zespół Coxetera

W matematyce grupa Coxetera , nazwana na cześć HSM Coxetera , jest grupą abstrakcyjną , która dopuszcza formalny opis w kategoriach odbić (lub zwierciadeł kalejdoskopowych ). Rzeczywiście, skończone grupy Coxetera są dokładnie skończonymi euklidesowymi grupami refleksyjnymi ; przykładem są grupy symetrii regularnych wielościanów . Jednak nie wszystkie grupy Coxetera są skończone i nie wszystkie można opisać w kategoriach symetrii i odbić euklidesowych. Grupy Coxetera zostały wprowadzone w 1934 roku jako abstrakcje grup refleksyjnych ( Coxeter 1934 ), a skończone grupy Coxetera zostały sklasyfikowane w 1935 roku ( Coxeter 1935 ).

Grupy Coxetera znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki. Przykłady skończonych grup Coxetera obejmują grupy symetrii regularnych polytopów i grupy Weyla prostych algebr Liego . Przykłady nieskończonych grup Coxetera obejmują grupy trójkątów odpowiadające regularnym teselacji płaszczyzny euklidesowej i płaszczyzny hiperbolicznej oraz grupy Weyla nieskończenie wymiarowych algebr Kaca-Moody'ego .

Standardowe odniesienia obejmują ( Humphreys 1992 ) i ( Davis 2007 ).

Definicja

Formalnie grupę Coxeter można zdefiniować jako grupę z prezentacją

${\ Displaystyle \ lewo \ langle r_ {1}, r_ {2}, \ ldots, r_ {n} \ mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$

gdzie ${\ Displaystyle m_ {ii} = 1}$ i ${\ Displaystyle m_ {ij} \ geq 2}$ dla ${\ Displaystyle i \ neq j}$ . $\ infty}$ jot ${\ Displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {m}}$ oznacza brak relacji postaci być narzuconym.

Para ${\ Displaystyle (W, S)}$$gdzie$ jest grupą Coxetera z generatorami $= \ {r_ {1 },\dots ,r_{n}\}}$ nazywamy systemem Coxetera . Zauważ, że ogólnie nie jest jednoznacznie określony przez $\$$displaystyle W}$ . Na przykład grupy Coxetera typu $są$$ale$ systemy Coxetera nie o wyjaśnienie tego zapisu).

Z powyższej definicji można od razu wyciągnąć szereg wniosków.

• m $m_ {ii} = 1}$${\ Displaystyle (r_ {i} r_ {i}) ^ {1 } = (r_ {i}) ^ {2} = 1}$ oznacza, że dla wszystkich ${\ displaystyle i}$ ; jako takie generatory są inwolucjami .
• Jeśli ${\ Displaystyle m_ {ij} = 2}$$i}}$ { ${$ r_ dojeżdżają do pracy. Wynika to z obserwacji tego

${\ Displaystyle xx = yy = 1}$ ,

razem z

${\ Displaystyle xyxy = 1}$

oznacza, że

${\ Displaystyle xy = x (xyxy) y = (xx) yx (yy) = yx}$ .

${\ Displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {2} = r_ {i} r_ {j} r_ {i} r_ {j} = r_ {i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}}$ , ponieważ generatory są inwolucjami, więc $\ Displaystyle r_ {i} =$ , a zatem jest równe komutatorowi .

• Aby uniknąć nadmiarowości między relacjami, należy założyć, że ${\ Displaystyle m_ {ij} = m_ {ji}}$ . Wynika to z obserwacji, że

${\ Displaystyle yy = 1}$ ,

razem z

${\ Displaystyle (xy) ^ {m} = 1}$

oznacza, że

${\ Displaystyle (yx) ^ {m} = (yx) ^ {m} yy = y (xy) ^ {m} y = yy = 1 }$ .

Alternatywnie, ${\ Displaystyle (xy) ^ {k}}$ i ${\ Displaystyle (yx) ^ {k}}$ są elementami sprzężonymi , ponieważ ${\ Displaystyle y (xy) ^ {k} y ^ {- 1} = (yx) ^ {k} yy ^ {-1} = (yx) ^{k}}$ .

Macierz Coxetera i macierz Schläfliego

Macierz Coxetera to macierz $ij}}$ z wpisami m ${$ m_ Rzeczywiście $wpisami wyłącznie$ w macierz Coxetera.

