Imię (matematyka)

W matematyce , a konkretnie w teorii funkcji eliptycznych , nom jest specjalną funkcją należącą do funkcji nieelementarnych. Funkcja ta ma duże znaczenie w opisie funkcji eliptycznych, zwłaszcza w opisie identyczności modularnej funkcji theta Jacobiego , przestępców eliptycznych Hermite'a i funkcji modularnych Webera , które służą do rozwiązywania równań wyższych stopni.

Definicja

Funkcja nome jest dana przez

${\ Displaystyle q = \ operatorname {e} ^ {- {\ Frac {\ pi K'} {K}}} = \ mathrm {e} ^{\frac {{\rm {i}}\pi \omega _{2}}{\omega _{1}}}=\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\ pi \tau }\,}$

gdzie i $K.$ i $'}$ to okresy kwartałów , a i $\ Displaystyle \ omega _ {1}}$ { ω $\ Displaystyle \ omega _ {2}}$ podstawowa para okresów i ${\ textstyle \ tau = {\ Frac {iK'} {K}} = {\ Frac {\ omega _ {2}} {\ omega _ {1}}}}$ jest stosunek półokresu . Nom można uznać za funkcję dowolnej z tych wielkości; odwrotnie, każdą z tych wielkości można przyjąć jako funkcję nomu. Każdy z nich jednoznacznie określa pozostałe, gdy ${\ displaystyle 0 <q <1}$ . Oznacza to, że kiedy $odwzorowania między tymi różnymi symbolami$ , półokresy i okresy stosunek półokresu można wyraźnie zapisać jako funkcje nomu. Dla generała ${\ Displaystyle q \ w \ mathbb {C}}$ z ${\ Displaystyle 0 <| q| <1}$ , ${\ Displaystyle \ tau}$ nie jest jednowartościową funkcją ${\ displaystyle q}$ . Wyraźne wyrażenia dotyczące okresów kwartalnych , jeśli chodzi o nom, podano w połączonym artykule.

$}$ ćwierćokresy i $K$ tylko w kontekście jakobianowych funkcji eliptycznych , podczas gdy półokresy są zwykle używane. $}$$K$ i $zwykle$ tylko w kontekście funkcji eliptycznych Weierstrassa . Niektórzy autorzy, zwłaszcza Apostol, używają i ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ Displaystyle \ omega _ {2}}$ do oznaczania całych okresów, a nie półokresów.

Nom jest często używany jako wartość, za pomocą której można opisać funkcje eliptyczne i formy modułowe; z drugiej strony można to również traktować jako funkcję, ponieważ ćwierćokresy są funkcjami modułu eliptycznego ${\ displaystyle k}$ : ${ \ Displaystyle q (k) = \ operatorname {e} ^ {- \ pi K' (k) / K (k)}}$ .

Nazwa uzupełniająca jest podawana przez . ${\ displaystyle q_ {1}}$

${\ Displaystyle q_ {1} (k) = \ operatorname {e} ^ {- \ pi K (k) / K '(k)}. \,}$

$_$ notacja _ _ _

Wspomniane funkcje $całkowitymi$ nazywane całkami $pierwszego$ rodzaju . Są one zdefiniowane w następujący sposób:

${\ Displaystyle K (x) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ Frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2} \ sin (\ varphi) ^ {2}}} }\,\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(y^{2}+1)^{2}-4x^{2} y ^ {2}}}} \ operatorname {d} y}$

${\ Displaystyle K' (x) = K ({\ sqrt {1-x ^ {2}}}) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ Frac {1} {\ sqrt {1 -(1-x^{2})\sin(\varphi )^{2}}}}\,\mathrm {d} \varphi }$

Aplikacje

Nom rozwiązuje następujące równanie:

${\ Displaystyle | k | = {\ Frac {\ vartheta _ {10} ^ {2} [0, q (k)]} {\ vartheta _ {00} ^ {2} [0, q (k)]} }\rightarrow q(k)=\mathrm {e} ^{-\pi K'(k)/K(k)}}$

Ten analogon obowiązuje dla pitagorejskiego modułu uzupełniającego:

${\ Displaystyle k' = {\ sqrt {1-k ^ {2}}} = {\ Frac {\ vartheta _ {01} ^ {2} [0, q (k)]} {\ vartheta _ {00} ^{2}[0,q(k)]}}\rightarrow q(k)=\mathrm {e} ^{-\pi K'(k)/K(k)}}$

gdzie $}$${00}$ to pełne funkcje theta Jacobiego i jest pełną całką eliptyczną pierwszego rodzaj z modułem $w$ powyższym wzorze. Dla pełnych funkcji theta obowiązują te definicje wprowadzone przez Sir Edmunda Taylora Whittakera i George'a Neville'a Watsona :

${\ Displaystyle \ vartheta _ {00 }(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n -2}]}$

${\ Displaystyle \ vartheta _ {01} (v; w )=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1-2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]}$

${\ Displaystyle \ vartheta _ {10 }(v;w)=2w^{1/4}\cos(v)\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v) w^{2n}+w^{4n}]}$

Te trzy formuły definicyjne są spisane w czwartym wydaniu książki A Course in Modern Analysis napisanej przez Whittakera i Watsona na stronach 469 i 470. Nom jest powszechnie używany jako punkt wyjścia do konstrukcji szeregu Lamberta , q- szeregi i bardziej ogólnie q-analogi . Oznacza to, że stosunek półokresu jest powszechnie używany jako współrzędna na złożonej górnej półpłaszczyźnie , zwykle $\ tau}$ w metrykę Poincarégo w celu uzyskania τ {\ displaystyle Model półpłaszczyzny Poincarégo . Nom służy wtedy jako współrzędna na przebitym dysku o jednostkowym promieniu; jest przebity, ponieważ $displaystyle q$$)$ dysku (a raczej odpowiada $= 0$ . To nadaje przebitemu dyskowi metrykę Poincarégo.

Górną półpłaszczyznę (oraz dysk Poincarégo i przebity dysk) można zatem pokryć podstawową domeną , która jest obszarem wartości stosunku półokresu (lub $} displaystyle q}$${\ displaystyle \ tau$ lub z $iK'}$ K. $displaystyle$ itd.), które jednoznacznie określają nachylenie płaszczyzny za pomocą . Dachówka jest określana jako modułowa symetria nadana przez grupę modułową . Niektóre funkcje, które są okresowe na górnej półpłaszczyźnie, są wywoływane jako funkcje modułowe ; nom, półokresy, ćwierćokresy lub stosunek półokresów zapewniają różne parametryzacje dla tych funkcji okresowych.

niezmiennik j Kleina . Można to zapisać jako funkcję stosunku półokresu τ lub jako funkcję nomu ${\ displaystyle q}$ . Rozszerzenie serii pod względem nomu lub kwadratu nomu ( rozszerzenie q ) jest słynnie połączone z potworem Fisher-Griess za pomocą potwornego bimberu .

Funkcja Eulera powstaje jako prototyp szeregu q w ogólności.

Nom, jako seria $q,$ się następnie w teorii afinicznych algebr Liego , głównie dlatego, że (mówiąc poetycko, ale nie faktycznie) algebry te opisują symetrie i izometrie Riemanna powierzchnie .

