Średnia arytmetyczno-geometryczna

Ten artykuł dotyczy konkretnego rodzaju średniej. Aby zapoznać się z podobnie nazwaną nierównością, zobacz Nierówność średnich arytmetycznych i geometrycznych .

$_$ arytmetyczno - wzdłuż kilku

W matematyce średnia arytmetyczno -geometryczna dwóch dodatnich liczb rzeczywistych x i y jest wzajemną granicą ciągu średnich arytmetycznych i ciągu średnich geometrycznych :

Rozpocznij sekwencje od x i y :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} a_ {0} & = x, \\ g_ {0} i = y. \ koniec {wyrównane}}}$$

Następnie zdefiniuj dwie współzależne sekwencje ( a _n ) i ( g _n ) jako

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} a_ {n + 1} & = {\ tfrac {1} {2}} (a_ {n} + g_ {n}), \\ g_ {n + 1} i = { \sqrt {a_{n}g_{n}}}\,.\end{wyrównane}}}$$

Te dwie sekwencje zbiegają się do tej samej liczby, średniej arytmetyczno-geometrycznej x i y ; jest oznaczony przez M ( x , y ) lub czasami przez agm( x , y ) lub AGM( x , y ) .

Średnia arytmetyczno-geometryczna jest używana w szybkich algorytmach dla funkcji wykładniczych i trygonometrycznych , a także niektórych stałych matematycznych , w szczególności obliczania π .

Średnią arytmetyczno-geometryczną można rozszerzyć na liczby zespolone , a gdy gałęzie pierwiastka kwadratowego można przyjmować niekonsekwentnie, jest to na ogół funkcja wielowartościowa .

Przykład

Aby znaleźć średnią arytmetyczno-geometryczną ₀ a = 24 i ₀ g = 6 , wykonaj następującą iterację:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt {24\cdot 6}} &=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12} }&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{tablica}}}$$

Pierwsze pięć iteracji daje następujące wartości:

N	rz _	g n
0	24	6
1	1 5	1 2
2	13.5 _	13 .416 407 864 998 738 178 455 042...
3	13.458 203 932 499 369 089 227 521...	13.458 139 030 990 984 877 207 090...
4	13.458 171 481 7 45 176 983 217 305...	13.458 171 481 7 06 053 858 316 334...
5	13.458 171 481 725 615 420 766 8 20...	13.458 171 481 725 615 420 766 8 06...

Liczba cyfr, w których n _, i g _{n są zgodne (podkreślone)} w przybliżeniu podwaja się z każdą iteracją. Średnia arytmetyczno-geometryczna 24 i 6 jest wspólną granicą tych dwóch ciągów, która wynosi około 13,458 171 481 725 615 420 766 813 156 974 399 243 053 838 8544 .

Historia

Pierwszy algorytm oparty na tej parze sekwencji pojawił się w pracach Lagrange'a . Jego właściwości były dalej analizowane przez Gaussa .

Nieruchomości

Średnia geometryczna dwóch liczb dodatnich nigdy nie jest większa niż średnia arytmetyczna (patrz nierówność średnich arytmetycznych i geometrycznych ). W konsekwencji, dla n > 0 , ( g _n ) jest ciągiem rosnącym, ( a _n ) jest ciągiem malejącym, a g _n ≤ M ( x , y ) ≤ a _n . Są to ścisłe nierówności, jeśli x ≠ y .

M ( x , y ) jest zatem liczbą między średnią geometryczną a arytmetyczną x i y ; jest również między x i y .

Jeśli r ≥ 0 , to M ( rx , ry ) = r M ( x , y ) .