Macierz Coxetera można wygodnie zakodować za pomocą diagramu Coxetera , zgodnie z następującymi zasadami.

• Wierzchołki grafu są oznaczone indeksami dolnymi generatora.
• Wierzchołki $ja$$} \ geq 3}$ obok siebie wtedy i tylko wtedy, gdy $m$ \ Displaystyle m_ { .
• $lub$$oznaczona$ wartością, wartość jest większa.

W szczególności dwa generatory dojeżdżają do pracy wtedy i tylko wtedy, gdy nie są połączone krawędzią. Ponadto, jeśli wykres Coxetera ma dwa lub więcej połączonych składników , powiązana grupa jest bezpośrednim iloczynem grup powiązanych z poszczególnymi składnikami. Zatem rozłączna suma grafów Coxetera daje bezpośredni iloczyn grup Coxetera.

Macierz Coxetera jest powiązana z $\$ Schläfliego z wpisami do ${$${\ Displaystyle C_ {ij} = - 2 \ cos (\ pi / M_ {ij})}$$( M ja$ , ale elementy są modyfikowane, są proporcjonalne do iloczynu skalarnego generatorów parami. Macierz Schläfliego jest użyteczna, ponieważ jej wartości własne określają, czy grupa Coxetera jest typu skończonego (wszystkie dodatnie), typu afinicznego (wszystkie nieujemne, co najmniej jedno zero), czy typu nieokreślonego (w przeciwnym razie). Typ nieokreślony jest czasami dalej dzielony, np. na grupy hiperboliczne i inne grupy Coxetera. Istnieje jednak wiele nierównoważnych definicji hiperbolicznych grup Coxetera.

Przykłady

zespół Coxetera	A 1 × A 1	2 _	B2 _	H2 _	G 2	${\ Displaystyle {\ tylda {I}} _ {1}}$	3 _	B3 _	D 4	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {3}}$
Diagram Coxetera
Macierz Coxetera	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} 1 i 2 \\ 2 i 1 \\\ koniec {mała macierz}} \ prawo]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} 1 i 3 \\ 3 i 1 \\\ koniec {mała macierz}} \ prawo]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} 1 i 4 \\ 4 i 1 \\\ koniec {mała macierz}} \ prawo]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} 1 i 5 \\ 5 i 1 \\\ koniec {mała macierz}} \ prawo]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} 1 i 6 \\ 6 i 1 \\\ koniec {mała macierz}} \ prawo]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} 1 i \ infty \\\ infty & 1 \\\ koniec {mała macierz}} \ prawo]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} 1 i 3 i 2 \\ 3 i 1 i 3 \\ 2 i 3 i 1 \ koniec {mała macierz}} \ w prawo]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} 1 i 4 i 2 \\ 4 i 1 i 3 \\ 2 i 3 i 1 \ koniec {mała macierz}} \ w prawo]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} 1 i 3 i 2 i 2 \\ 3 i 1 i 3 i 3 \\ 2 i 3 i 1 i 2 \\ 2 i 3 i 2 i 1 \ koniec {mała macierz}} \ w prawo]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} 1 i 3 i 2 i 3 \\ 3 i 1 i 3 i 2 \\ 2 i 3 i 1 i 3 \\ 3 i 2 i 3 i 1 \ koniec {mała macierz}} \ w prawo]}$
Macierz Schläfliego	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} 2 i 0 \\ 0 i 2 \ koniec {mała macierz}} \ prawo]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} \ \, 2 i -1 \\ -1 i \ \, 2 \ koniec {mała macierz}} \ prawo]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} \ \, 2 i - {\ sqrt {2}} \\ - {\ sqrt {2}} i \ \, 2 \ koniec { małamacierz}}\right]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} \ \, 2 i - \ phi \\ - \ phi & \ \, 2 \ koniec {mała macierz}} \ prawo]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} \ \, 2 i - {\ sqrt {3}} \\ - {\ sqrt {3}} i \ \, 2 \ koniec { małamacierz}}\right]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} \ \, 2 i -2 \\ - 2 i \ \, 2 \ koniec {mała macierz}} \ prawo]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} \ \, 2 i -1 i \ \, 0 \\ -1 i \ \, 2 i -1 \\\ \, 0&-1&\ \,2\koniec{małamacierz}}\prawo]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} \ \, \ \ 2 i - {\ sqrt {2}} i \ \, 0 \\ - {\ sqrt {2}}&\ \,\ \ 2&-1\\\ \,\ \ 0&\ \,-1&\ \,2\end{małamacierz}}\right]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} \ \, 2 i -1 i \ \, 0 i \ \, 0 \\ -1 i \ \ ,2&-1&-1\\\ \,0&-1&\ \,2&\ \,0\\\ \,0&-1&\ \,0&\ \,2\end{małamacierz}}\prawo]}$	${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} \ \, 2 i -1 i \ \, 0 i -1 \\ -1& \ \,2&-1&\ \,0\\\ \,0&-1&\ \,2&-1\\-1&\ \,0&-1&\ \,2\end{małamacierz}}\right]}$