Szkicowanie krzywej

Każda wartość rzeczywista $-$ [ $\ Displaystyle [-1,1]}$ jest przypisana do liczby rzeczywistej między zerem a jedynką w funkcji nomu ${\ styl wyświetlania q(x)}$ . Eliptyczna funkcja nomu jest osiowo symetryczna względem osi rzędnych. Zatem: ${\ Displaystyle q (x)}$ = ${\ displaystyle q (-x)}$ . Krzywa funkcjonalna nomu przechodzi przez początek współrzędnych z nachyleniem zero i krzywizną plus jedna ósma. $_$ przedziału $funkcja$ lewo _

Pochodne

Relacja Legendre'a jest zdefiniowana w ten sposób:

${\ Displaystyle K \, E '+ E \, K'-K \, K' = {\ tfrac {1} {2}} \ pi}$

Jak opisano powyżej, eliptyczna funkcja nomu ma tę oryginalną definicję: ${\ displaystyle q (x)}$

${\ Displaystyle q (x) = \ exp {\ biggl [} - \ pi \, {\ Frac {K ({\ sqrt {1-x^{2}}})}{K(x)}}{\biggr ]}}$

Ponadto są to pochodne dwóch kompletnych całek eliptycznych:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} d} x}}K(x)={\frac {1}{x(1-x^{2})}}{\bigl [}E(x)-(1-x^{2})K( x) {\bigr ]}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}}} {\ operatorname {d} x}} E (x) = - {\ Frac {1} {x}} {\bigl [}K(x)-E(x){\bigr ]}}$

Dlatego pochodna funkcji nome ma następujące wyrażenie:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}} q (x) = {\frac {\pi ^{2}}{2x(1-x^{2})K(x)^{2}}}q(x)}$

Drugą pochodną można wyrazić w następujący sposób:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} ^ {2}} {\ operatorname {d} x ^ {2}}} q (x) = {\ Frac {\ pi ^ {4} +2\pi ^{2}(1+x^{2})K(x)^{2}-4\pi ^{2}K(x)E(x)}{4x^{2}(1 -x^{2})^{2}K(x)^{4}}}q(x)}$

A to jest trzecia pochodna:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} ^ {3}} {\ operatorname {d} x ^ {3}}} q (x) = {\ Frac {\ pi ^ {6} + 6 \ pi ^{4}(1+x^{2})K(x)^{2}-12\pi ^{4}K(x)E(x)+8\pi ^{2}(1+x^ {2})^{2}K(x)^{4}-24\pi ^{2}(1+x^{2})K(x)^{3}E(x)+24\pi ^ {2}K(x)^{2}E(x)^{2}}{8x^{3}(1-x^{2})^{3}K(x)^{6}}}q (X)}$

Pełną całkę eliptyczną drugiego rodzaju definiuje się następująco:

${\ Displaystyle E (x) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ sqrt {1-x ^ {2} \ sin (\ varphi) ^ {2}}} \ \ operatorname {d } \varphi =2\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {(y^{2}+1)^{2}-4x^{2}y^{2}}}{( y^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} y}$

Następujące równanie wynika z tych równań poprzez wyeliminowanie zupełnej całki eliptycznej drugiego rodzaju:

${\ Displaystyle 3 {\ biggl [} {\ Frac {\ operatorname {d} ^ {2}} {\ operatorname {d} x^{2}}}q(x){\biggr ]}^{2}-2{\biggl [}{\frac {\mathrm {d}}}{\mathrm {d} x}}q(x) {\biggr ]}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}q(x){\biggr ]}={\frac {\pi ^{8}-4\pi ^{4}(1+x^{2})^{2}K(x)^{4}}{16x^{4}(1-x^{2 })^{4}K(x)^{8}}}q(x)^{2}}$

Zatem następujące kwartalne równanie różniczkowe trzeciego rzędu jest ważne:

${\ Displaystyle x ^ {2} (1-x ^ {2}) ^ {2} [2q (x) ^ {2} q '(x) q' ''(x)-3q(x)^{2}q''(x)^{2}+q'(x)^{4}]=(1+x^{2})^{2}q (x)^{2}q'(x)^{2}}$

szereg MacLaurina

Szereg MacLaurina funkcji nomu ma parzyste wykładniki i dodatnie współczynniki na wszystkich pozycjach: ${\ Displaystyle q (x)}$

${\ Displaystyle q (x) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {{\ tekst {Kt} }(n)}{16^{n}}}\,x^{2n}}$

A suma z tymi samymi bezwzględnymi wartościami współczynników, ale z naprzemiennymi znakami, generuje tę funkcję:

${\ Displaystyle q {\ bigl [} x (x ^ {} 2}+1)^{-1/2}{\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{n+1}{\text{Kt }}(n)}{16^{n}}}\,x^{2n}}$

Promień zbieżności tego szeregu Maclaurina wynosi 1. Tutaj ${\ Displaystyle {\ tekst {Kt}} (n)}$ (OEIS A005797) jest ciągiem wyłącznie liczb naturalnych ${\ displaystyle {\ text {Kt}} (n) \ in \ mathbb {N}}$ dla wszystkich liczb naturalnych ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ i ten ciąg liczb całkowitych nie jest elementarny. Ta sekwencja liczb ${\ Displaystyle {\ tekst {Kt}} (n)}$ został zbadany przez czeskiego matematyka i kompozytora szachów baśniowych Václava Kotěšovca, urodzonego w 1956 roku. Dodając kolejną sekwencję liczb całkowitych, która oznacza specjalnie zmodyfikowaną sekwencję Apéry ${\ Displaystyle {\ tekst {Ap}} (n$ } OEIS $) ,$ można wygenerować liczb Wartość początkowa sekwencji ${\ Displaystyle {\ tekst {Kt}} (n)}$ jest wartością ${\ Displaystyle {\ tekst {Kt}} (1) = 1}$ i następujące wartości tej sekwencji są generowane za pomocą tych dwóch wzorów, które są ważne dla wszystkich liczb ${\ Displaystyle n \ in \mathbb {N} }$ :

${\ Displaystyle {\ tekst {Kt}} ( n+1)={\frac {1}{n}}\suma _{m=1}^{n}m\,{\text{Kt}}(m)[16\,{\text{Ap} }(n+1-m)-{\text{Ap}}(n+2-m)]}$

${\ Displaystyle {\ tekst {Ap}} (n) = \ suma _ {a = 0} ^{n-1}{\binom {2a}{a}}^{2}{\binom {2n-2-2a}{n-1-a}}^{2}}$

Ta formuła również tworzy sekwencję Kotěšovec, ale tworzy tylko numery sekwencji parzystych indeksów:

${\ Displaystyle {\ tekst {Kt}} (2n) = {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {m = 1} ^ {2n-1} (-1) ^ {2n-m + 1} 16^{2n-m}{\binom {2n-1}{m-1}}{\text{Kt}}(m)}$

Sekwencja Apéry'ego $badana$ zwłaszcza przez matematyków Sun Zhi-Honga i Sekwencja ta generuje kwadrat całki eliptycznej zupełnej pierwszego rodzaju:

${\ Displaystyle 4 \ pi ^ {- 2} K (x) ^ {2} = 1 + \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {{\text{Ap}}(n+1)x^{2n}}{16^{n}}}}$

Pierwsze wartości liczbowe środkowych współczynników dwumianowych i dwóch opisanych sekwencji liczbowych wymieniono w poniższej tabeli:

Nr indeksu	Kwadrat centralnego współczynnika dwumianu ${\ Displaystyle {\ Frac {[(2n-2)!] ^ {2}}{[(n-1)!] ^ {4}}}}$	Numer kolejny Ap(n)	Numer kolejny Kt(n)
1	1	1	1
2	4	8	8
3	36	88	84
4	400	1088	992
5	4900	14296	12514
6	63504	195008	164688
7	853776	2728384	2232200
8	11778624	38879744	30920128
9	165636900	561787864	435506703
10	2363904400	8206324928	6215660600
11	34134779536	120929313088	89668182220
12	497634306624	1794924383744	1305109502496
13	7312459672336	26802975999424	19138260194422
14	108172480360000	402298219288064	282441672732656
15	1609341595560000	6064992788397568	4191287776164504
16	24061445010950400	91786654611673088	62496081197436736
17	361297635242552100	1393772628452578264	935823746406530603

