Przedział tolerancji

Przedział tolerancji ( TI ) jest statystycznym przedziałem , w którym przy pewnym poziomie ufności mieści się określona próba proporcjonalna populacji . „Mówiąc dokładniej, $100 \times p %/100 \times (1-α)$ zapewnia granice, w których przynajmniej pewna część ( p ) populacji mieści się przy danym poziomie ufności (1-α).” „Przedział tolerancji ( p , 1−α) oparty na próbce jest skonstruowany tak, aby obejmował co najmniej proporcję p badanej populacji z ufnością 1−α; taki TI jest zwykle określany jako TI zawartości p - (1-α) pokrycia. populacji”.

Obliczenie

Jednostronne normalne przedziały tolerancji mają dokładne rozwiązanie pod względem średniej próbki i wariancji próbki w oparciu o niecentralny rozkład t . Dwustronne normalne przedziały tolerancji można uzyskać na podstawie niecentralnego rozkładu chi-kwadrat .

Stosunek do innych interwałów

„W przypadku znanych parametrów 95% przedział tolerancji i 95% przedział predykcji są takie same”. Gdybyśmy znali dokładne parametry populacji, bylibyśmy w stanie obliczyć zakres, w którym mieści się pewna część populacji. $\ mu \ pm 1,96 \ sigma$ $, że$ populacja ma rozkład normalny ze średnią i odchyleniem standardowym , to przedział $Displaystyle$ obejmuje 95% populacji (1,96 to wynik z dla 95% pokrycia populacji o rozkładzie normalnym).

${\ hat {\ sigma}}}$ tylko próbkę z populacji, znamy tylko próbki i odchylenie standardowe próbki ${\ Displaystyle$ , które są jedynie szacunkami prawdziwych parametrów. W takim przypadku $obejmować$ % populacji ze względu na rozbieżności w Przedział tolerancji ogranicza tę wariancję, wprowadzając poziom ufności ${\ displaystyle \ gamma}$ , czyli pewność, z jaką ten przedział faktycznie obejmuje określoną część populacji. W przypadku populacji o rozkładzie normalnym wynik z można przekształcić w „ k ” lub współczynnik tolerancji dla danej $przeglądowych$ lub kilku wzorów aproksymacyjnych. „Gdy stopnie swobody zbliżają się do nieskończoności, przedziały przewidywania i tolerancji stają się równe”.

Przedział tolerancji jest mniej znany niż przedział ufności i przedział przewidywania , sytuacja, nad którą ubolewali niektórzy pedagodzy, ponieważ może prowadzić do niewłaściwego wykorzystania innych przedziałów, w których przedział tolerancji jest bardziej odpowiedni.

Przedział tolerancji różni się od przedziału ufności tym, że przedział ufności ogranicza jednowartościowy parametr populacji ( na przykład średnią lub wariancję ) z pewną pewnością, podczas gdy przedział tolerancji ogranicza zakres wartości danych, który obejmuje określoną proporcję populacja. Podczas gdy wielkość przedziału ufności jest całkowicie spowodowana błędem próbkowania i będzie zbliżać się do przedziału o zerowej szerokości przy parametrze prawdziwej populacji wraz ze wzrostem wielkości próby, wielkość przedziału tolerancji jest częściowo spowodowana błędem próbkowania, a częściowo rzeczywistą wariancją w populacji, i będzie zbliżać się do przedziału prawdopodobieństwa populacji wraz ze wzrostem wielkości próby.

Przedział tolerancji jest powiązany z przedziałem predykcji w tym sensie, że oba wyznaczają granice zmienności w przyszłych próbkach. Jednak przedział predykcji ogranicza tylko jedną przyszłą próbkę, podczas gdy przedział tolerancji ogranicza całą populację (odpowiednik dowolnej sekwencji przyszłych próbek). średnio określony odsetek populacji , podczas gdy przedział tolerancji obejmuje go z pewnym poziomem ufności , co sprawia, że przedział tolerancji jest bardziej odpowiedni, jeśli pojedynczy przedział ma objąć wiele przyszłych próbek.

Przykłady

podaje następujący przykład:

Rozważmy więc jeszcze raz przysłowiowy scenariusz testu przebiegu EPA , w którym kilka nominalnie identycznych samochodów określonego modelu jest testowanych w celu uzyskania wartości przebiegu $, ..., y_ {n}}$ . Jeśli takie dane są przetwarzane w celu uzyskania 95% przedziału ufności dla średniego przebiegu modelu, możliwe jest na przykład wykorzystanie go do prognozowania średniego lub całkowitego zużycia benzyny dla wyprodukowanej floty takich samochodów w ciągu pierwszych 5000 mil użytkowania. Taka przerwa nie byłaby jednak zbyt pomocna dla osoby wynajmującej jeden z tych samochodów i zastanawiającej się, czy (pełny) 10-litrowy bak paliwa wystarczy, aby przewieźć go 350 mil do celu. W przypadku tego zadania interwał przewidywania byłby znacznie bardziej użyteczny. (Rozważ różne implikacje bycia „w 95% pewnym”, że ${\ Displaystyle \ mu \ geq 35}$ w przeciwieństwie do bycia „pewnym w 95%”, że ${\ Displaystyle y_ {n + 1} \ geq 35}$ .) Ale ani przedział ufności dla ani przedział predykcji dla ${\ displaystyle \ mu}$ pojedynczy dodatkowy przebieg jest dokładnie tym, czego potrzebuje inżynier projektujący, którego zadaniem jest określenie, jak duży zbiornik gazu naprawdę potrzebuje model, aby zagwarantować, że 99% wyprodukowanych samochodów będzie miało zasięg przelotowy 400 mil. Inżynier naprawdę potrzebuje przedziału tolerancji dla ułamka ${\ displaystyle p = 0,99}$ przebiegów takich aut.