Przykład

Wykres , w którym wierzchołki od 1 do $n są umieszczone w rzędzie, a$ wierzchołek jest połączony nieoznakowaną krawędzią z jego bezpośrednimi sąsiadami, początek grupie symetrycznej S _{n + 1} ; generatory odpowiadają transpozycjom ( 1 2), ( 2 3), ... , ( n n +1). Dwie nienastępujące po sobie transpozycje są zawsze komutowane, podczas gdy ( k k +1) ( k +1 k +2) daje 3 cykle ( k k +2 k +1). Oczywiście pokazuje to tylko, że S _n+1 jest grupą ilorazową grupy Coxetera opisanej na wykresie, ale nie jest zbyt trudno sprawdzić, czy zachodzi równość.

Połączenie z grupami refleksyjnymi

Dalsze informacje: Grupa refleksyjna

Grupy Coxetera są głęboko powiązane z grupami refleksyjnymi . Mówiąc najprościej, grupy Coxetera to abstrakcyjne (podane w prezentacji), podczas gdy grupy refleksyjne to grupy konkretne (podane jako podgrupy grup liniowych lub różne uogólnienia). Grupy Coxetera wyrosły z badań nad grupami refleksyjnymi — są abstrakcją: grupa refleksyjna to podgrupa grupy liniowej generowanej przez odbicia (które mają rząd 2), podczas gdy grupa Coxetera to grupa abstrakcyjna generowana przez inwolucje (elementy rzędu 2, abstrahując od odbić), i których relacje mają określoną postać ( ${\ Displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {k}}$ , odpowiadającą hiperpłaszczyznom spotykającym się pod kątem ${\ Displaystyle \ pi / k}$ , gdzie ${\ Displaystyle r_ {i} r_ {j}}$ jest w porządku k abstrahując od obrotu o ${\ Displaystyle 2 \ pi / k }$ ).

Abstrakcyjną grupą grupy refleksyjnej jest grupa Coxetera, podczas gdy grupa refleksyjna może być postrzegana jako liniowa reprezentacja grupy Coxetera. W przypadku skończonych grup odbiciowych daje to dokładną zgodność: każda skończona grupa Coxetera dopuszcza wierną reprezentację jako skończona grupa odbiciowa jakiejś przestrzeni euklidesowej. Jednak w przypadku nieskończonych grup Coxetera grupa Coxetera może nie dopuszczać reprezentacji jako grupy refleksyjnej.

Historycznie ( Coxeter 1934 ) udowodnił, że każda grupa $postać$ prezentację, w której wszystkie relacje ${\ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {k}}$ lub ) i rzeczywiście ten artykuł wprowadził pojęcie grupy Coxetera, podczas gdy ( Coxeter 1935 ) udowodnił, że każda skończona grupa Coxetera miała reprezentację jako odbicie grupy i sklasyfikowane skończone grupy Coxetera.

Skończone grupy Coxetera

Wykresy Coxetera skończonych grup Coxetera.

Klasyfikacja

Skończone grupy Coxetera zostały sklasyfikowane w ( Coxeter 1935 ), pod względem diagramów Coxetera-Dynkina ; wszystkie są reprezentowane przez grupy odbiciowe skończonych wymiarów przestrzeni euklidesowych.

Skończone grupy Coxetera składają się z trzech rodzin jednoparametrowych o rosnącej randze ${\ Displaystyle A_ {n}, B_ {n}, D_ {n},}$ jednej jednoparametrowej rodziny wymiaru dwa ja ${\ Displaystyle I_ {2} (p)}$ i sześć wyjątkowych : ${\ Displaystyle E_ {6}, E_ {7 }, E_ {8}, F_ {4}, H_ {3},}$ i ${\ Displaystyle H_ {4}}$ . Iloczyn skończenie wielu grup Coxetera na tej liście jest ponownie grupą Coxetera i wszystkie skończone grupy Coxetera powstają w ten sposób.