$Kotěšovec$ zapisał sekwencję liczbową Internetowej Sekwencji Integer aż do siedemsetnej liczby

Tutaj obliczany jest jeden przykład sekwencji Kotěšovca:

${\ Displaystyle {\ kolor {niebieski} 1} \ razy {\ kolor {niebieski} 63504} + {\ kolor {niebieski}4}\razy {\kolor {niebieski}4900}+{\kolor {niebieski}36}\razy {\kolor {niebieski}400}+{\kolor {niebieski}400}\razy {\kolor {niebieski} }36}+{\kolor {niebieski}4900}\razy {\kolor {niebieski}4}+{\kolor {niebieski}63504}\razy {\kolor {niebieski}1}={\kolor {niebieski}195008} }$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {5}} \ razy {\ kolor {ForestGreen} 1} \ razy (16 \ razy {\ kolor {RoyalBlue} 14296} - {\ kolor {RoyalBlue} 195008}) + {\ tfrac {2}{5}}\times {\color {ForestGreen}8}\times (16\times {\color {RoyalBlue}1088}-{\color {RoyalBlue}14296})+{\tfrac {3}{ 5}}\times {\color {ForestGreen}84}\times (16\times {\color {RoyalBlue}88}-{\color {RoyalBlue}1088})+}$ ${\ Displaystyle + {\ tfrac {4} {5}} \ razy {\ kolor {ForestGreen} 992}\times (16\times {\color {RoyalBlue}8}-{\color {RoyalBlue}88})+{\tfrac {5}{5}}\times {\color {ForestGreen}12514}\times ( 16 \ razy {\ color {RoyalBlue} 1} - {\ color {RoyalBlue} 8}) = {\ color {ForestGreen} 164688}}$

Wartości funkcji

Dwie poniższe listy zawierają wiele wartości funkcji nome:

Pierwsza lista przedstawia pary wartości z wzajemnie uzupełniającymi się pitagorejskimi modułami:

${\ Displaystyle q ({\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2}}) = \ exp (- \ pi)}$

${\ Displaystyle q [{\ tfrac {1} {4}} ({\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}})] = \ exp ( -{\sqrt {3}}\,\pi )}$

${\ Displaystyle q [{\ tfrac {1} {4}} ({\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}})] = \ exp (- { \tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )}$

${\ Displaystyle q {\ bigl \ {} \ sin {\ bigl [} {\ tfrac {1} {2}} \ arcsin ({\ sqrt {5}} -2) {\ bigr ]} {\ bigr \} } = \ exp (- {\ sqrt {5}} \, \ pi)}$

${\ Displaystyle q { \bigl \{}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp( -{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5}}\,\pi )}$

${\ Displaystyle q [{\ tfrac {1} {8}} (3 {\ sqrt {2}} - {\ sqrt {14}})] = \ exp (- {\ sqrt {7}} \, \ pi)}$

${\ Displaystyle q [{\ tfrac {1} {8 }}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}})]=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi )}$

${\ Displaystyle q [{\ tfrac {1} {2}} ({\ sqrt {3}} -1) ({ \sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]=\exp(-3\pi )}$

${\ Displaystyle q [{\ tfrac {1} {2}} ({\ sqrt {3}} -1) ({\ sqrt {2}} + {\ sqrt [{4}] {3}}) ]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}\pi )}$

${\ Displaystyle q {\ bigl [} {\ tfrac {1} {16}}} {\ bigl (} {\ sqrt {22}} + 3 {\ sqrt {2}} {\ bigr)} {\ bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3 }}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1 {\bigr )}^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {11}}\,\pi )}$

${\ Displaystyle q {\ bigl [} {\ tfrac {1} {16}} {\ bigl (} {\ sqrt {22} }-3{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{ \sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\ tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}+1{\bigr )}^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{11}}{\sqrt { 11}}\,\pi )}$

${\ Displaystyle q {\ bigl \ {} \ sin {\ bigl [} {\ tfrac {1} {2}} \ arcsin (5 {\ sqrt {13}} -18){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {13}}\,\pi )}$

${\ Displaystyle q {\ bigl \ {} \ cos {\ bigl [}{\ tfrac {1} {2}} \ arcsin (5 {\ sqrt {13}} -18) {\ bigr ]} {\ bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{13}}{\sqrt {13}}\,\pi)}$

Druga lista przedstawia pary wartości z modułami wzajemnie uzupełniającymi się stycznie:

${\ Displaystyle q ({\ sqrt {2}} -1) = \ exp (- {\ sqrt {2}} \ \ pi)}$

${\ Displaystyle q [(2- {\ sqrt {3}}) ({\ sqrt {3}} - {\ sqrt {2}} )]=\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )}$

${\ Displaystyle q [(2- {\ sqrt {3}}) ({\ sqrt {3}} + {\ sqrt {2}} )]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}\,\pi )}$

${\ Displaystyle q [({\ sqrt {10}} -3) ({\ sqrt {2}} -1) ^ {2}] = \ exp (- {\ sqrt {10}} \, \ pi)}$

${\ Displaystyle q [({\ sqrt {10}} -3) ({\ sqrt {2}} + 1 )^{2}]=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {10}}\,\pi )}$

${\ Displaystyle q {\ bigl [} {\ tfrac {1} {16}} {\ sqrt {2 {\ sqrt {2}} - {\sqrt {7}}}}\,(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})({\sqrt {2{\sqrt {2}}+1}}-1)^ {4}{\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {14}}\,\pi )}$

${\ Displaystyle q {\ bigl [} {\ tfrac {1} {16}} {\ sqrt {2 {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {7 }}}}\,(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}})({\sqrt {2{\sqrt {2}}+1}}-1)^{4}{\ bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {14}}\,\pi )}$

${\ displaystyle q [(2- {\ sqrt {3}}) ^ {2} ({\ sqrt {2}} -1) ^ {3}] = \ exp (-3 {\ sqrt {2}} \ , \ pi )}$

${\ Displaystyle q [(2 + {\ sqrt {3}}) ^ {2} ({\sqrt {2}}-1)^{3}]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,\pi )}$

${\ Displaystyle q [(10-3 {\ sqrt {11}}) (3 {\ sqrt {11}} -7 {\ sqrt {2}})] = \exp(-{\sqrt {22}}\,\pi )}$

${\ Displaystyle q [(10-3 {\ sqrt {11}}) (3 {\ sqrt {11}} + 7 {\ sqrt {2}})] = \ exp (- {\ tfrac {1} {11} }} {\ sqrt {22}} \, \ pi )}$

${\ Displaystyle q {\ bigl \ {} ({\ sqrt {26}} + 5) ({\ sqrt {2}} -1) ^ {2 }\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3} }+{\sqrt {26}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {26}}}}+ {\tfrac {1}{6}}{\sqrt {26}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{4}{\bigr \} }=\exp(-{\sqrt {26}}\,\pi )}$

${\ Displaystyle q {\ bigl \ {} ({\ sqrt {26}} + 5) ({\ sqrt {2}} + 1) ^ {2} \ tan {\ bigl [} \ arctan ({\ tfrac { 1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {26}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3 }] {3{\sqrt {3}}-{\sqrt {26}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {26}}+{\tfrac {1}{2}} {\sqrt {2}})-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{13} }{\sqrt {26}}\,\pi )}$

Powiązane kwartety wartości pokazano poniżej:

${\ Displaystyle q {\ bigl \ langle} \ tan \ {{\ tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}]\}{\bigr \rangle }= \exp(-{\sqrt {30}}\,\pi )}$ ${\ Displaystyle q {\ bigl \ langle} \ tan \ {{{ \tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {30}}\,\pi )}$ ${\ Displaystyle q {\ bigl \ langle} \ tan \ {{{ \tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {30}}\,\pi )}$ ${\ Displaystyle q {\ bigl \ langle} \ tan \ {{{ \tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {30}}\,\pi )}$

${\ Displaystyle q {\ bigl \ langle} \ tan \ { {\tfrac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}-{\sqrt { 7}})^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\sqrt {42}}\,\pi )}$ ${\ Displaystyle q {\ bigl \ langle} \ tan \{{\tfrac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}+{\ sqrt {7}})^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {42}}\,\pi)}$ ${\ Displaystyle q {\ bigl \ langle} \ tan \{{\tfrac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}-{\ sqrt {7}})^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {42}}\,\pi)}$ ${\ Displaystyle q {\ bigl \ langle} \ tan \ {{\ tfrac {1} {2}} \ arctan [(2 {\ sqrt {7}} + 3 {\ sqrt {3}}) ^ {2} (2{\sqrt {2}}+{\sqrt {7}})^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{21}}{\sqrt { 42}}\,\pi )}$

${\ Displaystyle q {\ bigl \ langle} \ tan \ {{\ tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}-2)^{4}({\sqrt {2}}-1)^{6}]\}{\bigr \rangle }= \exp(-{\sqrt {70}}\,\pi )}$ ${\ Displaystyle q {\ bigl \ langle} \ tan \ {{{ \tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}-2)^{4}({\sqrt {2}}+1)^{6}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {70}}\,\pi )}$ ${\ Displaystyle q {\ bigl \ langle} \ tan \ {{{ \tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}+2)^{4}({\sqrt {2}}-1)^{6}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {70}}\,\pi )}$ ${\ Displaystyle q {\ bigl \ langle} \ tan \ {{{ \tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}+2)^{4}({\sqrt {2}}+1)^{6}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{35}}{\sqrt {70}}\,\pi)}$

Tożsamości

Twierdzenia o potęgowaniu

Każda potęga nomu dodatniej liczby algebraicznej jako podstawy i dodatniej liczby wymiernej jako wykładnika jest równa wartości nomu dodatniej liczby algebraicznej:

${\ Displaystyle q (x_ {1} \ in \ mathbb {A} ^ {+}) ^ {w \ in \ mathbb { Q^{+}} }=q(x_{2}\in \mathbb {A} ^{+})^{}}$

Oto najważniejsze przykłady ogólnego twierdzenia o potęgowaniu:

${\ Displaystyle q (x) ^ {2} = q [x ^ {2} (1 + {\ sqrt {1-x ^{2}}})^{-2}]}$

${\ Displaystyle q (x) ^ {3} = q \ {x ^ {3} \ nazwa operatora {sn} [{\ tfrac {1} {3}} K (x); x] ^ {4} \}}$

${\ Displaystyle q (x) ^ {5} = q \ {x ^ {5} \ nazwa operatora {sn} [{\ tfrac {1} {5}} K (x); x] ^ {4} \ nazwa operatora { sn} [{\tfrac {3}{5}}K(x);x]^{4}\}}$

${\ Displaystyle q (x) ^ {7} = q \ {x ^ {7} \ operatorname {sn} [{\ tfrac {1} {7}} K (x); x] ^ {4 }\nazwa_operatora {sn} [{\tfrac {3}{7}}K(x);x]^{4}\nazwa_operatora {sn} [{\tfrac {5}{7}}K(x);x ]^{4}\}}$

Skrót oznacza $.$ amplitudy funkcji eliptycznej Jacobiego

Dla wartości algebraicznych $przedstawione$$sinusoidalne$ przedziale amplitudy

To jest ogólne twierdzenie o potęgowaniu:

${\ Displaystyle q (x) ^ {2n + 1} = q {\ biggl \ {} x ^ {2n + 1} \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ operatorname {sn} { \bigl [}{\tfrac {2k-1}{2n+1}}K(x);x{\bigr ]}^{4}{\biggr \}}}$

Twierdzenie to jest ważne dla wszystkich liczb naturalnych n.

Twierdzenia o odbiciu

Jeśli dwie liczby dodatnie i $b}$$\ Displaystyle$ są pitagorejskimi przeciwieństwami, a zatem równanie jest ${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = 1 }$ jest poprawna, to jest poprawna ta relacja: ${\ Displaystyle \ ln ({\ tekst {q}} (a)) \ ln ({\ tekst {q}} (b)) = \ pi ^ {2}}$

Jeśli dwie liczby dodatnie $to$ są stycznymi przeciwieństwami względem siebie, równanie $1)=2}$${\ Displaystyle (c + 1) ($$+$ jest poprawna, to ta relacja jest poprawna: ${\ Displaystyle \ ln ({\ tekst {q}} (c)} \ ln ({\ tekst {q}} (d)) = 2 \ pi ^ {2}}$

Dlatego te reprezentacje mają ważność dla wszystkich liczb rzeczywistych x:

Pitagorejskie przeciwieństwa:

${\ Displaystyle \ ln {\ biggl \ langle} q {\ bigl \ {} \ sin {\ bigl [}{\ tfrac {1} {4}} \ pi - {\ tfrac {1} {2}} \ arctan (x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4 }}\pi +{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=\pi ^{2}}$

${\ Displaystyle \ ln {\ bigl \ {} q {\ bigl [} {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2 -2x(x^{2}+1)^{-1/2}}}{\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1 }{2}}{\sqrt {2+2x(x^{2}+1)^{-1/2}}}{\bigr ]}{\bigr \}}=\pi ^{2}}$

Styczne przeciwieństwa:

${\ Displaystyle \ ln {\ biggl \ langle} q {\ bigl \ {} \ tan {\ bigl [}{\ tfrac {1} {8}} \ pi - {\ tfrac {1} {4}} \ arctan (x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8 }}\pi +{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=2\pi ^{2}}$

${\ Displaystyle \ ln {\ bigl \ {} q {\ bigl [} {\ sqrt {({\ sqrt {x ^{2}+1}}+x)^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}+1}}-x{\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\ bigl \{}q{\bigl [}{\sqrt {({\sqrt {x^{2}+1}}-x)^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}+ 1}}+x{\bigr ]}{\bigr \}}=2\pi ^{2}}$

Sumy i produkty

Seria sum

Nom eliptyczny został zbadany przez Richarda Dedekinda i ta funkcja jest podstawą teorii funkcji eta i powiązanych z nimi funkcji. Nom eliptyczny jest punktem początkowym konstrukcji szeregu Lamberta . W funkcji theta Carla Gustava Jacobiego nom jako odcięta jest przypisany algebraicznym kombinacjom arytmetycznej średniej geometrycznej, a także zupełnej całce eliptycznej pierwszego rodzaju. Wiele nieskończonych szeregów można łatwo opisać za pomocą nomu eliptycznego:

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} q (x) ^ {\ Box (n)} = {\ tfrac {1} {2}} \ vartheta _{00}[q(x)]-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}} -{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {agm} (1-x;1+x)^{-1/2}-{\tfrac {1} {2}}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} q ( x)^{\Box (2n-1)}={\tfrac {1}{4}}\vartheta _{00}[q(x)]-{\tfrac {1}{4}}\vartheta _{ 01}[q(x)]={\tfrac {1}{4}}(1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}){\sqrt {2\pi ^{ -1}K(x)}}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1 } ^{\infty }{\frac {2q(x)^{n}}{q(x)^{2n}+1}}={\tfrac {1}{2}}\vartheta _{00}[ q(x)]^{2}-{\tfrac {1}{2}}=\pi ^{-1}K(x)-{\tfrac {1}{2}}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {2q (x) ^ {2n-1}} {q (x) ^ {4n-2}+1}}={\tfrac {1}{4}}\vartheta _{00}[q(x)]^{2}-{\tfrac {1}{4}}\vartheta _ {01}[q(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}(1-{\sqrt {1-x^{2}}})\pi ^{-1}K( x)}$

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ Pudełko (n) q (x)^{\Box (n)}=2^{-1/2}\pi ^{-5/2}K(x)^{3/2}[E(x)-(1-x^ {2})K(x)]}$

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ biggl [} {\ Frac {2q (x )^{n}}{1+q(x)^{2n}}}{\biggr ]}^{2}=2\pi ^{-2}E(x)K(x)-{\tfrac { 1}{2}}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\biggl [}{\frac {2q(x)^{n}}{1-q(x)^{2n}}}{\biggr ]}^{2}={\tfrac {2}{3} }\pi ^{-2}(2-x^{2})K(x)^{2}-2\pi ^{-2}K(x)E(x)+{\tfrac {1}{ 6}}}$

Czworokąt reprezentuje kwadratową liczbę indeksu n, ponieważ w tym sposobie zapisu dwójka w wykładniku wykładnika wydawałaby się mała. Więc ta formuła jest poprawna: ${\ Displaystyle \ Box (n) = n ^ {2}}$

Litera ${\ Displaystyle {\ tekst {E}} (\ varepsilon)}$ opisuje całkowitą całkę eliptyczną drugiego rodzaju, która jest ćwiartką obwodu elipsy w stosunku do większej połowy osi elipsy z ekscentryczność liczbowa jako wartość $odciętych$

Seria produktów

Dwie najważniejsze funkcje theta można zdefiniować za pomocą następujących serii produktów:

${\ Displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} [1-q (x) ^ {2n}] [1 + q (x) ^ {2n-1}] ^ {2} = \ vartheta _ {00}[q(x)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}$

${\ Displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} [1-q (x) ^ {2n}] [1-q (x) ^ {2n-1}] ^{2}=\vartheta_{01}[q(x)]={\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K( X)}}}$

Ponadto te dwa produkty Pochhammer mają te dwie relacje:

${\ Displaystyle q (\ varepsilon) [q (\ varepsilon); q (\ varepsilon)] _ {\ infty }^{24}=256\,\varepsilon ^{2}(1-\varepsilon ^{2})^{4}\pi ^{-{12}}K(\varepsilon )^{12}}$

${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {2} [q (\ varepsilon); q (\ varepsilon) ^ {2}] _ {\ infty }^{24}=16\,(1-\varepsilon ^{2})^{2}q(\varepsilon )}$

Produkty Pochhammera odgrywają ważną rolę w twierdzeniu o liczbach pięciokątnych i jego wyprowadzeniu.

Stosunek do innych funkcji

Całki eliptyczne kompletne

Funkcję nome można wykorzystać do zdefiniowania całkowitych całek eliptycznych pierwszego i drugiego rodzaju:

${\ Displaystyle K (\ varepsilon) = {\ tfrac {1} {2}} \ pi \, \ vartheta _ {00} [q (\ varepsilon )]^{2}}$

${\ Displaystyle E (\ varepsilon) = 2 \ pi q (\ varepsilon) \, \ vartheta _ {00} „[q ( \varepsilon )]\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{-3}+{\tfrac {1}{2}}\pi (1-\varepsilon ^{2})\,\vartheta _ {00}[q(\varepsilon )]^{2}}$

W tym przypadku myślnik w miejscu wykładnika oznacza pochodną tzw. funkcji zero teta:

${\ Displaystyle \ vartheta _ {00} '(x) ={\frac {\mathrm {d}}}{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{00}(x)=2+\sum _{n=1}^{\infty}2(n +1)^{2}x^{n(n+2)}}$

Definicje funkcji Jacobiego

Funkcje eliptyczne Zeta Amplitudinis i Delta Amplitudinis można łatwo zdefiniować za pomocą eliptycznej funkcji nomu:

${\ Displaystyle {\ tekst {zn}} (x; k) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2\pi K(k)^{-1}\sin[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {dn} (x; k) = {\ sqrt [{4}] {1-k ^ {2}}} \ prod _ {n = 1} ^ { \infty}{\frac {1+2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}{1 -2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}}$

${\ Displaystyle {\ tekst {sn}} (x; k) = 2 {\ sqrt [{4}] {k ^ {- 2} q (k)}} \,\sin[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}x]\prod _{n=1}^{\infty}}{\frac {1-2q(k )^{2n}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n}}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[\pi K (k)^{-1}x]+q(k)^{4n-2}}}}$

Te trzy wzory są ważne dla wszystkich wartości k od -1 do +1.

Następnie możliwe jest następujące kolejne definiowanie innych funkcji Jacobiego:

${\ Displaystyle {\ tekst {sn}} (x; k) = {\ Frac {2 \ {{\ tekst {zn}} ({\ tfrac {1} {2}} x; k) + {\text{zn}}[K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}}{k^{2}+\{{\text{zn}}({\tfrac {1}{2}}x;k)+{\text{zn}}[K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}^{2}}}}$

${\ Displaystyle {\ tekst {cn}} (x; k) = {\ tekst {sn}} [K (k) -x; k] \, {\ tekst {dn}} (x; k)}$

Definicja iloczynu sinusa amplitudy została zapisana w eseju π i AGM przez braci Borwein na stronie 60, a wzór ten jest oparty na definicji funkcji theta Whittakera i Watsona.

Tożsamości funkcji Jacobiego Amplitudy

W połączeniu z funkcjami theta nom podaje wartości wielu wartości funkcji amplitudy Jacobiego:

${\ Displaystyle {\ tekst {sc}} [{\ tfrac {2} {3}} K (k );k]={\frac {{\sqrt {3}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{6}]}{{\sqrt {1-k^{2}}}\ ,\vartheta _{01}[q(k)^{2}]}}}$

${\ Displaystyle {\ tekst {sn}} [{\ tfrac {1} {3}} K ( k);k]={\frac {2\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2} +\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}={\frac {3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}-\vartheta _{ 01}[q(k)]^{2}}{3\vartheta_{01}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta_{01}[q(k)]^{ 2}}}}$

${\ Displaystyle {\ tekst {cn}} [{\ tfrac {2} {3}} K(k);k]={\frac {3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}-\vartheta _{00}[q(k)]^{2} }{3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}={\frac {2\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}{3\vartheta_{01}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta_{01}[q(k)] ^{2}}}}$

${\ Displaystyle {\ tekst {sn}} [{\ tfrac {1} {5}} K (k); k] = {\ biggl \ {} {\ Frac {{\ sqrt {5} }}\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{01}[q(k)]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{} {\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta_{01}[q(k)^{2}]^{2}}}- 1 {\biggr \}}^{-1}}$

${\ Displaystyle {\ tekst {sn}} [{\ tfrac {3} {5}} K (k); k] = {\ biggl \ {} {\ Frac {{\ sqrt {5}} \, \ vartheta _{01}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{01}[q(k)]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\ vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \} }^{-1}}$

${\ Displaystyle {\ tekst {cn}} [{\ tfrac {2} {5}} K (k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{00} [q(k)]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\ vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}}$

${\ Displaystyle {\ tekst {cn}} [{\ tfrac {4} {5}} K (k); k] = {\ biggl \ {} {\ Frac {{\ sqrt {5}} \ ,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta_{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta_{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\ biggr \}}^{-1}}$

Skrót sc opisuje iloraz sinusa amplitudy podzielonego przez cosinus amplitudy.

