Blok konforemny Virasoro

W dwuwymiarowej konforemnej teorii pola konforemne bloki Virasoro (nazwane na cześć Miguela Ángela Virasoro ) to specjalne funkcje, które służą jako elementy budulcowe funkcji korelacji . Na danej przebitej powierzchni Riemanna konforemne bloki Virasoro tworzą szczególną podstawę przestrzeni rozwiązań konforemnych tożsamości Warda . Bloki punktu zerowego na torusie są znakami reprezentacji algebry Virasoro ; czteropunktowe bloki na kuli redukują się do funkcje hipergeometryczne w szczególnych przypadkach, ale na ogół są znacznie bardziej skomplikowane. W dwóch wymiarach, podobnie jak w innych wymiarach, bloki konformalne odgrywają zasadniczą rolę w konforemnym podejściu ładowania początkowego do konforemnej teorii pola .

Definicja

Definicja z OPE

Korzystając z $rozwinięć$ blokami konforemnymi iloczynu operatora (OPE), funkcję $kuli$ można zapisać jako kombinację trzypunktowych stałych strukturalnych i uniwersalnych wielkości zwanych .

Biorąc pod uwagę $funkcję -punktową$ istnieje kilka typów bloków konforemnych, w zależności od tego, które OPE są używane. W przypadku $konforemnych$ dekompozycjom tej samej czteropunktowej funkcji. Schematycznie te rozkłady czytają

${\ Displaystyle \ lewo \ langle V_ {1} V_ {2} V_ {3} V_ {4} \ prawo \ rangle = \ suma _ {s} C_ {12s} C_ {s34} {\ mathcal {F}} _ {s}^{\text{(s-kanał)}}=\sum _{t}C_{14t}C_{t23}{\mathcal {F}}_{t}^{\text{(t-kanał) )}}=\sum _{u}C_{13u}C_{24u}{\mathcal {F}}_{u}^{\text{(u-kanał)}}\ ,}$

gdzie $są$$stałymi$ strukturalnymi, a są . Sumy są ponad reprezentacjami algebry konforemnej, które pojawiają się w widmie CFT. OPE obejmują sumy w widmie, tj. nad reprezentacjami i nad stanami w reprezentacjach, ale sumy po stanach są absorbowane w blokach konforemnych.

W dwóch wymiarach algebra symetrii dzieli się na dwie kopie algebry Virasoro, zwane ruchami w lewo i ruchami w prawo. Jeśli pola są również rozkładane na czynniki, to bloki konforemne również są rozkładane na czynniki, a czynniki nazywane są blokami konforemnymi Virasoro . Ruchome w lewo bloki konforemne Virasoro są lokalnie holomorficznymi funkcjami pozycji pól ${\ displaystyle z_ {i}}$ ; poruszające się w prawo bloki konforemne Virasoro są tymi samymi funkcjami co ${\ Displaystyle {\ bar {z}} _ {i}}$ . Faktoryzacja bloku konforemnego na bloki konforemne Virasoro jest tego typu

$\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {s_ {L} \ czasami s_ {R}} ^ {\ tekst {(s-kanał)}} (\ {z_ {i} \}) = {\ mathcal {F}}_{s_{L}}^{\text{(s-kanał, Virasoro)}}(\{z_{i}\}){\mathcal {F}}_{s_{R}} ^{\text{(s-kanał, Virasoro)}}(\{{\bar {z}}_{i}\})\ ,}$

gdzie $lewo$ algebr Virasoro poruszających się odpowiednio w

Definicja z tożsamości Virasoro Ward

Konformalne tożsamości Warda to równania liniowe, którym podlegają funkcje korelacji w wyniku konforemnej symetrii.

W dwóch wymiarach konforemne tożsamości Totemów rozkładają się na poruszające się w lewo i poruszające się w prawo tożsamości Totemów Virasoro. Bloki konforemne Virasoro są rozwiązaniami tożsamości Virasoro Ward.

OPE definiują określone podstawy bloków konforemnych Virasoro, takie jak podstawa kanału s w przypadku bloków czteropunktowych. Bloki zdefiniowane na podstawie OPE są szczególnymi przypadkami bloków zdefiniowanych na podstawie tożsamości Totemu.