Grupy Weyla

Główny artykuł: grupa Weyl

Wiele z nich, ale nie wszystkie, to grupy Weyla, a każda grupa Weyla może być zrealizowana jako grupa Coxetera. Grupy Weyla to rodziny i wyjątki mi ${$${\ Displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4}}$$n}$ i ja $Displaystyle I_ {2} (6)}$ w Weyl notacja grupowa jako ${\ Displaystyle G_ {2}.}$$,}$ , { ${4}$ oraz rodzina ${\ displaystyle I_ {2} (p)}$ z wyjątkiem przypadków, gdy zbiega się to z jedną z grup Weyla (mianowicie ${\ Displaystyle I_ {2} (3) \ cong A_ {2}, ja_ {2} (4) \ cong B_ {2},}$${\ Displaystyle I_ {2} (6) \ cong G_ {2}}$ ja ).

Można to udowodnić, porównując ograniczenia dotyczące (nieskierowanych) diagramów Dynkina z ograniczeniami dotyczącymi diagramów Coxetera grup skończonych: formalnie wykres Coxetera można uzyskać z diagramu Dynkina , odrzucając kierunek krawędzi i zastępując każdą podwójną krawędź przez krawędź oznaczona jako 4 i każda potrójna krawędź przez krawędź oznaczoną jako 6. Należy również zauważyć, że każda skończenie generowana grupa Coxetera jest grupą automatyczną . Diagramy Dynkina mają dodatkowe ograniczenie, że jedynymi dozwolonymi etykietami krawędzi są 2, 3, 4 i 6, co daje powyższe. Geometrycznie odpowiada to krystalograficznemu twierdzeniu restrykcyjnemu i faktowi, że wykluczone polytopy nie wypełniają przestrzeni ani nie układają płaszczyzny - dla $podwójnie$ , dwudziestościan) nie wypełnia dla 120-ogniwowej ( $podwójnie 600$ nie zajmuje miejsca dla ${\ Displaystyle I_ {2} (p)}$ a p -gon nie układa płaszczyzny z wyjątkiem ${\ Displaystyle p = 3,4,}$ lub ${\ Displaystyle 6 }$ (odpowiednio nachylenie trójkątne, kwadratowe i sześciokątne).

Zauważ dalej, że (skierowane) diagramy Dynkina Bn _i Cn _, dają początek tej samej grupie Weyla (stąd grupa Coxetera), ponieważ różnią się jako grafy skierowane ale zgadzają się jako grafy nieskierowane – kierunek ma znaczenie dla systemów korzeni, ale nie dla Weyla Grupa; odpowiada to temu, że hipersześcian i politop krzyżowy są różnymi regularnymi polytopami, ale mają tę samą grupę symetrii.

Nieruchomości

Niektóre właściwości skończonych nieredukowalnych grup Coxetera podano w poniższej tabeli. Kolejność grup redukowalnych można obliczyć na podstawie iloczynu ich nieredukowalnych rzędów podgrup.