Równania kwintyczne

Formuła rozwiązania z nomem

Zgodnie z twierdzeniem Abela-Ruffiniego ogólny przypadek równań piątego stopnia nie może być rozwiązany za pomocą elementarnych wyrażeń pierwiastkowych. Ale za pomocą kombinacji nomu, funkcji theta i dwóch ułamków ciągłych Rogersa-Ramanujana R i S można rozwiązać wszystkie równania kwintyczne z rzeczywistymi współczynnikami. Dla następującego wielomianu kwintycznego w postaci normalnej Bring-Jerrarda rozwiązanie rzeczywiste ze wspomnianymi funkcjami eliptycznymi przedstawia się następująco:

${\ Displaystyle x ^ {5} + x = w}$

Prawdziwe rozwiązanie dla wszystkich rzeczywistych wartości można wypracować w ten sposób: ${\ displaystyle w \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle x = {\ Frac {S {\ bigl \ langle} q \ {{\ tekst {ctlh}} [{\ tfrac {1} {2} }}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^ {2}-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}} {\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh }}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{ 2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times }$

${\ Displaystyle \ razy {\ Frac {1-R {\ bigl \ langle} q \ {{\ tekst {ctlh}} [{\ tfrac {1} {2}} {\ text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\ ,S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt [{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac { 1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2 }{\bigr \rangle }^{2}}}\razy}$

${\ Displaystyle \ razy {\ Frac {\ vartheta _ {00} {\ bigl \ langle} q \ {{\ tekst {ctlh}} [{\ tfrac {1} {2}} {\ tekst {aclh}} ( {\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00 }{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[ {4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5 }}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\,{\text{sl} }[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5} }\,w)]\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({ \tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{3}}}}$

Jeśli współczynnik w jest rzeczywisty, to istnieje tylko jedno rzeczywiste rozwiązanie przedstawionego powyżej równania Bring-Jerrarda, a to rozwiązanie jest właśnie wspomnianym rozwiązaniem. Wszystkie regularne równania kwintyczne można przekształcić w postać Bring-Jerrarda, rozwiązując równania sześcienne. W formie Bring-Jerrarda obecne są tylko terminy kwintyczne, liniowe i bezwzględne, ale terminy kwartalne, sześcienne i kwadratowe nie są zawarte w tej formie. Następujące tożsamości definiujące są teraz ważne dla zastosowanych funkcji eliptycznych. matematyk Charles Hermite ustalił wartość modułu eliptycznego k w stosunku do współczynnika wyrazu bezwzględnego Formy Bring-Jerrarda. W swoim eseju Sur la résolution de l'Équation du cinquiéme degré Comptes rendus opisał metodę obliczania modułu eliptycznego w odniesieniu do wyrażenia bezwzględnego. Włoska wersja jego eseju Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado zawiera wzór na stronie 258, który można rozwiązać bezpośrednio dla modułu eliptycznego:

${\ Displaystyle k = {\ bigl [} 2 ({\ tfrac {5} {4}}} {\ sqrt [{4}] {5}} w) ^ {2} + 2 + 2 {\ sqrt {({ \tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)^{4}+1}}{\bigr ]}^{-1/2}{\bigl [}{\ sqrt {{\sqrt {({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w)^{4}+1}}+1}}+({\tfrac {5 }{4}}{\sqrt[{4}]{5}}w){\bigr ]}}$

Tę samą wartość k można jeszcze łatwiej wyrazić, biorąc hiperboliczne funkcje lemniskatowe:

${\ Displaystyle k = {\ tekst {ctlh}} [{\ tfrac {1} {2}} {\ tekst {aclh}} ({\ tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}}$

Te hiperboliczne funkcje lemniskatowe wyjaśniono w następnej sekcji.

Ważne definicje funkcji

Funkcje lemniskaty i hiperboliczne funkcje lemniskaty mają następujące definicje:

${\ Displaystyle \ operatorname {sl} (\ varphi) = \ tan {\ biggl \ langle} 2 \ arctan {\ biggl \ {} {\ Frac {4} {G}} \ sin \left({\frac {\varphi}{G}}\right)\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[ (2k-1)\pi ]^{2}-\cos(\varphi /G)^{2}}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}$

${\ Displaystyle \ operatorname {cl} (\ varphi) = \ tan {\ biggl \ langle} 2 \ arctan {\ biggl \ {}{\ Frac {4} {G}} \ cos \ lewo ({\ frac {\ varphi }{G}}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ] ^{2}-\sin(\varphi /G)^{2}}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}$

${\ Displaystyle [{\ tekst {sl}} (\ varphi) ^ {2} + 1 [ {\ tekst {cl}} (\ varphi) ^ {2} +1] = 2}$

${\ Displaystyle {\ text {ctlh}} (\ varho) = \ operatorname {cl} ({\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2}} \ varho) {\ biggl [} {\ frac { \operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\varho )^{2}+1}{\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}} {\sqrt {2}}\varho )^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\varho )^{2}}}{\biggr ]}^{1/2}}$

${\ Displaystyle {\ tekst {ctlh}} (\ varho) = {\ Frac {{\ tekst {cd}} (\ varrho; {\ tfrac {1} {2}}} {\ sqrt {2 }})}{\sqrt[{4}]{{\text{cd}}(\varrho ;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+{\text {sn}}(\varrho ;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {aclh} (s) = {\ tfrac {1} {2}} F [2 \ nazwa operatora {arccot} (s); {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2} }]}$

${\ Displaystyle {\ tekst {aclh}} (s) = {\ Frac {1} {2}}} \sqrt {2}}\,\pi \,G-\int _{0}^{1}{\frac {s}{\sqrt {s^{4}t^{4}+1}}}\ ,\mathrm {d} t}$

Litera G reprezentuje stałą Gaussa , którą można wyrazić za pomocą funkcji gamma w pokazany sposób.

${\ Displaystyle G = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2 \ pi}} \, \ Gamma ({\ tfrac {3} {4} }})^{-2}}$

Kwadrat hiperbolicznego cotangensa lemniskaty z połowy hiperbolicznego obszaru cosinusa lemniskaty ma tę tożsamość algebraiczną:

${\ Displaystyle {\ tekst {ctlh}} {\ bigl [} {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {aclh} (s) {\ bigr ]} ^ {2} = (2 s ^ {2} + 2+2{\sqrt {s^{4}+1}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {s^{4}+1}}+1}}+s)}$

I dla następującej kombinacji Lemniscate sine und Areacosinus Lemniscatus Hyperbolicus i Hyperbolic lemniscate area cosinus ta algebraiczna tożsamość jest poprawna:

$\ Displaystyle {\ tekst {sl}} {\ bigl [} {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt { 2}}\,\mathrm {aclh} (s){\bigr ]}={\sqrt {{\sqrt {s^{4}+1}}-s^{2}}}}$

Pokazane ułamki ciągłe Rogersa-Ramanujana R i S mają następujące definicje:

Funkcja theta i ułamki ciągłe

Nazwy funkcji	Główna funkcja theta	Funkcja Rogersa-Ramanujana-R	Funkcja Rogersa-Ramanujana-S
Definicje	${\ Displaystyle \ vartheta _ {00} (y) = 1 + 2 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} y ^ {\Box (n)}}$	${\ Displaystyle R (y) = y ^ {1/5}{\frac {(y;y^{5})_{\infty}(y^{4};y^{5})_{\infty}}{(y^{2}; y^{5})_{\infty}(y^{3};y^{5})_{\infty}}}}$	${\ Displaystyle S (y) = {\ Frac {R (y ^ {4})} {R (y ^ {2}) R (y)}}}$

