{1,2+ ε} .
• Dąbrowski (1996) wykazał, że z hipotezy abc wynika, że ​​równanie diofantyczne n ! + A = k ² ma tylko skończenie wiele rozwiązań dla dowolnej liczby całkowitej A .
• Istnieje ~ c _f N dodatnich liczb całkowitych n ≤ N , dla których f ( n )/B' jest niekwadratowe, przy czym c _f > 0 jest dodatnią stałą zdefiniowaną jako:
  ${\ Displaystyle c_ {f} = \ prod _ {{\ text {prime}} p} x_ {i} \ lewo (1- {\ Frac {\ omega \, \! _ {f} (p)}} ^{2+q_{p}}}}\prawo).}$
• Hipoteza Beala , uogólnienie ostatniego twierdzenia Fermata proponujące, że jeśli A , B , C , x , y i z są dodatnimi liczbami całkowitymi z A ^x + B ^y = C ^z i x , y , z > 2, to A , B i C mają wspólny czynnik pierwszy. Hipoteza abc sugerowałaby, że istnieje tylko skończenie wiele kontrprzykładów.
• Hipoteza Langa , dolna granica wysokości nieskręcającego wymiernego punktu krzywej eliptycznej.
• Negatywne rozwiązanie problemu Erdősa-Ulama na gęstych zbiorach punktów euklidesowych o racjonalnych odległościach.
• Efektywna wersja twierdzenia Siegela o punktach całkowych na krzywych algebraicznych.

Wyniki teoretyczne

Hipoteza abc implikuje, że c może być ograniczone z góry przez prawie liniową funkcję rodnika abc . Znane są granice wykładnicze . W szczególności udowodniono następujące granice:

$\ Displaystyle c <\ exp {\ lewo (K_ {1} \ operatorname {rad} (abc) ^ {15} \ prawej)}}$ ( Stewart & Tijdeman 1986 ),

${\ Displaystyle c <\ exp {\ lewo (K_ {2} \ operatorname {rad} (abc) ^ {{\ Frac {2} {3}}+\varepsilon }\right)}}$ ( Stewart i Yu 1991 ) oraz

$rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}} ($ Stewart i Yu 2001 ).

W tych granicach K ₁ i K ₃ są stałymi , które nie zależą od a , b lub c , a K ₂ jest stałą zależną od ε (w efektywnie obliczalny sposób), ale nie od a , b lub c . Granice dotyczą dowolnej trójki, dla której c > 2.

Istnieją również wyniki teoretyczne, które zapewniają dolną granicę najlepszej możliwej postaci hipotezy abc . W szczególności Stewart i Tijdeman (1986) wykazali, że istnieje nieskończenie wiele trójek ( a , b , c ) liczb całkowitych względnie pierwszych z a + b = c oraz

${\ Displaystyle c> \ operatorname {rad} (abc) \ exp {\ lewo (k {\ sqrt {\ log c }}/\log \log c\right)}}$

dla wszystkich k < 4. Stała k została poprawiona do k = 6,068 przez van Frankenhuysena (2000) .

Wyniki obliczeń

W 2006 roku Wydział Matematyki Uniwersytetu Leiden w Holandii wraz z holenderskim instytutem naukowym Kennislink uruchomił projekt ABC@Home , system obliczeń siatkowych , którego celem jest odkrycie dodatkowych trójek a , b , c z rad( abc ) < do . Chociaż żaden skończony zbiór przykładów ani kontrprzykładów nie może rozwiązać abc , mamy nadzieję, że wzorce trójek odkryte w ramach tego projektu doprowadzą do wglądu w tę hipotezę i bardziej ogólnie w teorię liczb.