Nieruchomości

Każde liniowe równanie holomorficzne, któremu podlega funkcja korelacji, musi również obowiązywać dla odpowiednich bloków konforemnych. Ponadto określone podstawy bloków konforemnych mają dodatkowe właściwości, które nie są dziedziczone z funkcji korelacji.

Bloki konformalne, które obejmują tylko pola podstawowe, mają stosunkowo proste właściwości. Bloki konformalne, które obejmują pola potomne, można następnie wydedukować przy użyciu lokalnych tożsamości Totemu . Czteropunktowy blok pól podstawowych z kanałem s zależy od wymiarów konforemnych czterech pól $od$$\ Displaystyle \ Delta _ {i},$ pozycji i od wymiar konforemny kanału s ${\ Displaystyle \ Delta _ {s}}$ . Można to zapisać jako ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ Delta _ {s}} ^ {(s)} (\ Delta _ {i} | \ { z_{i}\}),}$ gdzie zależność od centralnego ładunku algebry Virasoro jest ukryta.

Równania liniowe

Z odpowiedniej funkcji korelacji bloki konforemne dziedziczą równania liniowe: globalne i lokalne tożsamości Warda oraz równania BPZ , jeśli co najmniej jedno pole jest zdegenerowane.

W szczególności w bloku $-punktowym$ na kuli globalne tożsamości Totemów zmniejszają zależność od $-3}$ pola do zależności od krzyżowej $N$ N proporcje . N ${\ Displaystyle N = 4,$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ Delta _ {s}} ^ {(s) }(\{\Delta _{i}\}|\{z_{i}\})=z_{23}^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}+ \Delta _{4}}z_{13}^{-2\Delta_{1}}z_{34}^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}-\ Delta _{4}}z_{24}^{-\Delta_{1}-\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{4}}{\mathcal {F}}_{ \Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z),}$

gdzie ${\ Displaystyle z_ {ij} = z_ {i} -z_ {j},}$ i

${\ Displaystyle z = {\ Frac {z_ {12} z_ {34}} {z_ {13} z_ {24}}}}$

jest współczynnikiem krzyżowym i zredukowanym blokiem ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ Delta _ {s}} ^ {(s)} ( \{\Delta _{i}\}|z)}$ pokrywa się z oryginalnym blokiem, w którym wysyłane są trzy pozycje do ${\ Displaystyle (0, \ infty, 1)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ Delta _ {s}} ^ {(s)} (\ {\ Delta _ {i} \} | z) = {\ mathcal {F}} _ {\ Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z,0,\infty,1).}$

Osobliwości

Podobnie jak funkcje korelacji, bloki konforemne są pojedyncze, gdy pokrywają się dwa pola. W przeciwieństwie do funkcji korelacji, bloki konforemne zachowują się bardzo prosto w niektórych z tych osobliwości. W konsekwencji ich definicji z OPE, czteropunktowe bloki kanału s są przestrzegane

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ Delta _ {s}} ^ {(s)} (\ {\ Delta _ {i} \} | z) {\ underset {z \ do 0} {= }}z^{\Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}z^ {n}\prawo),}$

dla niektórych współczynników ${\ displaystyle c_ {n}.}$ Z drugiej strony bloki s-kanałowe mają skomplikowane pojedyncze zachowania przy ${\ displaystyle z = 1, \ infty}$ to bloki t-kanałowe są proste przy ${\ displaystyle z = 1}$ i bloki kanału u, które są proste w ${\ displaystyle z = \ infty.}$

W czteropunktowym bloku, który jest zgodny $i$ równaniem $osobliwymi$ regularnymi punktami równania różniczkowego jest charakterystycznym wykładnikiem równania różniczkowego. Dla równania różniczkowego rzędu ${\ displaystyle n}$ , ${\ displaystyle n}$$wykładniki$ odpowiadają wartościom $fuzji$ przez reguły

Permutacje pól

Permutacje pól opuszczają funkcję korelacji ${\ Displaystyle V_ {i} (z_ {i})}$

${\ Displaystyle \ lewo \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {N} V_ {i} (z_ {i}) \ prawo \ rangle}$

niezmienne, a zatem wiążą ze sobą różne bazy konforemnych bloków. W przypadku bloków czteropunktowych, bloki t-kanałowe są powiązane z blokami s-kanałowymi przez