Dalsze identyczne definicje funkcji Rogersa-Ramanujana:

${\ Displaystyle R (y) = \ tan {\ biggl \ {} {\ Frac {1} {2}} \ arctan {\ biggl [} {\ Frac { 1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(y)^{2}}{2\vartheta _{01}(y^{5})^{2}}}{\biggr ] }{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2} }-{\frac {\vartheta _{01}(y)^{2}}{2\vartheta _{01}(y^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \ }}^{2/5}}$

${\ Displaystyle S (y) = \ tan {\ biggl \ {}{\ Frac {1} {2}} \ arctan {\ biggl [} {\ Frac {\ vartheta _ {00} (y) ^ {2} }{2\vartheta _{00}(y^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5} \cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(y)^{2}}{2\vartheta _{00}(y^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

${\ Displaystyle R (y) = \ tan {\ biggl \ langle}} {\ Frac {1} {2}} \ operatorname {arccot} {\ biggl \ {} {\ Frac {\ vartheta _ {01} (y ^ {1/5})[5\,\vartheta _{01}(y^{5})^{2}-\vartheta _{01}(y)^{2}]}{2\,\vartheta _ {01}(y^{5})[\vartheta_{01}(y)^{2}-\vartheta_{01}(y^{1/5})^{2}]}}+{\ frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}$

${\ Displaystyle S (y) = \ tan {\ biggl \ langle} {\ Frac {1} {2}} \ operatorname {arccot} {\ biggl \ {} {\ Frac {\ vartheta _ {00} (y ^ {1/5})[5\,\vartheta _{00}(y^{5})^{2}-\vartheta _{00}(y)^{2}]}{2\,\vartheta _ {00}(y^{5})[\vartheta_{00}(y^{1/5})^{2}-\vartheta_{00}(y)^{2}]}}-{\ frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}$

${\ Displaystyle \ vartheta _ {01} (y) = 1 + 2 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ {n} y ^ {\ Box (n)}}$

Podwójny nawias w dwóch wpisach ponownie opisuje symbol Nome Pochhammer :

${\ Displaystyle (a; b) _ {\ infty} = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} (1-a \ ,b^{n})}$

Przykład obliczenia

Na przykład:

${\ Displaystyle x ^ {5} + x = 3}$

To równanie ma rozwiązanie rzeczywiste:

${\ Displaystyle x = {\ Frac {S {\ bigl \ langle} q \ {{\ tekst {ctlh}} [{\ tfrac {1} {2}} { \text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{ \bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4 }]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1} {2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{ 2}}}\razy }$

${\ Displaystyle \ razy {\ Frac {1-R {\ bigl \ langle} q \ {{\ tekst {ctlh}} [{\ tfrac {1} {2}} {\ tekst {aclh}} ( {\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q \{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}} )]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh} }({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times }$

${\ Displaystyle \ razy {\ Frac {\ vartheta _ {00} {\ bigl \ langle} q \ {{\ tekst {ctlh}} [{\ tfrac {1} {2}} {\ tekst {aclh}} ( {\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\ bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4} ]{5}})]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\ text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{ 2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\,{\text{sl}}[{\tfrac {1}{ 2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]\,\vartheta _{ 00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt [{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{3}}}}$

Przybliżone wartości:

${\ Displaystyle Q \ {{\ tekst {ctlh}} [{\ tfrac {1} {2}} {\ tekst {aclh}} ({\ tfrac {15} {4}} {\ sqrt [{4} ]{5}})]^{2}\}\około 0{.}452374059450344348576600264284387826377845763909}$

${\ Displaystyle {\ tekst {sl}} [{\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2}} \ {\ tekst {aclh}} ({\ tfrac {15} {4}}} \sqrt[{4}]{5}})]\około 0{.}126082946860369509596498026222809108241243860815}$

${\ Displaystyle x \ około 1 {.} 132997565885065266721141634288532379816526027727}$

Historyczne pochodzenie rozwiązania kwintycznego

Formuła ta jest oparta na tożsamości parametru znalezionej przez Johna Stuarta Glashana, George'a Paxtona Younga i Carla Runge'a w drugiej połowie XIX wieku, którą można opisać za pomocą następującej trójki równań:

${\ Displaystyle x ^ {5} + x = w}$

${\ Displaystyle x = {\ Frac {2} {5}} y ^ {-1/4} {\ sqrt [{4}] {10 + 15y-10y ^ {2}}} \ cosh \ left\{{\frac {1}{5}}{\text{arcosh}}\left[{\frac {5{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(1+2y){\ sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}\prawa]\prawa\}-}$

${\ Displaystyle - {\ Frac {2} {5}} r ^ {-1/4} {\ sqrt [{4}] {10 + 15y-10y ^ {2}}}\sinh \left\{{\frac {1}{5}}{\text{arsinh}}\left[{\frac {5y{\sqrt {5+5y^{2}}}} {(2-y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}\prawo]\prawo\}}$

Odpowiedni klucz eliptyczny:

${\ Displaystyle y = {\ Frac {5 \, \ vartheta _ {00} {\ bigl \ langle} q {\ bigl \ {} {\ tekst {ctlh}} {\ bigl [} {\ tfrac {1} 2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w){\bigr ]}^{2}{\bigr \ }}^{5}{\bigr \rangle }^{2}}{2\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q{\bigl \{}{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w){\bigr ] }^{2}{\bigr \}}{\bigr \rangle }^{2}}}-{\frac {1}{2}}}$

Pierwsza pochodna funkcji theta

Wyprowadzenie pochodnej

Pierwszą pochodną głównej funkcji theta spośród funkcji theta Jacobiego można wyprowadzić w następujący sposób, stosując regułę łańcuchową i wzór wyprowadzenia nomu eliptycznego:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ pi ^ {2}} {2 \ varepsilon (1- \ varepsilon ^ {2}) K (\ varepsilon) ^ {2}}} \, q (\ varepsilon) \, {\ biggl \{}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon){\bigr ]}{\biggr \}}={\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,q(\varepsilon ){\biggr ]}{\biggl \ {}{\frac {\mathrm {d}}}{\mathrm {d} \,q(\varepsilon)}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon){\bigr]} {\biggr \}}={\frac {\mathrm {d}}}{\mathrm {d} \varepsilon}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon){\bigr]} ={\frac {\mathrm {d}}}{\mathrm {d} \varepsilon }}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon)}}=}$

${\ Displaystyle = {\ Frac {1} {2}} {\ sqrt {2}} \ \ pi ^ {- 1/2} \, K (\ varepsilon) ^ {- 1/2}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d}}}{\mathrm {d} \varepsilon }}\,K(\varepsilon ){\biggr ]}={\frac {1}{2 }}{\sqrt {2}}\,\pi ^{-1/2}\,K(\varepsilon )^{-1/2}\,{\frac {E(\varepsilon )-(1-\ varepsilon ^{2})K(\varepsilon )}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}}$

Ponieważ obowiązuje wspomniana teraz modułowa tożsamość funkcji theta i całki eliptycznej pierwszego rodzaju:

${\ Displaystyle \ vartheta _ {00} [q (\ varepsilon)] = {\ sqrt {2 \ pi ^ {- 1} K (\ varepsilon )}}}$

Dlatego to równanie wynika:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \, q (\ varepsilon)}} \, \ vartheta _ {00} {\ bigl [} q (\ varepsilon) {\ bigr ] }={\sqrt {2}}\,\pi ^{-5/2}\,q(\varepsilon )^{-1}\,K(\varepsilon)^{3/2}{\bigl [} E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}}$