Istnieje wyrażenie w postaci całkowej dla M ( x , y ) :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} M (x, y) i = {\ Frac {\ pi} {2}} \ lewo (\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta}}{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2} \sin ^{2}\theta }}}\right)^{-1}\\&=\pi \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {t (t+x^{2})(t+y^{2})}}}\right)^{-1}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac { x+y}{K\left({\frac {xy}{x+y}}\right)}}\end{wyrównane}}}$$

gdzie K ( k ) jest całką eliptyczną zupełną pierwszego rodzaju :

$${\ Displaystyle K (k) = \ int _ {0} ^ {\ Frac {\ pi} {2}} {\ Frac { d\theta}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta)}}}}$$

Rzeczywiście, ponieważ proces arytmetyczno-geometryczny zbiega się tak szybko, zapewnia skuteczny sposób obliczania całek eliptycznych za pomocą tego wzoru. W inżynierii jest używany na przykład w filtrów eliptycznych .

Średnia arytmetyczno-geometryczna jest połączona z funkcją theta Jacobiego przez ${\ displaystyle \ theta _ {3}}$

$${\ Displaystyle M (1, x) = \ teta _ {3} ^ {- 2} \ lewo (\ exp \ lewo (- \ pi { \frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)=\left(\suma _{n \in \mathbb {Z} }\exp \left(-n^{2}\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2} }}\prawo)}}\prawo)\prawo)^{-2},}$$

co po ustawieniu daje ${\ Displaystyle x = 1/ {\ sqrt {2}}}$

$${\ Displaystyle M (1,1/{\ sqrt {2}}) = \ lewo (\ suma _ {n \ w \ mathbb {Z}} e ^ {-n ^ {2} \ pi} \ prawo) ^ {-2}.}$$

Pojęcia pokrewne

Odwrotność średniej arytmetyczno-geometrycznej 1 i pierwiastka kwadratowego z 2 nazywana jest stałą Gaussa , na cześć Carla Friedricha Gaussa .

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {M (1, {\ sqrt {2}})}} = G = 0,8346268 \ kropki}$$

Gauss udowodnił to w 1799 roku

$${\ Displaystyle M (1, {\ sqrt {2}}) = {\ Frac {\ pi} {\ varpi}}}$$

gdzie jest stałą lemniskatą . ϖ $\ displaystyle \ varpi}$

$a$$.$ . Theodor Schneider udowodnił transcendentalność a więc Zbiór ${\ Displaystyle \ {\ pi, M (1,1 / {\ sqrt {2}}) \}}$ jest algebraicznie niezależny od ${\ Displaystyle \ mathbb { Q} }$ , ale zbiór ${\ Displaystyle \ {\ pi, M (1,1 / {\ sqrt {2}} ), M '(1,1/{\ sqrt {2}}) \}}$ (gdzie liczba pierwsza oznacza pochodną względem drugiej zmiennej) nie jest algebraicznie niezależna od ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ . W rzeczywistości,

$${\ Displaystyle \ pi = 2 {\ sqrt {2}} {\ Frac {M ^ {3} (1,1 / {\ sqrt {2}})} {M '(1,1 / {\ sqrt {2} }})}}.}$$

geometryczno -harmoniczną można obliczyć analogiczną metodą, stosując ciągi średnich geometrycznych i harmonicznych . Stwierdzamy, że GH( x,y ) = 1/M(1/ x , 1/ y ) = xy /M( x,y ) . Średnia arytmetyczno-harmoniczna może być zdefiniowana podobnie, ale przyjmuje taką samą wartość jak średnia geometryczna (patrz sekcja „Obliczenia” tam ).

Średnia arytmetyczno-geometryczna może służyć do obliczania m.in. logarytmów , całek eliptycznych zupełnych i niezupełnych pierwszego i drugiego rodzaju oraz funkcji eliptycznych Jacobiego .

Dowód istnienia

Z nierówności średnich arytmetycznych i geometrycznych możemy wywnioskować, że:

$${\ Displaystyle g_ {n} \ równoważnik a_ {n}}$$

a zatem

$${\ Displaystyle g_ {n + 1} = {\ sqrt {g_ {n} \ cdot a_ {n}}} \ geq {\ sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}}$$

to znaczy, że ciąg g _n nie jest malejący.

