Test Jarque-Bera

W statystyce test Jarque-Bera jest testem dobroci dopasowania sprawdzającym, czy przykładowe dane mają skośność i kurtozę pasujące do rozkładu normalnego . Test został nazwany na cześć Carlosa Jarque'a i Anila K. Bery . Statystyka testowa jest zawsze nieujemna. Jeśli jest daleki od zera, oznacza to, że dane nie mają rozkładu normalnego.

Statystyka testowa JB jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle {\ mathit {JB}} = {\ Frac {n} {6}} \ lewo (S ^ {2} + {\ frac {1}{4}}(K-3)^{2}\right)}$

gdzie n to liczba obserwacji (lub ogólnie stopni swobody); S to skośność próbki , K to kurtoza próbki :

${\ Displaystyle S = {\ Frac {{\ kapelusz {\ mu}} _ {3}} {{\ kapelusz {\ sigma}} ^ {3}}} = {\ Frac {{\ frac {1} {n }}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _ {i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{3/2}}},}$

${\ Displaystyle K = {\ Frac {{\ kapelusz {\ mu}} _ {4}} {{\ kapelusz {\ sigma}} ^ {4}}} = {\ Frac {{\ frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{\left({\frac {1}{ n}}\suma _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{2}}},}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ hat {\ mu}} _ {3}}$ i ${\ Displaystyle {\ hat {\ mu}} _ {4}}$ to oszacowania trzeciego i czwartego centralnego momentu , odpowiednio, jest średnią z próbki i jest oszacowaniem drugiego centralnego momentu $sigma}} ^ {2}}$$\$ wariancja .

Jeśli dane pochodzą z rozkładu normalnego, statystyka JB asymptotycznie ma rozkład chi-kwadrat z dwoma stopniami swobody , więc statystyki można użyć do sprawdzenia hipotezy, że dane pochodzą z rozkładu normalnego . Hipoteza zerowa jest łączną hipotezą zerowej skośności i nadmiarowej kurtozy być zerowym. Próbki z rozkładu normalnego mają oczekiwaną skośność równą 0 i oczekiwaną nadmiarową kurtozę równą 0 (co odpowiada kurtozie 3). Jak pokazuje definicja JB , każde odchylenie od tego zwiększa statystykę JB.

W przypadku małych próbek przybliżenie chi-kwadrat jest zbyt czułe, często odrzucając hipotezę zerową, gdy jest prawdziwa. Ponadto rozkład wartości p odbiega od rozkładu jednorodnego i staje się rozkładem unimodalnym o skośności prawostronnej , zwłaszcza dla małych wartości p . Prowadzi to do dużego wskaźnika błędów typu I. Poniższa tabela pokazuje niektóre wartości p przybliżone rozkładem chi-kwadrat, które różnią się od ich prawdziwych poziomów alfa dla małych próbek.

Obliczone wartości p odpowiadają prawdziwym poziomom alfa przy danych rozmiarach próbek

Prawdziwy poziom α	20	30	50	70	100
0,1	0,307	0,252	0,201	0,183	0,1560
0,05	0,1461	0,109	0,079	0,067	0,062
0,025	0,051	0,0303	0,020	0,016	0,0168
0,01	0,0064	0,0033	0,0015	0,0012	0,002

(Wartości te zostały przybliżone za pomocą symulacji Monte Carlo w Matlabie )

W implementacji MATLAB aproksymacja chi-kwadrat dla rozkładu statystyki JB jest używana tylko dla dużych próbek (> 2000). W przypadku mniejszych próbek wykorzystuje tabelę pochodzącą z symulacji Monte Carlo w celu interpolacji wartości p .

Historia

Statystykę opracowali Carlos M. Jarque i Anil K. Bera podczas pracy nad doktoratem. Praca magisterska na Australian National University.

Test Jarque-Bera w analizie regresji

Według Roberta Halla, Davida Liliena i in. (1995) stosując ten test wraz z analizą regresji wielokrotnej, właściwe oszacowanie to:

${\ Displaystyle {\ mathit {JB}} = {\ Frac {nk} {6}} \ lewo (S ^ {2} + {\frac {1}{4}}(K-3)^{2}\right)}$

gdzie n to liczba obserwacji, a k to liczba regresorów podczas badania reszt w równaniu.

Implementacje

• ALGLIB obejmuje implementację testu Jarque-Bera w językach C++, C#, Delphi, Visual Basic itp.
• gretl zawiera implementację testu Jarque-Bera
• Julia zawiera implementację testu Jarque-Bera JarqueBeraTest w pakiecie HypothesisTests .
• MATLAB zawiera implementację testu Jarque-Bera, funkcję „jbtest”.
• Python statsmodels zawiera implementację testu Jarque-Bera „statsmodels.stats.stattools.py”.
• R zawiera implementacje testu Jarque-Bera: na przykład jarque.bera.test w pakiecie tseries i jarque.test w pakiecie momenty .
• Wolfram zawiera wbudowaną funkcję o nazwie JarqueBeraALMTest i nie ogranicza się do testowania rozkładu Gaussa.

Zobacz też

• Test K-kwadrat D'Agostino , kolejny test oparty na kurtozie i skośności.

Dalsza lektura

• Jarque, Carlos M .; Bera, Anil K. (1980). „Wydajne testy normalności, homoskedastyczności i seryjnej niezależności reszt regresji”. Listy ekonomiczne . 6 (3): 255–259. doi : 10.1016/0165-1765(80)90024-5 .
• Jarque, Carlos M .; Bera, Anil K. (1981). „Wydajne testy normalności, homoskedastyczności i seryjnej niezależności reszt regresji: dowody Monte Carlo”. Listy ekonomiczne . 7 (4): 313–318. doi : 10.1016/0165-1765(81)90035-5 .
•   Jarque, Carlos M .; Bera, Anil K. (1987). „Test normalności obserwacji i reszt regresji”. Międzynarodowy Przegląd Statystyczny . 55 (2): 163–172. doi : 10.2307/1403192 . JSTOR 1403192 .
• Sędzia; i in. (1988). Wprowadzenie oraz teoria i praktyka ekonometrii (wyd. 3). s. 890–892.
• Hall, Robert E.; Lilien, David M.; i in. (1995). Podręcznik użytkownika EViews . P. 141.