Ranga nr	Symbol grupy	Symbol alternatywny	Notacja nawiasowa	Wykres Coxetera	Refleksje m = 1 ⁄ 2 nh	Liczba Coxetera h	Zamówienie	Struktura grupy	Powiązane polytopy
1	1 _	1 _	[ ]		1	2	2	${\ displaystyle S_ {2}}$	{}
2	2 _	2 _	[3]		3	3	6	${\ Displaystyle S_ {3} \ cong D_ {6} \ cong \ nazwa operatora {GO} _ {2} ^ {-} ( 2)\cong \nazwa_operatora {GO} _{2}^{+}(4)}$	{3}
3	3 _	3 _	[3,3]		6	4	24	${\ displaystyle S_ {4}}$	{3,3}
4	4 _	4 _	[3,3,3]		10	5	120	${\ displaystyle S_ {5}}$	{3,3,3}
5	5 _	5 _	[3,3,3,3]		15	6	720	${\ Displaystyle S_ {6}}$	{3,3,3,3}
N	rz _	rz _	[3 n −1 ]	...	n ( n + 1)/2	n + 1	( n + 1)!	${\ Displaystyle S_ {n + 1}}$	n -prosty
2	B2 _	C 2	[4]		4	4	8	${\ Displaystyle C_ {2} \ wr S_ {2} \ cong D_ {8} \ cong \ operatorname {GO} _{2}^{-}(3)\cong \nazwa_operatora {GO} _{2}^{+}(5)}$	{4}
3	B3 _	C 3	[4,3]		9	6	48	${\ Displaystyle C_ {2} \ wr S_ {3} \ cong S_ {4} \ razy 2}$	{4,3} / {3,4}
4	4 _	C 4	[4,3,3]		16	8	384	${\ Displaystyle C_ {2} \ wr S_ {4}}$	{4,3,3} / {3,3,4}
5	B5 _	C 5	[4,3,3,3]		25	10	3840	${\ Displaystyle C_ {2} \ wr S_ {5}}$	{4,3,3,3} / {3,3,3,4}
N	B n	C n	[4,3 n −2 ]	...	nr 2	2 przyp	2 n n !	${\ Displaystyle C_ {2} \ wr S_ {n}}$	n -sześcian / n -ortopleks
4	D 4	4 _	[3 1,1,1 ]		12	6	192	${\ Displaystyle C_ {2} ^ {3} S_ {4} \ cong 2 ^ {1 + 4} \ dwukropek S_ {3}}$	h{4,3,3} / {3,3 1,1 }
5	D5 _	B5 _	[3 2,1,1 ]		20	8	1920	${\ Displaystyle C_ {2} ^ {4} S_ {5}}$	h{4,3,3,3} / {3,3,3 1,1 }
N	D n	B n	[3 n −3,1,1 ]	...	n ( n - 1)	2( n - 1)	2 n −1 n !	${\ Displaystyle C_ {2} ^ {n-1} S_ {n}}$	n -sześcian / n -ortopleks
6	E6 _	E6 _	[3 2,2,1 ]		36	12	51840 (72x6!)	${\ Displaystyle \ operatorname {GO} _ {6} ^ {-} (2 )\cong \operatorname {SO} _{5}(3)\cong \operatorname {PSp} _{4}(3)\colon 2\cong \operatorname {PSU} _{4}(2)\colon 2}$	2 21 , 1 22
7	E7 _	E7 _	[3 3,2,1 ]		63	18	2903040 (72x8!)	${\ Displaystyle \ nazwa operatora {GO} _ {7} (2) \ razy 2 \ cong \ nazwa operatora {Sp} _ {6} (2) \ razy 2}$	3 21 , 2 31 , 1 32
8	E 8	E 8	[3 4,2,1 ]		120	30	696729600 (192x10!)	${\ Displaystyle 2 \ cdot \ operatorname {GO} _ {8} ^ {+} (2)}$	4 21 , 2 41 , 1 42
4	F 4	F 4	[3,4,3]		24	12	1152	${\ Displaystyle \ operatorname {GO} _ {4} ^ {+} (3) \ cong 2 ^ {1 + 4} \ dwukropek (S_{3}\razy S_{3})}$	{3,4,3}
2	G 2	– ( D 6 2 )	[6]		6	6	12	${\ Displaystyle D_ {12} \ cong \ nazwa operatora {GO} _ {2} ^ {-} (5) \ cong \ nazwa operatora {GO} _{2}^{+}(7)}$	{6}
2	H2 _	G 2	[5]		5	5	10	${\ Displaystyle D_ {10} \ cong \ nazwa operatora {GO} _ {2} ^ {-} (4)}$	{5}
3	H 3	G 3	[3,5]		15	10	120	${\ Displaystyle 2 \ razy A_ {5}}$	{3,5} / {5,3}
4	4 _	G 4	[3,3,5]		60	30	14400	${\ Displaystyle 2 \ cdot (A_ {5} \ razy A_ {5}) \ dwukropek 2}$	{5,3,3} / {3,3,5}
2	ja 2 ( n )	D n 2	[ n ]		N	N	2 przyp	${\ Displaystyle D_ {2n}}$ ${\ Displaystyle \ cong \ nazwa operatora {GO} _ {2} ^ {-} (n-1)}$ kiedy n = p k + 1, p liczba pierwsza ${\ Displaystyle \ cong \ nazwa operatora {GO} _ {2} ^ {+} (n + 1)}$ kiedy n = p k - 1, p liczba pierwsza	{ p }

Grupy symetrii regularnych polytopów

Wszystkie grupy symetrii regularnych polytopów są skończonymi grupami Coxetera. Zauważ, że podwójne polytopy mają tę samą grupę symetrii.