Rozkład trójek z q > 1

Q C	q > 1	q > 1,05	q > 1,1	q > 1,2	q > 1,3	q > 1,4
c < 10 2	6	4	4	2	0	0
c < 10 3	31	17	14	8	3	1
c < 10 4	120	74	50	22	8	3
c < 10 5	418	240	152	51	13	6
c < 10 6	1268	667	379	102	29	11
c < 10 7	3499	1669	856	210	60	17
c < 10 8	8987	3869	1801	384	98	25
c < 10 9	22316	8742	3693	706	144	34
c < 10 10	51677	18233	7035	1159	218	51
c < 10 11	116 978	37612	13266	1947	327	64
c < 10 12	252 856	73714	23773	3028	455	74
c < 10 13	528275	139762	41438	4519	599	84
c < 10 14	1 075 319	258168	70 047	6665	769	98
c < 10 15	2131671	463446	115041	9497	998	112
c < 10 16	4119410	812 499	184727	13118	1232	126
c < 10 17	7801334	1 396 909	290 965	17 890	1530	143
c < 10 18	14 482 065	2352105	449194	24013	1843	160

Od maja 2014 r. ABC@Home znalazło 23,8 miliona trójek.

Najwyższej jakości potrójne

Ranga	Q	A	B	C	Odkryty przez
1	1,6299	2	3 10 ·109	23 5	Eryk Reyssat
2	1.6260	11 2	3 2 ·5 6 ·7 3	2 21 ·23	Benne de Weger
3	1,6235	19·1307	7·29 2 ·31 8	2 8 ·3 22 ·5 4	Jerzy Browkin, Juliusz Brzeziński
4	1,5808	283	5 11 ·13 2	2 8 ·3 8 ·17 3	Jerzy Browkin, Juliusz Brzeziński, Abderrahmane Nitaj
5	1,5679	1	2·3 7	5 4 ·7	Benne de Weger

Uwaga: jakość q ( a , b , c ) trójki ( a , b , c ) jest zdefiniowana powyżej .

Wyrafinowane formy, uogólnienia i powiązane stwierdzenia

Hipoteza abc jest całkowitym analogiem twierdzenia Masona-Stothersa dla wielomianów.

Wzmocnienie zaproponowane przez Bakera (1998) stwierdza, że ​​w hipotezie abc można zastąpić rad( abc ) przez

ε ^{− ω} rad( abc ),

gdzie ω jest całkowitą liczbą różnych liczb pierwszych dzielących a , b i c .

Andrew Granville zauważył, że minimum funkcji ${\ Displaystyle {\ duży (} \ varepsilon ^ {- \ omega} \ operatorname {rad} (abc) {\ duży )} ^ {1+ \ varepsilon}}$ nad ${\ Displaystyle \ varepsilon > 0}$ występuje, gdy ${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ Frac {\ omega}} {\ log {\ duży (} \ operatorname {rad} (abc) {\ duży)}}}.}$

To zainspirowało Bakera (2004) do zaproponowania ostrzejszej formy hipotezy abc , a mianowicie:

${\ Displaystyle c <\ kappa \ operatorname {rad} (abc) {\ Frac {{\ duży (} \ log {\ duży (} \ operatorname {rad} (abc) {\ duży)} {\ duży)} ^ {\omega}}{\omega!}}}$

gdzie κ jest stałą bezwzględną. Po kilku eksperymentach obliczeniowych $κ$ że wartość jest dopuszczalna Ta wersja nosi nazwę „wyraźnej hipotezy abc ”.

Baker (1998) opisuje również powiązane przypuszczenia Andrew Granville'a , które dawałyby górne granice c formy

${\ Displaystyle K ^ {\ Omega (abc)} \ operatorname {rad} (abc)}$

gdzie Ω( n ) jest całkowitą liczbą czynników pierwszych n , oraz

${\ Displaystyle O {\ duży (} \ operatorname {rad} (abc) \ Theta (abc) {\ duży)}$

gdzie Θ( n ) jest liczbą liczb całkowitych do n podzielnych tylko przez liczby pierwsze dzielące n .