Co więcej, łatwo zauważyć, że jest ona również ograniczona z góry przez większą z x i y (co wynika z faktu, że między nimi leżą zarówno średnie arytmetyczne, jak i geometryczne dwóch liczb). Zatem, zgodnie z twierdzeniem o zbieżności monotonicznej , ciąg jest zbieżny, więc istnieje g takie, że:

$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} g_ {n} = g}$$

Widzimy jednak również, że:

$${\ Displaystyle a_ {n} = {\ Frac {g_ {n + 1} ^ {2}} {g_ {n}}}}$$

a więc:

$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ do \ infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g}$$

CO BYŁO DO OKAZANIA

Dowód wyrażenia w formie całkowej

Dowód ten podaje Gauss. Pozwalać

$${\ Displaystyle I (x, y) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\frac {d\theta}{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta + y^{2}\sin ^{2}\theta}}},}$$

Zmiana zmiennej integracji na , gdzie ${\ displaystyle \ theta '}$

$${\ Displaystyle \ sin \ theta = {\ Frac {2x \ sin \ theta '} {(x + y)+(xy)\sin ^{2}\theta '}},}$$

daje

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} I (x, y) & = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ Frac {d \ theta '}} {\ sqrt {{\ bigl (} {\ frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^ {2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\ większy )}.\end{wyrównane}}}$$

Tak więc mamy

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} ja (x, y) & = ja (a_ {1}, g_ {1}) = ja (a_ {2}, g_ {2}) = \ cdots \\ & = ja {\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl)}.\end{wyrównane}} }$$

Ostatnia równość wynika z obserwacji, że ${\ Displaystyle I (z, z) = \ pi / (2z)}$ .

Ostatecznie uzyskujemy pożądany rezultat

$${\ Displaystyle M (x, y) = \ pi / {\ bigl (} 2I (x, y) {\ bigr)}.}$$

Aplikacje

Liczba π

Na przykład, zgodnie z algorytmem Gaussa-Legendre'a :

$${\ Displaystyle \ pi = {\ Frac {4 \, M (1,1 / {\ sqrt { 2}}) ^ {2}} {1- \ Displaystyle \ suma _ {j = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {j + 1} c_ {j} ^ {2}}},}$$

Gdzie

$$\ Displaystyle c_ {j} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (a_ {j-1} -g_ {j-1 }\Prawidłowy),}$$

z $}$ które obliczyć bez utraty precyzji za pomocą $a_ {0}=1$

$${\ Displaystyle c_ {j} = {\ Frac {c_ {j-1} ^ {2}} {4a_ {j}}}.}$$

Kompletna całka eliptyczna K (sin α )

Biorąc ${\ Displaystyle a_ {0} = 1}$ i ${\ Displaystyle g_ {0} = \ cos \ alfa}$ daje WZA

$${\ Displaystyle M (1, \ cos \ alfa) = {\ Frac {\ pi} {2K (\ sin \ alfa)}}}$$

gdzie K ( k ) jest całką eliptyczną zupełną pierwszego rodzaju :

$${\ Displaystyle K (k) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} (1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ teta) ^ {-1/2} \, d \ teta .}$$

Oznacza to, że ten okres kwartalny może być skutecznie obliczony przez WZA,

$${\ Displaystyle K (k) = {\ Frac {\ pi} {2M (1, {\ sqrt {1-k ^ {2}}}}}}.}$$

Inne aplikacje

Korzystając z tej właściwości AGM wraz z rosnącymi transformacjami Johna Landena , Richard P. Brent zaproponował pierwsze algorytmy AGM do szybkiej oceny elementarnych funkcji przestępnych ( e ^x , cos x , sin x ). Następnie wielu autorów zaczęło badać wykorzystanie algorytmów AGM.

Zobacz też

• Transformacja Landena
• Algorytm Gaussa-Legendre'a
• Średnia uogólniona

Źródła

• Daróczy, Zoltán; Páles, Zsolt (2002). „Gauss-skład środków i rozwiązanie problemu Matkowskiego – Suto”. Publicationes Mathematicae Debreczyn . 61 (1–2): 157–218.
• „Proces arytmetyczno-geometryczny” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Średnia arytmetyczno-geometryczna” . MathWorld .