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ Delta} ^ {(t)} (\ Delta _ {1}, \ Delta _ {2}, \ Delta _ {3 },\Delta _{4}|z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={\mathcal {F}}_{\Delta}^{(s)}(\ Delta _{1},\Delta _{4},\Delta _{3},\Delta _{2}|z_{1},z_{4},z_{3},z_{2}),}$

lub równoważnie

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ Delta} ^ {(t)} (\ Delta _ {1}, \ Delta _ {2}, \ Delta _ {3}, \ Delta _ {4} | z)={\mathcal {F}}_{\Delta}^{(s)}(\Delta _{1},\Delta _{4},\Delta _{3},\Delta _{2}| 1-z).}$

Łącząca się matryca

Zmiana podstaw z czteropunktowych bloków kanału s na kanał t charakteryzuje się macierzą stapiania (lub jądrem fuzji) taką, że ${\ displaystyle F}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ Delta _ {s}} ^ {(s)} (\ {\ Delta _ {i} \} | \ {z_ {i} \}) = \ int _ {i\mathbb {R}}dP_{t}\ F_{\Delta _{s},\Delta _{t}}{\begin{bmatrix}\Delta _{2}&\Delta _{3}\\ \Delta _{1}&\Delta _{4}\end{bmatrix}}{\mathcal {F}}_{\Delta _{t}}^{(t)}(\{\Delta _{i} \}|\{z_{i}\}).}$

Macierz fuzyjna jest funkcją ładunku centralnego i wymiarów konforemnych, ale nie zależy od ${\ Displaystyle z_ {i}.}$$}$ { \ P_ $}$

${\ Displaystyle \ Delta = {\ Frac {c-1} {24}} -P ^ {2}.}$

Wartości $_$ spektrum _ _

Musimy również wprowadzić dwa parametry związane z ładunkiem centralnym, do $}$$b$ Displaystyle Q

${\ displaystyle c = 1 + 6Q ^ {2}, \ qquad Q = b + b ^ {-1}.}$

Zakładając, $Displaystyle c \ notin (- \ infty, 1)}$ i ${\ Displaystyle P_ {i} \ in i \ mathbb {R}}$ , do ∉ macierz łącząca jest

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} F _ {\ Delta _ {s}, \ Delta _ {t}} i {\ rozpocząć {bmatrix} \ Delta _ {2} i \ Delta _ {3} \\\ Delta _ {1}&\Delta _{4}\end{bmatrix}}=\\&=\left(\prod _{\pm }{\frac {\Gamma _{b}(Q\pm 2P_{s}) }{\Gamma _{b}(\pm 2P_{t})}}\right){\frac {\Xi _{+}(P_{1},P_{4},P_{t})\Xi _ {+}(P_{2},P_{3},P_{t})}{\Xi _{-}(P_{1},P_{2},P_{s})\Xi _{-}( P_{3},P_{4},P_{s})}}\times \\&\quad \times \int _{{\frac {Q}{4}}+i\mathbb {R}}du\ S_{b}\left(u-P_{12s}\right)S_{b}\left(u-P_{s34}\right)S_{b}\left(u-P_{23t}\right)S_{ b}\left(u-P_{t14}\right)\\&\qquad \times S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u+P_{1234}\right)S_{ b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u+P_{st13}\right)S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u+P_{st24}\ prawo)S_{b}\lewo({\tfrac {Q}{2}}-u\prawo)\end{wyrównane}}}$

gdzie jest podwójną funkcją gamma , ${\ Displaystyle \ Gamma _ {b}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} S_ {b} (x) & = {\ Frac {\ Gamma _ {b }(x)}{\Gamma _{b}(Qx)}}\\[6pt]\Xi _{\epsilon }(P_{1},P_{2},P_{3})&=\prod _ {\underset {\epsilon _{1}\epsilon_{2}\epsilon_{3}=\epsilon}{\epsilon_{1},\epsilon_{2},\epsilon_{3}=\pm }}\Gamma _{b}\left({\tfrac {Q}{2}}+\sum _{i}\epsilon _{i}P_{i}\right)\\[6pt]P_{ijk} &=P_{i}+P_{j}+P_{k}\end{wyrównane}}}$

$jego$ wyrażenie jest prostsze pod względem pędów $niż$ pod względem wymiarów rzeczywistości funkcją ${i}}$${\ displaystyle \ Delta$$P_ {i} \ do -P_ {i}}$ tj. funkcja , która jest niezmienna pod $Displaystyle$ . W wyrażeniu na macierz stapiania całka to a hiperboliczna całka Barnesa . Aż do normalizacji macierz łącząca pokrywa się z ${\ Displaystyle b, b ^ {- 1}, P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4}}$ hipergeometryczną Ruijsenaarsa , z argumentami i parametrami ${\ Displaystyle P_ {s}, P_$ .