Robert, Stewart i Tenenbaum (2014) zaproponowali bardziej precyzyjną nierówność na podstawie Roberta i Tenenbauma (2013) . Niech k = rad( abc ). Przypuszczali, że istnieje stała C ₁ taka, że

${\ Displaystyle c <k \ exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k} }+{\frac {C_{1}}{\log \log k}}\right)\right)}$

zachodzi, podczas gdy istnieje stała C ₂ taka, że

${\ Displaystyle c> k \ exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k} }+{\frac {C_{2}}{\log \log k}}\right)\right)}$

zachodzi nieskończenie często.

Browkin i Brzeziński (1994) sformułowali hipotezę n — wersję hipotezy abc obejmującą n > 2 liczby całkowite.

Domniemane dowody

Lucien Szpiro zaproponował rozwiązanie w 2007 roku, ale wkrótce potem okazało się, że jest ono błędne.

Od sierpnia 2012 roku Shinichi Mochizuki domaga się dowodu hipotezy Szpiro, a zatem hipotezy abc . Wydał serię czterech przedruków, w których opracował nową teorię, którą nazwał międzyuniwersalną teorią Teichmüllera (IUTT), która jest następnie stosowana do udowodnienia hipotezy abc . Artykuły nie zostały zaakceptowane przez społeczność matematyczną jako dowód abc . Dzieje się tak nie tylko ze względu na ich długość i trudność w ich zrozumieniu, ale także dlatego, że co najmniej jeden konkretny punkt argumentacji został zidentyfikowany jako luka przez innych ekspertów. Chociaż kilku matematyków poręczyło za poprawność dowodu i próbowało przekazać swoje zrozumienie podczas warsztatów na temat IUTT, nie udało im się przekonać całej społeczności zajmującej się teorią liczb.

W marcu 2018 roku Peter Scholze i Jakob Stix odwiedzili Kioto , aby porozmawiać z Mochizukim. Chociaż nie rozwiązali różnic, postawili je w wyraźniejszej pozycji. Scholze i Stix napisali raport, w którym stwierdzili i wyjaśnili błąd w logice dowodu oraz twierdzą, że wynikająca z tego luka była „tak poważna, że… małe modyfikacje nie uratuje strategii dowodowej”; Mochizuki twierdził, że źle zrozumieli istotne aspekty teorii i dokonali nieważnych uproszczeń.

3 kwietnia 2020 r. dwóch matematyków z instytutu badawczego w Kioto , w którym pracuje Mochizuki, ogłosiło, że jego rzekomy dowód zostanie opublikowany w „ Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences” , czasopiśmie instytutu. Mochizuki jest redaktorem naczelnym czasopisma, ale zrezygnował z recenzji artykułu. Ogłoszenie zostało przyjęte ze sceptycyzmem przez Kiran Kedlaya i Edwarda Frenkla , a także zostało opisane przez Nature jako „mało prawdopodobne, aby przeniosło wielu badaczy do obozu Mochizukiego”. W marcu 2021 roku dowód Mochizuki został opublikowany w RIMS.