Istnieją trzy serie regularnych polytopów we wszystkich wymiarach. Grupą An _symetrii regularnego n - sympleksu jest grupa symetryczna Sn _{. +1} , znana również jako grupa Coxetera typu Grupa symetrii n - sześcianu i jego podwójnego, Bn _n - cross -polytope , to i jest znana jako grupa hiperoktaedryczna .

Wyjątkowe regularne polytopy w wymiarach drugim, trzecim i czwartym odpowiadają innym grupom Coxetera. W dwóch wymiarach grupy dwuścienne , które są grupami symetrii wielokątów foremnych , tworzą szereg I ₂ ( p ). W trzech wymiarach grupa symetrii dwunastościanu foremnego i jego podwójnego dwudziestościanu foremnego to H ₃ , znana jako pełna grupa dwudziestościanu . W czterech wymiarach istnieją trzy specjalne regularne polytopy: 24-komórkowy , 120-komórkowy i 600-komórkowy . Pierwszy ma grupę symetrii F ₄ , podczas gdy pozostałe dwa są podwójne i mają grupę symetrii H ₄ .

Grupy Coxetera typu Dn , E6 , E7 i E8 to _grupy symetrii pewnych _{półregularnych polytopów .}

Afiniczne grupy Coxetera

Diagramy Coxetera dla grup Affine Coxetera

$korzeniowego$ Stiefela dla

Zobacz też: Afiniczny diagram Dynkina i Afiniczny system korzeniowy

Afiniczne grupy Coxetera tworzą drugą ważną serię grup Coxetera. Same w sobie nie są skończone, ale każda zawiera normalną podgrupę abelową , taką że odpowiadająca jej grupa ilorazowa jest skończona. W każdym przypadku grupa ilorazowa sama jest grupą Coxetera, a wykres Coxetera afinicznej grupy Coxetera jest uzyskiwany z wykresu Coxetera grupy ilorazowej przez dodanie kolejnego wierzchołka i jednej lub dwóch dodatkowych krawędzi. Na przykład dla n ≥ 2 graf składający się z n + 1 wierzchołków An _w okręgu otrzymuje się w ten sposób z _An , a odpowiadającą mu grupą Coxetera jest afiniczna grupa Weyla ( afiniczna grupa symetryczna ). Dla n = 2 można to przedstawić jako podgrupę grupy symetrii standardowego układania płaszczyzny za pomocą trójkątów równobocznych.

Ogólnie rzecz biorąc, mając system korzeni, można skonstruować powiązany diagram Stiefela , składający się z hiperpłaszczyzn prostopadłych do korzeni wraz z pewnymi translacjami tych hiperpłaszczyzn. Afiniczna grupa Coxetera (lub afiniczna grupa Weyla) jest zatem grupą generowaną przez (afiniczne) odbicia wokół wszystkich hiperpłaszczyzn na diagramie. Diagram Stiefela dzieli płaszczyznę na nieskończenie wiele połączonych elementów zwanych wnękami , a afiniczna grupa Coxetera działa swobodnie i przechodnie na wnęki, tak jak zwykła grupa Weyla działa swobodnie i przechodnie na komory Weyla. Rysunek po prawej ilustruje diagram Stiefela $korzeniowego$ .

Załóżmy, że jest nieredukowalnym systemem korzeni rangi $displaystyle r> 1}$$\$ i niech ${\ Displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ { r}}$ będzie zbiorem pierwiastków prostych. $_$ również najwyższy Następnie afiniczna grupa Coxetera jest generowana przez zwykłe (liniowe) odbicia dotyczące hiperpłaszczyzn prostopadłych do ${\ Displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {r}$ } afiniczna refleksja na temat translacji hiperpłaszczyzny prostopadłej do ${\ displaystyle \ alpha _ {r + 1}}$ . $grupy$$afinicznej$ to diagram Coxetera-Dynkina dla , wraz z jednym dodatkowym węzłem powiązanym z W tym przypadku jedną wnękę diagramu Stiefela można uzyskać, biorąc podstawową komorę Weyla i przecinając ją przez translację hiperpłaszczyzny prostopadłej do ${\ displaystyle \ alpha _ {r + 1}}$ .