W $kuli$ zmianę podstaw między dwoma zestawami bloków, które są zdefiniowane na podstawie różnych sekwencji OPE, można zawsze zapisać za pomocą macierzy stapiania i prostej macierzy opisującej permutację z pierwszych dwóch pól w bloku s-kanałowym,

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ Delta _ {s}} ^ {(s)} (\ Delta _ {1}, \ Delta _ {2}, \ Delta _ {3}, \ Delta _ {4}|z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})=e^{i\pi (\Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{ 2})}{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\Delta _{2},\Delta _{1},\Delta _{3},\Delta _{4}|z_{2},z_{1},z_{3},z_{4}).}$

Obliczanie bloków konforemnych

Z definicji

Definicja z OPE prowadzi do wyrażenia dla czteropunktowego bloku konforemnego kanału s jako sumy stanów w reprezentacji kanału s typu

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ Delta _ {s}} ^ {\ tekst {(s)}} (\ {\ Delta _ {i} \} | z) = z ^ {\ Delta _ {s}-\Delta _{1}-\Delta_{2}}\sum _{L,L'}z^{|L|}f_{12s}^{L}Q_{L,L'}^ {s}f_{43s}^{L'}\ .}$

Sumy dotyczą trybów tworzenia $i} L_$ = ∏ $_$ { generatorów Virasoro z ${\ Displaystyle 1 \ eq n_ {1} \ eq n_ {2} \ eq \$ cdots ${\ Displaystyle | L | = \ suma n_ {i}}$ . Takie generatory odpowiadają stanom bazowym w module Verma o wymiarze konforemnym ${\ displaystyle \ Delta _ {s}}$ . fa ${\ Displaystyle f_ {12s} ^ {L}}$ jest funkcją $Displaystyle \ Delta _ {1}, \ Delta _ {2}, \ Delta _{s},L}$ , która jest znana jawnie. Element macierzy ${\ Displaystyle Q_ {L, L'} ^ {s}}$ jest funkcją do $\ Displaystyle c, \ Delta _ {s}, L, L'},$ która znika, jeśli ${\ Displaystyle | L|\ neq | L'|}$ i rozchodzi się dla ${\ displaystyle | L | = N}$ , jeśli na poziomie istnieje wektor zerowy. ${\ displaystyle N}$ . Aż do ${\ Displaystyle | L | = 1}$ , to brzmi

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ Delta _ {s}} ^ {\ tekst {(s)}} (\ {\ Delta _ {i} \} | z) = z ^ {\ Delta _ {s}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}{\Bigg \{}1+{\frac {(\Delta _{s}+\Delta _{1}-\Delta _{2 })(\Delta _{s}+\Delta _{4}-\Delta _{3})}{2\Delta _{s}}}z+O(z^{2}){\Bigg \} }\ .}$

(W szczególności ${\ Displaystyle Q_ {L_ {-1}, L_ {-1}} ^ {s} = {\ Frac {1} {2 \ Delta _ {s}}}}$ nie zależy od opłaty centralnej ${\ displaystyle c}$ .)