Zobacz też

• Lista nierozwiązanych problemów w matematyce

Źródła

•    Piekarz, Alan (1998). „Formy logarytmiczne i abc ”. W Győry, Kálmán (red.). Teoria liczb. Aspekty diofantyczne, obliczeniowe i algebraiczne. Materiały z konferencji międzynarodowej, Eger, Węgry, 29 lipca – 2 sierpnia 1996 r . Berlin: de Gruyter. s. 37–44. ISBN 3-11-015364-5 . Zbl 0973.11047 .
•   Piekarz, Alan (2004). „Eksperymenty nad hipotezą abc ” . Publicationes Mathematicae Debreczyn . 65 (3–4): 253–260. doi : 10.5486/PMD.2004.3348 . S2CID 253834357 .
• Bombieri, Enrico (1994). „Twierdzenie Rotha i hipoteza abc” (Przedruk). ETH Zurych. {{ cite journal }} : Cite journal wymaga |journal= ( pomoc )
•    Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). Wysokości w geometrii diofantycznej . Nowe monografie matematyczne. Tom. 4. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-71229-3 . Zbl 1130.11034 .
•   Browkin, Jerzy ; Brzeziński, Juliusz (1994). „Kilka uwag na temat abc ”. Matematyka komp . 62 (206): 931–939. Bibcode : 1994MaCom..62..931B . doi : 10.2307/2153551 . JSTOR 2153551 .
•   Browkin, Jerzy (2000). „ abc ” . w Bambah, RP; Dumir, VC; Hans-Gill, RJ (red.). Teoria liczb . Trendy w matematyce. Bazylea: Birkäuser. s. 75 –106. ISBN 3-7643-6259-6 .
•   Dąbrowski, Andrzej (1996). „O równaniu diofantycznym x ! + A = y ² ”. Nieuw Archief voor Wiskunde, IV . 14 : 321–324. Zbl 0876.11015 .
• Elkies, Dakota Północna (1991). „ABC oznacza Mordella” . Zawiadomienia o Międzynarodowych Badaniach Matematycznych . 1991 (7): 99–109. doi : 10.1155/S1073792891000144 .
•   Frey, Gerhard (1997). „O równaniach trójskładnikowych typu Fermata i relacjach z krzywymi eliptycznymi” . Formy modułowe i ostatnie twierdzenie Fermata . Nowy Jork: Springer. s. 527–548. ISBN 0-387-94609-8 .
•   Goldfeld, Dorian (1996). „Poza ostatnim twierdzeniem”. Horyzonty matematyczne . 4 (wrzesień): 26–34. doi : 10.1080/10724117.1996.11974985 . JSTOR 25678079 .
•    Goldfeld, Dorian (2002). „Formy modułowe, krzywe eliptyczne i przypuszczenie abc”. W Wüstholz, Gisbert (red.). Panorama w teorii liczb lub Widok z ogrodu Bakera. Na podstawie konferencji z okazji 60. urodzin Alana Bakera, Zurych, Szwajcaria, 1999 r . Cambridge: Cambridge University Press . s. 128–147. ISBN 0-521-80799-9 . Zbl 1046.11035 .
•   Gowers, Tymoteusz ; Barrow-Green, czerwiec; Lider, Imre, wyd. (2008). Princeton Companion do matematyki . Princeton: Princeton University Press. s. 361 –362, 681. ISBN 978-0-691-11880-2 .
• Granville, A. (1998). „ABC pozwala nam policzyć bez kwadratów” (PDF) . Zawiadomienia o Międzynarodowych Badaniach Matematycznych . 1998 (19): 991–1009. doi : 10.1155/S1073792898000592 .
•   Granville, Andrzej ; Stark, H. (2000). „ABC implikuje brak„ zer Siegela ”dla funkcji L znaków z ujemnym wykładnikiem” (PDF) . Inventiones Mathematicae . 139 (3): 509–523. Bibcode : 2000InMat.139..509G . doi : 10.1007/s002229900036 . S2CID 6901166 .
•   Granville, Andrzej ; Tucker, Thomas (2002). „To proste jak abc” (PDF) . Zawiadomienia AMS . 49 (10): 1224–1231. CiteSeerX 10.1.1.146.610 .
•   Facet, Richard K. (2004). Nierozwiązane problemy w teorii liczb . Berlin: Springer-Verlag . ISBN 0-387-20860-7 .
•   Lando, Siergiej K.; Zvonkin, Aleksander K. (2004). „Wykresy na powierzchniach i ich zastosowaniach”. Encyklopedia nauk matematycznych: topologia dolnowymiarowa II . Tom. 141. Springer-Verlag. ISBN 3-540-00203-0 .