Poniżej znajduje się lista afinicznych grup Coxetera:

Symbol grupy	Symbol Witta	Notacja nawiasowa	Wykres Coxetera	Powiązane jednolite teselacje
${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {n}}$	${\ Displaystyle P_ {n + 1}}$	[3 [ n ] ]	... lub ...	Simplectic plaster miodu
${\ Displaystyle {\ tylda {B}} _ {n}}$	${\ Displaystyle S_ {n + 1}}$	[4,3 n − 3 ,3 1,1 ]	...	Demihipersześcienny plaster miodu
${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ ​​{n}}$	${\ Displaystyle R_ {n + 1}}$	[4,3 n- 2 ,4]	...	Hipersześcienny plaster miodu
${\ Displaystyle {\ tylda {D}} _ {n}}$	${\ Displaystyle Q_ {n + 1}}$	[ 3 1,1 ,3 n −4 ,3 1,1 ]	...	Demihipersześcienny plaster miodu
${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {6}}$	${\ Displaystyle T_ {7}}$	[3 2,2,2 ]	Lub	2 22
${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {7}}$	${\ Displaystyle T_ {8}}$	[3 3,3,1 ]	Lub	3 31 , 1 33
${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {8}}$	${\ displaystyle T_ {9}}$	[3 5,2,1 ]		5 21 , 2 51 , 1 52
${\ Displaystyle {\ tylda {F}} _ {4}}$	${\ displaystyle U_ {5}}$	[3,4,3,3]		16-komorowy plaster miodu 24-komorowy plaster miodu
${\ Displaystyle {\ tylda {G}} _ {2}}$	${\ displaystyle V_ {3}}$	[6,3]		Płytki sześciokątne i płytki trójkątne
${\ Displaystyle {\ tylda {I}} _ {1}}$	${\ displaystyle W_ {2}}$	[∞]		Apeirogon

Indeks symbolu grupy jest o jeden mniejszy niż liczba węzłów w każdym przypadku, ponieważ każda z tych grup została uzyskana przez dodanie węzła do wykresu grupy skończonej.

Hiperboliczne grupy Coxetera

Istnieje nieskończenie wiele hiperbolicznych grup Coxetera opisujących grupy refleksyjne w przestrzeni hiperbolicznej , w szczególności w tym hiperboliczne grupy trójkątów.

Zamówienia częściowe

Wybór generatorów odbicia powoduje powstanie funkcji długości ℓ na grupie Coxetera, a mianowicie minimalnej liczby zastosowań generatorów wymaganych do wyrażenia elementu grupowego; jest to dokładnie długość w słowie metryka na wykresie Cayleya . Wyrażenie dla v używające generatorów ℓ ( v ) jest słowem zredukowanym . Na przykład permutacja (13) w S ₃ ma dwa zredukowane słowa, (12)(23)(12) i (23)(12)(23). Funkcja ${\ Displaystyle v \ do (-1) ^ {\ ell (v)}}$ definiuje mapę ${\ Displaystyle G \ do \ {\ pm 1\},}$ uogólniając mapę znaków dla grupy symetrycznej.

Używając zredukowanych słów, można zdefiniować trzy rzędy częściowe w grupie Coxetera, (prawy) słaby porządek , porządek absolutny i porządek Bruhata (nazwany na cześć François Bruhata ). Element v przekracza element u w porządku Bruhata, jeśli jakieś (lub równoważnie dowolne) zredukowane słowo dla v zawiera zredukowane słowo dla u jako podłańcuch, w którym niektóre litery (na dowolnej pozycji) są odrzucane. W kolejności słabej v ≥ u , jeśli jakieś zredukowane słowo dla v zawiera zredukowane słowo dla u jako segment początkowy. Rzeczywiście, długość słowa sprawia, że ​​​​jest to stopniowana pozycja . Diagramy Hassego odpowiadające tym rzędom są przedmiotem badań i są powiązane z wykresem Cayleya określonym przez generatory. Porządek absolutny definiuje się analogicznie do porządku słabego, ale ze zbiorem generującym/alfabetem składającym się ze wszystkich koniugatów generatorów Coxetera.

Na przykład permutacja (1 2 3) w S ₃ ma tylko jedno zredukowane słowo, (12) (23), więc obejmuje (12) i (23) w kolejności Bruhata, ale obejmuje tylko (12) w kolejności słabej.

Homologia

Ponieważ grupa Coxetera $,$ generowana przez skończenie wiele elementów rzędu 2, jej abelianizacja jest elementarną 2-grupą abelową tj. Jest izomorficzna z bezpośrednią sumą kilku kopii grupy cyklicznej ${\ displaystyle W} styl wyświetlania Z_{2}}$ . Można to $powtórzyć$ w kategoriach grupy homologii .