Pełne całki eliptyczne drugiego rodzaju mają tę tożsamość:

${\ Displaystyle (1 + {\ sqrt {1-\ varepsilon ^{2}}})\,E\left({\frac {1-{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}{1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2} }}}}\right)=E(\varepsilon )+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,K(\varepsilon )}$

Wraz z tą modułową tożsamością można dokonać następującej transformacji formuły:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}}} {\ operatorname {d} \, Q (\ varepsilon)}} \, \ vartheta _ {00 }{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\sqrt {2}}\,\pi ^{-5/2}\,q(\varepsilon )^{-1}\,K (\varepsilon )^{3/2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\left[E\left({\frac {1-{\sqrt {1-\varepsilon ^ {2}}}}{1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}\right)-{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,K(\varepsilon ) \Prawidłowy]}$

Ponadto ta tożsamość jest ważna:

${\ Displaystyle \ vartheta _ {01} [q (\ varepsilon)] = {\ sqrt [{4}] {1- \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}}$

Za pomocą wyrażeń funkcji theta ϑ ₀₀ (x) i ϑ ₀₁ (x) możliwa jest następująca reprezentacja:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \, Q (\ varepsilon)}} \, \ vartheta _ {00} {\ bigl [} q (\ varepsilon) {\ bigr ]}={\frac {1}{2\pi}}\,q(\varepsilon )^{-1}\vartheta _{00}[q(\varepsilon)]{\bigl \{}\vartheta _ {00}[q(\varepsilon )]^{2}+\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}{\bigr \}}{\biggl \langle }E{\biggl \{ }{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}-\vartheta _{01}[q(\vartheta )]^{2}}{\vartheta _{00}[q (\varepsilon )]^{2}+\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}{\biggr \}}-{\frac {\pi }{2}}\,\ vartheta _{01}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\biggr \rangle }}$

Oto ostateczny wynik:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}} \, \ vartheta _ {00} (x)=\vartheta _{00}(x){\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}{\bigr ]} {\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}( x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _ {01}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}}$

Powiązane pierwsze pochodne

W podobny sposób można wyprowadzić inne pierwsze pochodne funkcji theta i ich kombinacje:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}} \, \ vartheta _ {01} (x)=\vartheta _{01}(x){\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}{\bigr ]} {\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}( x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _ {00}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}}\,\vartheta _{10}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\vartheta _{10}(x)\vartheta _{00}(x)^ {2}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{10}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}}}{\biggr ]}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\mathrm {d} x}}\,{\frac {\vartheta _{00}(x)}{\vartheta _{01}(x)}}={\frac {\vartheta _{00}(x )^{5}-\vartheta _{00}(x)\vartheta _{01}(x)^{4}}{4x\,\vartheta _{01}(x)}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}}} {\ operatorname {d} } x}}\,{\frac {\vartheta _{10}(x)}{\vartheta _{00}(x)}}={\frac {\vartheta _{10}(x)\vartheta _{ 01}(x)^{4}}{4x\,\vartheta _{00}(x)}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}} \, {\frac {\vartheta_{10}(x)}{\vartheta_{01}(x)}}={\frac {\vartheta_{10}(x)\vartheta_{00}(x)^ {4}}{4x\,\vartheta_{01}(x)}}}$

Ważna definicja:

${\ Displaystyle \ vartheta _ {10} (x) = 2x ^ {1/4} + 2x ^{1/4}\sum _{n=1}^{\infty}x^{2\bigtriangleup (n)}}$

${\ Displaystyle \ bigtriangleup (n) = {\ tfrac {1} {2}} n (n + 1)}$

•     Milton Abramowitz i Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions (1964) Dover Publications, Nowy Jork. OCLC 1097832 . Patrz sekcje 16.27.4 i 17.3.17. Wydanie z 1972 r.: ISBN 0-486-61272-4
•   Tom M. Apostol , Funkcje modułowe i serie Dirichleta w teorii liczb , wydanie drugie (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
• Folkmar Bornemann, Dirk Laurie, Stan Wagon i Jörg Waldvogel, Vom Lösen numerischer Probleme , strona 275
• Edmund Taylor Whittaker i George Neville Watson : Kurs nowoczesnej analizy, wyd. 4. Cambridge, Anglia: Cambridge University Press, 1990. strona 469–470.
• Toshio Fukushima: Szybkie obliczanie kompletnych całek eliptycznych i jakobianowych funkcji eliptycznych . 2012, Narodowe Obserwatorium Astronomiczne Japonii (国立天文台)
• Lowan, Blanch i Horenstein: O odwróceniu serii q związanej z jakobianowymi funkcjami eliptycznymi . Byk. Amer. Matematyka soc. 48, 1942
• H. Ferguson, DE Nielsen, G. Cook: Formuła podziału dla współczynników całkowitych nomu funkcji theta . Matematyka obliczeń, tom 29, numer 131, lipiec 1975
• JD Fenton i RS Gardiner-Garden: Szybko zbieżne metody oceny całek eliptycznych oraz funkcji theta i eliptycznych . J. Austral. Matematyka soc. (Seria B) 24, 1982, strona 57
• Charles Hermite: Sur la résolution de l'Équation du cinquiéme degré Comptes rendus . Acad. nauka Paryż, nr. 11, 1858
• Nikolaos Bagis: O rozwiązaniu kwintyki ogólnej z wykorzystaniem ułamka ciągłego Rogersa-Ramanujana . Pella, Makedonien, Griechenland, 2015
• Nikolaos Bagis: Rozwiązanie równań wielomianowych z zagnieżdżonymi pierwiastkami . Pella, Makedonien, Griechenland, 2020
• Viktor Prasolov (Прасолов) und Yuri Solovyev (Соловьёв): Funkcje eliptyczne i całki eliptyczne . Tom 170, Rhode Island, 1991. strony 149 – 159
• Sun Zhi-Hong: Nowe kongruencje obejmujące liczby podobne do Apery . Huaiyin Normal University, Huaian (淮安), Chiny, 2020. strona 2
• Robert Fricke: Elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Dritter Teil . Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2012. ISBN 978-3-642-20953-6 , ISBN 978-3-642-20954-3 (eBook)
• Adolf Kneser: Neue Untersuchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen . J. Reine u. Angew. Matematyka 157, 1927. strony 209 – 218
• GP Young: Rozwiązanie rozwiązywalnych, nieredukowalnych równań Quintic, bez pomocy Resolvent Sextic . W: Amer. J. Matematyka. Zespół 7, strony 170–177, 1885.
• C. Runge: Über die auflösbaren Gleichungen von der Form x 5 + ux + v = 0 {\ Displaystyle x ^ {5} + ux + v = 0} x ^ {5} + ux + v = 0 . W: Acta Math. Zespół 7, strony 173–186, 1885, doi: 10.1007/BF02402200.
• Edward Neuman: Dwustronne nierówności dla funkcji lemniskatowych. Tom 1, Southern Illinois University Carbondale , USA, 2014.
• Ji-en Deng und Chao-ping Chen: Ostre nierówności typu Shafera-Finka dla funkcji lemniskatowych Gaussa. Universität Henan (河南大学), Chiny, 2014.
• Jun-Ling Sun i Chao-ping Chen: Nierówności typu Shafera dla odwrotnych funkcji trygonometrycznych i funkcji lemniskatowych Gaussa. Universität Henan, Chiny, 2016.
• Minjie Wei, Yue He i Gendi Wang: Nierówności typu Shafera-Finka dla funkcji arc lemniskata . Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou, Chiny, 2019