Rekurencyjna reprezentacja Zamolodczikowa

W rekurencyjnej reprezentacji czteropunktowych bloków na kuli Aleksieja Zamolodczikowa stosunek krzyżowy pojawia się poprzez nom ${\ displaystyle z}$

${\ Displaystyle q = \ exp - \ pi {\ Frac {F ({\ Frac {1} {2}}, {\frac {1}{2}},1,1-z)}{F({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,z)}}{ \underset {z\to 0}{=}}{\frac {z}{16}}+{\frac {z^{2}}{32}}+O(z^{3})\quad \iff \quad z={\frac {\theta _{2}(q)^{4}}{\theta _{3}(q)^{4}}}{\underset {q\to 0}{=} }16q-128q^{2}+O(q^{3})}$

gdzie jest funkcją hipergeometryczną $i$ użyliśmy funkcji theta

${\ Displaystyle \ theta _ {2} (q) = 2q ^ {\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty}q^{n(n+1)}\quad ,\quad \theta _{3}(q)=\sum _{n\w {\mathbb {Z}}}q^{n^{2}}}$

Reprezentacja jest tego typu

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ Delta} ^ {(s)} (\ {\ Delta _ {i} \} | z) = (16q) ^ {\ Delta - {\ Frac {1} {4}}Q^{2}}z^{{\frac {1}{4}}Q^{2}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(1-z)^{ {\frac {1}{4}}Q^{2}-\Delta _{1}-\Delta _{4}}\theta _{3}(q)^{3Q^{2}-4(\ Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\Delta _{4})}H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)\ .}$

H. ${\ Displaystyle H _ {\ Delta} (\ {\ Delta _ {i} \} | q)}$ jest potęg w , który jest rekurencyjnie ${\ displaystyle q}$ określony przez

${\ Displaystyle H _ {\ Delta} (\ {\ Delta _ {i} \} | q) = 1 + \ suma _ {m, n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(16q) ^ {mn }}{\Delta -\Delta _{(m,n)}}}R_{m,n}H_{\Delta _{(m,-n)}}(\{\Delta _{i}\}| Q)\ .}$

W tym wzorze pozycje biegunów są wymiarami reprezentacji zdegenerowanych, które odpowiadają pędom ${\ Displaystyle \ Delta _ {(m, n)}}$

${\ Displaystyle P _ {(m, n)} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (mb + nb ^ {-1} \ prawo) \ .}$

Reszty są podane przez ${\ Displaystyle R_ {m, n}}$

${\ Displaystyle R_ {m, n} = {\ Frac {2P_ {(0,0}} P_ {(m, n)}} {\ prod _ {r = 1-m} ^ {m} \ prod _ { s=1-n}^{n}2P_{(r,s)}}}\prod _{r{\overset {2}{=}}1-m}^{m-1}\prod _{s {\overset {2}{=}}1-n}^{n-1}\prod _{\pm}(P_{2}\pm P_{1}+P_{(r,s)})(P_ {3}\pm P_{4}+P_{(r,s)})\ ,}$

gdzie indeks górny w ${2} {=}}}$ produkt, który działa w krokach co ${\ displaystyle {$ overset H ${\ Displaystyle H _ {\ Delta} (\ {\ Delta _ {i} \} | q)}$ można rozwiązać, dając wyraźny (ale niepraktyczny formuła.

Podczas gdy współczynniki szeregu potęgowego nie muszą być dodatnie w teoriach jednostkowych , współczynniki ${\ Displaystyle H _ {\ Delta} (\ {\ Delta _ {i} \} | q)}$ z ${\ Displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ {2k}) ^ {- {\ Frac {1} {2}}} H _ {\ Delta} (\ {\ Delta _ {i}\}|q)}$ są dodatnie, ze względu na interpretację tej kombinacji w kategoriach sumy stanów w geometrii poduszki.

Reprezentację rekurencyjną można postrzegać jako rozwinięcie wokół ${\ Displaystyle \ Delta = \ infty}$ . Czasami nazywa się to $-rekurencji : innej$ Aleksieja , aby odróżnić ją od reprezentacji $również$ za sprawą Zamolodczikowa , która rozszerza się wokół ${\ displaystyle c=\infty }$ . Obie reprezentacje można uogólnić na ${\ displaystyle N}$ -punktowe bloki konforemne Virasoro na dowolnych powierzchniach Riemanna .

Od relacji do liczenia momentów

Relacja Aldaya – Gaiotto – Tachikawy między dwuwymiarową konforemną teorią pola a supersymetryczną teorią cechowania, a dokładniej między konformalnymi blokami teorii Liouville'a a funkcjami podziału Niekrasowa supersymetrycznych teorii cechowania w czterech wymiarach, prowadzi do wyrażeń kombinatorycznych dla konforemnych bloki jako sumy nad diagramami Younga . Każdy diagram może być interpretowany jako stan w reprezentacji algebry Virasoro razy abelowej afinicznej algebry Liego .