• Langevin, M. (1993). „Cas d'égalité pour le théorème de Mason et application de la conjecture abc ”. Comptes rendus de l'Académie des sciences (w języku francuskim). 317 (5): 441–444.
• Masser, DW (1985). „Otwarte problemy”. W Chen, WWL (red.). Materiały z sympozjum na temat analitycznej teorii liczb . Londyn: Imperial College.
•    Mollin, RA (2009). „Uwaga na temat hipotezy ABC” (PDF) . Daleki Wschód Journal of Mathematical Sciences . 33 (3): 267–275. ISSN 0972-0871 . Zbl 1241.11034 . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 04.03.2016 . Źródło 2013-06-14 .
•    Mollin, Richard A. (2010). Zaawansowana teoria liczb z aplikacjami . Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1-4200-8328-6 . Zbl 1200.11002 .
• Nitaj, Abderrahmane (1996). „La przypuszczenie abc ”. Chorąży. Matematyka (po francusku). 42 (1–2): 3–24.
•    Oesterlé, Joseph (1988), „Nouvelles approches du„ Théorème ”de Fermat” , Astérisque , Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165–186, ISSN 0303-1179 , MR 0992208
• Pomerance, Carl (2008). „Obliczeniowa teoria liczb”. Princeton Companion do matematyki . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. s. 361–362.
•   Silverman, Joseph H. (1988). „Kryterium Wiefericha i przypuszczenie abc ” . Dziennik teorii liczb . 30 (2): 226–237. doi : 10.1016/0022-314X(88)90019-4 . Zbl 0654.10019 .
•   Robert, Olivier; Stewart, Cameron L .; Tenenbaum, Gérald (2014). „Udoskonalenie hipotezy abc” (PDF) . Biuletyn Londyńskiego Towarzystwa Matematycznego . 46 (6): 1156–1166. doi : 10.1112/blms/bdu069 . S2CID 123460044 .
• Robert, Olivier; Tenenbaum, Gérald (listopad 2013). „Sur la répartition du noyau d'un entier” [O rozkładzie jądra liczby całkowitej]. Indagationes Mathematicae (w języku francuskim). 24 (4): 802–914. doi : 10.1016/j.indag.2013.07.007 .
•   Stewart, CL ; Tijdeman R. (1986). „O przypuszczeniu Oesterlé-Massera”. Monatshefte für Mathematik . 102 (3): 251–257. doi : 10.1007/BF01294603 . S2CID 123621917 .
•   Stewart, CL ; Yu, Kunrui (1991). „O abc ”. Mathematische Annalen . 291 (1): 225–230. doi : 10.1007/BF01445201 . S2CID 123894587 .
• Stewart, CL ; Yu, Kunrui (2001). „O abc , II”. Dziennik matematyczny Duke'a . 108 (1): 169–181. doi : 10.1215/S0012-7094-01-10815-6 .
•   van Frankenhuysen, Machiel (2000). „Dolna granica w hipotezie abc ” . J. Teoria liczb . 82 (1): 91–95. doi : 10.1006/jnth.1999.2484 . MR 1755155 .
•   Van Frankenhuijsen, Machiel (2002). „Przypuszczenie ABC implikuje nierówność wysokości Vojty dla krzywych” . J. Teoria liczb . 95 (2): 289–302. doi : 10.1006/jnth.2001.2769 . MR 1924103 .
•   Waldschmidt, Michel (2015). „Wykład na temat hipotezy abc i niektórych jej konsekwencji” (PDF) . Matematyka w XXI wieku . Springer Proceedings w matematyce i statystyce . Tom. 98. s. 211–230. doi : 10.1007/978-3-0348-0859-0_13 . ISBN 978-3-0348-0858-3 .

Linki zewnętrzne

• ABC@home Projekt przetwarzania rozproszonego o nazwie ABC@Home .
• Proste jak ABC : Łatwe do naśladowania, szczegółowe wyjaśnienie autorstwa Briana Hayesa.
• Weisstein, Eric W. „Przypuszczenie abc” . MathWorld .
• Strona główna przypuszczeń ABC Abderrahmane Nitaja
• Strona internetowa ABC Triples Barta de Smita
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
• ABC teorii liczb autorstwa Noama D. Elkiesa
• Pytania o numer autorstwa Barry'ego Mazura
• Filozofia stojąca za pracą Mochizukiego nad hipotezą ABC w MathOverflow
• ABC Conjecture Polymath z linkami do różnych źródeł komentarzy do artykułów Mochizuki.
• abc Conjecture Numberphile wideo
• Wiadomości o IUT autorstwa Mochizuki