Mnożnik Schura , równy drugiej grupie homologii $,$ został obliczony w ( $)$ i Yokonuma 1965 skończonych grup odbicia oraz w ( Yokonuma 1965 dla afiniczne grupy refleksyjne, z bardziej ujednoliconym opisem podanym w ( Howlett 1988 ). We wszystkich przypadkach mnożnik Schura jest również elementarną abelową grupą 2. Dla każdej nieskończonej rodziny $grup Weyla$$M (W_ {n})}$ ranga $W n )$ jako $\displaystyle n}$ dąży do nieskończoności.

Zobacz też

• Grupa Artin-Tits
• Twierdzenie Chevalleya-Shepharda-Todda
• Złożona grupa refleksyjna
• pierwiastek Coxetera
• Algebra Iwahori – Hecke , kwantowa deformacja algebry grup
• Wielomian Kazhdana – Lusztiga
• Najdłuższy element grupy Coxetera
• Układ superrozwiązywalny

Dalsza lektura

•    Björner, Anders ; Brenti, Francesco (2005), Kombinatoryka grup Coxetera , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 231, Springer, ISBN 978-3-540-27596-1 , Zbl 1110.05001
•    Bourbaki, Nicolas (2002), Grupy kłamstw i algebry kłamstw: rozdziały 4–6 , Elementy matematyki , Springer, ISBN 978-3-540-42650-9 , Zbl 0983.17001
•    Coxeter, HSM (1934), „Dyskretne grupy generowane przez odbicia”, Annals of Mathematics , 35 (3): 588–621, CiteSeerX 10.1.1.128.471 , doi : 10.2307/1968753 , JSTOR 1968753
• Coxeter, HSM (1935), „Pełne wyliczenie skończonych grup postaci ${\ displaystyle r_ {i} ^ {2} = (r_ {i} r_ {j})^{k_{ij}}=1}$ ", J. London Math. soc. , 1, 10 (1): 21–25, doi : 10.1112/jlms/s1-10.37.21
•    Davis, Michael W. (2007), Geometria i topologia grup Coxetera (PDF) , ISBN 978-0-691-13138-2 , Zbl 1142.20020
•   Grove, Larry C.; Benson, Clark T. (1985), Grupy odbicia skończonego , Teksty magisterskie z matematyki, tom. 99, Springera, ISBN 978-0-387-96082-1
•   Hall, Brian C. (2015), Grupy Liego, algebry Liego i reprezentacje: elementarne wprowadzenie , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 222 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-3319134666
•    Humphreys, James E. (1992) [1990], Reflection Groups and Coxeter Groups , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, tom. 29, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43613-7 , Zbl 0725.20028
•    Kane, Richard (2001), Reflection Groups and Invariant Theory , CMS Books in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2 , Zbl 0986.20038
•    Hiller, Howard (1982), Geometria grup Coxetera , Research Notes in Mathematics, tom. 54, Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1 , Zbl 0483.57002
•   Ihara, S.; Yokonuma, Takeo (1965), „O drugich grupach kohomologii (mnożniki Schur) grup odbicia skończonego” (PDF) , J. Fac. nauka Uniw. Tokio, sekt. 1 , 11 : 155–171, Zbl 0136.28802 , zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 2013-10-23
•   Howlett, Robert B. (1988), „O mnożnikach Schura grup Coxetera”, J. London Math. soc. , 2, 38 (2): 263–276, doi : 10.1112/jlms/s2-38.2.263 , Zbl 0627.20019

• Vinberg, Ernest B. (1984), „Brak krystalograficznych grup odbić w przestrzeniach Łobaczewskiego o dużym wymiarze”, Trudy Moskov. Mata. Obszcz. , 47
•   Yokonuma, Takeo (1965), „O drugich grupach kohomologicznych (mnożnikach Schur) nieskończonych dyskretnych grup odbiciowych”, J. Fac. nauka Uniw. Tokio, sek. 1 , 11 : 173–186, hdl : 2261/6049 , Zbl 0136.28803

Linki zewnętrzne

• „Grupa Coxetera” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. , „Grupa Coxeter” , MathWorld
• Oprogramowanie Jenn do wizualizacji wykresów Cayleya skończonych grup Coxetera na maksymalnie czterech generatorach