Przypadki specjalne

Bloki punktu zerowego na torusie

Blok punktu zerowego nie zależy od pozycji pola, ale zależy od modułów leżącej pod spodem powierzchni Riemanna . W przypadku torusa

$\ Displaystyle {\ Frac {\ mathbb {C}}} {\ mathbb {Z} + \ tau \ mathbb {Z}}},}$

ta zależność jest lepiej zapisana przez ${\ Displaystyle q = e ^ {2 \ pi i \ tau}}$ i blok punktu zerowego powiązany z reprezentacją ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} }$ algebry Virasoro jest

${\ Displaystyle \ chi _ {\ mathcal {R}} (\ tau) = \ nazwa operatora {Tr} _ {\ mathcal {R}} q ^ {L_ {0}-{\frac {c}{24}}},}$

gdzie $jest$ algebry Virasoro. ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}.}$ to z postacią R. Znaki niektórych reprezentacji o najwyższej wadze to:

• Moduł Vermy o wymiarze konforemnym ${\ Displaystyle \ Delta = {\ tfrac {c-1} {24}} -P ^ {2}}$ :

${\ Displaystyle \ chi _ {P} (\ tau) = {\ Frac {q ^ {- P ^ {2}}} {\ eta (\ tau)}},}$

gdzie ${\ displaystyle \ eta (\ tau)}$ to funkcja eta Dedekinda .

• $z$ pędem :

${\ Displaystyle \ chi _ {(r, s)} (\ tau) = \ chi _ {P_ {(r, s)}} (\ tau) - \ chi _ {P_ {(r, -s)}} (\ tau).}$

• Całkowicie zdegenerowana reprezentacja wymierna ${\ Displaystyle b ^ {2} = - {\ tfrac {p} {q}}}$ :

${\ Displaystyle \ chi _ {(r, s)} (\ tau) = \ suma _ {k \ w \ mathbb {Z}} \ lewo (\ chi _ {P_ {(r, s)} + ik {\ sqrt {pq}}}(\tau)-\chi _{P_{(r,-s)}+ik{\sqrt {pq}}}(\tau)\right).}$

Znaki przekształcają się liniowo w ramach przekształceń modułowych :

${\ Displaystyle \ tau \ do {\ Frac {a \ tau + b} {c \ tau + d}}, \ qquad {\ początek {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}} \ w SL_ {2} (\mathbb {Z}).}$

W szczególności ich transformacja $opisana$ przez macierz S Korzystając z macierzy S, ograniczenia widma CFT można wyprowadzić z modułowej niezmienności funkcji podziału torusa, co w szczególności prowadzi do klasyfikacji modeli minimalnych ADE .

Bloki jednopunktowe na torusie

Dowolny jednopunktowy blok na torusie można zapisać jako czteropunktowy blok na kuli przy innym ładunku centralnym. Ta zależność odwzorowuje moduł torusa na stosunek krzyżowy pozycji czterech punktów, a trzy z czterech pól na kuli mają stały pęd . ${\ Displaystyle P_ {(0 ,{\frac {1}{2}})}={\tfrac {1}{4b}}}$ :

${\ Displaystyle H_ {P'} ^ {\ tekst {torus}} (P_ {1} | q ^ {2}) = H_ {P} \ lewo (\ lewo. {\ tfrac {1} {4b}}, P_{2},{\tfrac {1}{4b}},{\tfrac {1}{4b}}\right|q\right)\quad {\text{with}}\quad \left\{{\ rozpocząć{tablica}{l}b={\frac {b'}{\sqrt {2}}}\\P_{2}={\frac {P_{1}}{\sqrt {2}}}\\ P={\sqrt {2}}P'\end{tablica}}\right.}$

