Stała (matematyka)

W matematyce słowo stała ma wiele znaczeń. Jako przymiotnik odnosi się do niezmienności (tj. niezmiennej względem jakiejś innej wartości ); jako rzeczownik ma dwa różne znaczenia:

Stała i dobrze zdefiniowana liczba lub inny niezmienny obiekt matematyczny . Terminy stała matematyczna lub stała fizyczna są czasami używane do rozróżnienia tego znaczenia.
Funkcja , której wartość pozostaje niezmieniona (tzn. funkcja stała ). Taka stała jest zwykle reprezentowana przez zmienną , która nie zależy od danej zmiennej głównej (zmiennych głównych).

Na przykład ogólna funkcja kwadratowa jest zwykle zapisywana jako:

{\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c \,,}

gdzie $a$ , $b$ i $c$ są stałymi (lub parametrami), a $x$ zmienną — symbolem zastępczym dla argumentu badanej funkcji. Bardziej wyraźnym sposobem oznaczenia tej funkcji jest

{\ Displaystyle x \ mapsto ax ^ {2} + bx + c \,,}

co sprawia, że status funkcji-argumentu $x$ (a co za tym idzie stałości $a$ , $b$ i $c$ ) jest jasny. W tym przykładzie $a$ , $b$ i $c$ są współczynnikami wielomianu . Ponieważ $c$ występuje w wyrazie, który nie obejmuje $x$ , jest nazywany stałym wyrazem wielomianu i może być traktowany jako współczynnik $x 0$ . Mówiąc bardziej ogólnie, każdy wyraz wielomianowy lub wyrażenie stopnia zerowego (brak zmiennej) jest stałą.

Funkcja stała

Stała może być użyta do zdefiniowania stałej funkcji , która ignoruje swoje argumenty i zawsze podaje tę samą wartość. Stała funkcja pojedynczej zmiennej, taka jak , ma wykres linii poziomej równoległej do osi x . ${\ displaystyle f (x) = 5}$ Taka funkcja zawsze przyjmuje taką samą wartość (w tym przypadku 5), ponieważ zmienna nie występuje w wyrażeniu definiującym funkcję.

wykres

{\ displaystyle f (x) = 5}

.

Zależność od kontekstu

Zależny od kontekstu charakter pojęcia „stałej” można zobaczyć w tym przykładzie z rachunku elementarnego:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {d} {dx}} 2 ^ {x} & = \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {2 ^ {x + h} -2 ^ { x}}{h}}=\lim _{h\to 0}2^{x}{\frac {2^{h}-1}{h}}\\[8pt]&=2^{x} \lim _{h\to 0}{\frac {2^{h}-1}{h}}&&{\text{since }}x{\text{ jest stała (tj. nie zależy od }}h{ \text{)}}\\[8pt]&=2^{x}\cdot \mathbf {stała,} &&{\text{gdzie }}\mathbf {stała} {\text{oznacza, że ​​nie zależy od }}x .\end{wyrównane}}}

„Stała” oznacza brak zależności od jakiejś zmiennej; nie zmienia się, gdy zmienia się ta zmienna. W pierwszym powyższym przypadku oznacza to brak zależności od h ; w drugim oznacza brak zależności od x . Stała w węższym kontekście może być uważana za zmienną w szerszym kontekście.

Godne uwagi stałe matematyczne

Niektóre wartości występują często w matematyce i są umownie oznaczane określonym symbolem. Te standardowe symbole i ich wartości nazywane są stałymi matematycznymi. Przykłady obejmują:

0 ( zero ).
1 ( jeden ), liczba naturalna po zerze.
$π$ ( pi ), stała reprezentująca stosunek obwodu koła do jego średnicy, równa w przybliżeniu 3,141592653589793238462643.
$e$ , w przybliżeniu równe 2,718281828459045235360287.
$ja$ , jednostka urojona taka, że $i 2 = -1$ .
${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ( pierwiastek kwadratowy z 2 ), długość przekątnej kwadratu o jednostkowych bokach, w przybliżeniu równa 1,414213562373095048801688.
$φ$ ( złoty podział ), w przybliżeniu równy 1,618033988749894848204586 lub algebraicznie ${\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {5}} \ ponad 2}$ .

Stałe w rachunku różniczkowym

W rachunku różniczkowym stałe są traktowane na kilka różnych sposobów w zależności od operacji. Na przykład pochodna (szybkość zmian) funkcji stałej wynosi zero. Dzieje się tak, ponieważ stałe z definicji się nie zmieniają. Ich pochodna wynosi zatem zero.

I odwrotnie, podczas całkowania stałej funkcji, stała jest mnożona przez zmienną integracji.

Podczas wyznaczania granicy stała pozostaje taka sama jak przed i po wyznaczaniu.

Całkowanie funkcji jednej zmiennej często wiąże się ze stałą całkowania . Wynika to z faktu, że całka jest odwrotnością (przeciwieństwem) pochodnej, co oznacza, że celem całkowania jest odzyskanie pierwotnej funkcji przed różniczkowaniem. Pochodna funkcji stałej wynosi zero, jak wspomniano powyżej, a operator różniczkowy jest operatorem liniowym, więc funkcje, które różnią się tylko stałym składnikiem, mają tę samą pochodną. nieoznaczonej dodaje się stałą całkowania ; zapewnia to uwzględnienie wszystkich możliwych rozwiązań. Stała całkowania jest zwykle zapisywana jako „c” i reprezentuje stałą o stałej, ale niezdefiniowanej wartości.

Przykłady

Jeśli $f$ jest stałą funkcją taką, że dla każdego x $to$ ${\ Displaystyle f (x) = 72}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f '(x) i = 0 \\\ int f ( x)\,dx&=72x+c\\\lim _{x\rightarrow 0}f(x)&=72\end{wyrównane}}}

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Media związane ze stałymi w Wikimedia Commons