Gdzie

• $\ prawo)}$${\ Displaystyle H_ {P_ {s}} \ lewo (\ lewo.P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_$$prawo |$ jest nietrywialnym czynnikiem czteropunktowego bloku sfery w rekurencyjnej reprezentacji Zamolodczikowa, zapisanym w kategoriach pędów zamiast wymiarów ${\ Displaystyle P_ {i}}$ .
• ${\ Displaystyle H_ {P} ^ {\ tekst {torus}} (P_ {1} | q)}$ jest nietrywialnym czynnikiem jednopunktowego bloku torusa ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ Delta} ^ {\ tekst {torus}} (\ Delta _ {1} | q) = q ^ {\ Delta - {\ Frac {c-1} {24 }}} \ eta (q) ^ {-1} H _ {\ Delta} ^ {\ tekst {torus}} (\ Delta _ {1} | q)} , gdzie η ( q ) {$ \ $q )}$ jest funkcją eta Dedekinda , parametr modułowy torusa jest taki, że , a $pi i \ tau}}$$\ Displaystyle q = e ^ {2$ \ pole na torusie ma wymiar ${\ Displaystyle \ Delta _ {1}}$ .

Rekurencyjna reprezentacja bloków jednopunktowych na torusie to

${\ Displaystyle H _ {\ Delta} ^ {\ tekst {torus}} (\ Delta _ {1} | q) = 1 + \ suma _ {m, n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {q ^ {mn}}{\Delta -\Delta _{(m,n)}}}R_{m,n}^{\text{torus}}H_{\Delta _{(m,-n)}}^{ \text{torus}}(\Delta _{1}|q)\ ,}$

gdzie są pozostałości

${\ Displaystyle R_ {m, n} ^ {\ tekst {torus}} = {\ Frac {2P_ {(0,0}} P_ {(m, n)}} {\ prod _ {r = 1-m} ^{m}\prod _{s=1-n}^{n}2P_{(r,s)}}}\prod _{r{\overset {2}{=}}1-2m}^{2m -1}\prod _{s{\overset {2}{=}}1-2n}^{2n-1}\left(P_{1}+P_{(r,s)}\right)\ .}$

W przypadku transformacji modułowych jednopunktowe bloki na torusie zachowują się jak

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {P} ^ {\ tekst {torus}} \ lewo (P_ {1} | - {\ tfrac {1} {\ tau}} \ prawej) = \ int _ { i\mathbb {R}}dP'\ S_{P,P'}(P_{1}){\mathcal {F}}_{P'}^{\text{torus}}\left(P_{1} |\tau \right)\ ,}$

gdzie znajduje się modułowe jądro

${\ Displaystyle S_ {P, P '} (P_ {1}) = {\ Frac {2 ^ {- {\ Frac {5} {2}}}} {S_ {b} ({\ Frac {Q} 2}}+P_{1})}}\prod _{\pm }{\frac {\Gamma _{b}(Q\pm 2P)}{\Gamma _{b}(\pm 2P')}} {\frac {\Gamma _{b}({\frac {Q}{2}}-P_{1}\pm 2P')}{\Gamma _{b}({\frac {Q}{2}} -P_{1}\pm 2P)}}\int _{i\mathbb {R}}du\ e^{4\pi iPu}\prod _{\pm ,\pm }S_{b}\left({ \tfrac {Q}{4}}+{\tfrac {P_{1}}{2}}\pm u\pm P'\right)\ .}$

Bloki hipergeometryczne

Dla funkcji czteropunktowej na kuli

${\ Displaystyle \ lewo \ langle V_ {\ langle 2,1 \ rangle} (x) \ prod _ {i = 1 }^{3}V_{\Delta_{i}}(z_{i})\right\rangle }$

równanie BPZ drugiego rzędu redukuje się do równania hipergeometrycznego. Podstawą rozwiązań są dwa konforemne bloki kanału s, które są dozwolone przez reguły fuzji, a bloki te można zapisać w kategoriach funkcji hipergeometrycznej ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathcal {F}} _ {P_ {1} + \ epsilon {\ Frac {b} {2}}} ^ {(s)} (z) & = z ^ { {\frac {1}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}+b\epsilon P_{1}}(1-z)^{{\frac {1}{2} }+{\frac {b^{2}}{2}}+bP_{3}}\\&\razy F\left({\tfrac {1}{2}}+b(\epsilon P_{1} +P_{2}+P_{3}),{\tfrac {1}{2}}+b(\epsilon P_{1}-P_{2}+P_{3}),1+2b\epsilon P_{ 1},z\right),\end{wyrównane}}}$

z ${\ Displaystyle \ epsilon \ in \ {+, - \}.}$ Inną podstawę stanowią dwa konforemne bloki kanału t,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathcal {F}} _ {P_ {3} + \ epsilon {\ Frac {b} {2}}} ^ {(t)} (z) & = z ^ { {\frac {1}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}+bP_{1}}(1-z)^{{\frac {1}{2}}+{ \frac {b^{2}}{2}}+b\epsilon P_{3}}\\&\times F\left({\tfrac {1}{2}}+b(P_{1}+P_ {2}+\epsilon P_{3}),{\tfrac {1}{2}}+b(P_{1}-P_{2}+\epsilon P_{3}),1+2b\epsilon P_{ 3},1-z\right).\end{wyrównane}}}$

Macierz łącząca jest macierzą o rozmiarze dwa taką, że

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {P_ {1} + \ epsilon _ {1} {\ Frac {b} {2}}} ^ {(s)} (x) = \ suma _ {\ epsilon _{3}=\pm }F_{\epsilon_{1},\epsilon_{3}}{\mathcal {F}}_{P_{3}+\epsilon _{3}{\frac {b} {2}}}^{(t)}(x),}$

którego wyrażeniem jawnym jest

${\ Displaystyle F _ {\ epsilon _ {1}, \ epsilon _ {3}} = {\ Frac {\ Gamma (1-2b \ epsilon _ {1} P_ {1}) \ Gamma (2b \ epsilon _ {3 }P_{3})}{\prod _{\pm }\Gamma ({\frac {1}{2}}+b(-\epsilon _{1}P_{1}\pm P_{2}+\ epsilon_{3}P_{3}))}}.}$

Hipergeometryczne bloki konforemne odgrywają ważną rolę w analitycznym podejściu bootstrap do dwuwymiarowej CFT.

Rozwiązania równania Painlevé VI

Jeśli do ${\ displaystyle c = 1,}$ , to pewne liniowe kombinacje konforemnych bloków kanału s są rozwiązaniami równania różniczkowego Painlevé VI . Odpowiednie kombinacje liniowe obejmują sumy zbiorów pędów typu ${\ Displaystyle P_ {s} + i \ mathbb {Z}.}$ Pozwala to na wyprowadzenie bloków konforemnych z rozwiązań równania Painlevé VI i odwrotnie. Prowadzi to również do stosunkowo prostego wzoru na macierz stapiania przy Co ciekawe, $konforemnych jest również powiązana z$$równaniem$ Painlevé Zależność między $}$ tajemnicza po stronie konforemnej teorii pola, jest wyjaśniona naturalnie w kontekście czterowymiarowych teorii cechowania, używając do $c = \$ równania powiększenia i można je uogólnić na bardziej ogólne pary ${\ displaystyle c, c'}$ opłat centralnych.

Uogólnienia

Inne reprezentacje algebry Virasoro

Bloki konforemne Virasoro opisane w tym artykule są powiązane z pewnym typem reprezentacji algebry Virasoro: reprezentacjami o najwyższej wadze, innymi słowy moduły Vermy i ich cosets. Funkcje korelacji, które obejmują inne typy reprezentacji, powodują powstanie innych typów bloków konforemnych. Na przykład:

• Logarytmiczna konforemna teoria pola obejmuje reprezentacje $,$ w których generator Virasoro jest diagonalizowalny, co powoduje powstanie bloków logarytmicznie zależnych od pozycji pola.
• Reprezentacje można budować ze stanów, w których niektóre tryby anihilacji algebry Virasoro działają po przekątnej, a nie zanikają. Odpowiednie bloki konforemne nazwano nieregularnymi blokami konformalnymi .

Większe algebry symetrii

W teorii, której algebra symetrii jest większa niż algebra Virasoro, na przykład model WZW lub teoria z symetrią W , funkcje korelacji można w zasadzie rozłożyć na bloki konforemne Virasoro, ale ten rozkład zazwyczaj obejmuje zbyt wiele terminów, aby były użyteczne. Zamiast tego możliwe jest użycie bloków konforemnych opartych na większej algebrze: na przykład w modelu WZW bloki konforemne oparte na odpowiedniej afinicznej algebrze Liego , które są zgodne z równaniami Knizhnika – Zamolodchikova .