Inny przykład podaje:

Poziomy ołowiu w powietrzu zostały zebrane $obiektu$ . Zauważono, że przekształcone logarytmicznie poziomy ołowiu dobrze pasowały do rozkładu normalnego (to znaczy dane pochodzą z rozkładu logarytmiczno- ${2}}}$ 2 ${$ \ displaystyle \ oznaczają średnią populacji i wariancję dla danych przekształconych logarytmicznie.Jeśli oznacza odpowiednią zmienną losową, mamy zatem ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}$ . Zauważmy, że $to$ ołowiu Przedział ufności dla $o$ skonstruować w zwykły sposób, w oparciu rozkład t ; to z kolei zapewni przedział ufności dla średniego poziomu ołowiu w powietrzu. Jeśli ${\ Displaystyle {\ bar {X}}}$ i oznaczają średnią próbki i odchylenie standardowe danych przekształconych w logarytm dla próbki o rozmiarze n, 95% przedział ufności dla ${\ displaystyle \ mu}$ $S {\ displaystyle S}$ określony przez ${\ Displaystyle {\ bar {X}} \ pm t_ {n-1,0,975} S / {\ sqrt {n}}}$ t $\ Displaystyle t_ {m, 1 -\alpha }}$ oznacza kwantyl rozkładu t ze stopniami swobody ${\ displaystyle$ $1-\ alpha} .$ Interesujące może być również wyprowadzenie 95% górnej granicy ufności dla średniego poziomu ołowiu w powietrzu. Taka granica dla jest dana przez $sqrt$ ${\ Displaystyle {\ bar {X}} + t_ {n-1,0,95} S / {$ . W związku z tym 95% górna granica ufności dla średniego odprowadzenia powietrza jest określona przez ${\ Displaystyle \ exp {\ lewo ({\ bar {X}} + t_ {n-1,0,95} S / {\ sqrt {n}} \po prawej)}}$ . Załóżmy teraz, że chcemy przewidzieć poziom ołowiu w powietrzu w określonym obszarze w laboratorium. 95% górna granica predykcji dla przekształconego logarytmicznie poziomu ołowiu jest dana przez ${\ Displaystyle {\ bar {X}} + t_ {n-1,0,95} S {\ sqrt {\ lewo (1 + 1 / n \ prawo)}}}$ . W podobny sposób można obliczyć dwustronny przedział predykcji. Znaczenie i interpretacja tych odstępów są dobrze znane. $_$ przedział _ obliczane wielokrotnie z niezależnych próbek, 95% obliczonych w ten sposób przedziałów będzie zawierać prawdziwą wartość ${\ displaystyle \ mu}$ , na dłuższą metę. Innymi słowy, interwał ma dostarczać informacji dotyczących parametru ${\ displaystyle \ mu}$ tylko. Przedział predykcji ma podobną interpretację i ma na celu dostarczenie informacji dotyczących tylko jednego poziomu wyprzedzenia. Załóżmy teraz, że chcemy użyć próby, aby stwierdzić, czy co najmniej 95% poziomów ołowiu w populacji jest poniżej progu. Przedział ufności i przedział predykcji nie mogą odpowiedzieć na to pytanie, ponieważ przedział ufności dotyczy tylko mediany poziomu wiodącego, a przedział predykcji dotyczy tylko jednego poziomu wiodącego. Wymagany jest przedział tolerancji; dokładniej, górna granica tolerancji. Górna granica tolerancji jest obliczana pod warunkiem, że co najmniej 95% poziomów ołowiu w populacji jest poniżej granicy, przy pewnym poziomie ufności, powiedzmy 99%.

Zobacz też

Dalsza lektura

Hahn, Gerald J.; Meeker, William Q.; Escobar, Luis A. (2017). Przedziały statystyczne: przewodnik dla praktyków i badaczy (wyd. 2). John Wiley & Sons, Incorporated. ISBN 978-0-471-68717-7 .

K. Krishnamoorthy (2009). Statystyczne regiony tolerancji: teoria, zastosowania i obliczenia . John Wiley i synowie. ISBN 978-0-470-38026-0 . ; Facet. 1, „Wstępne”, jest dostępny pod adresem http://media.wiley.com/product_data/excerpt/68/04703802/0470380268.pdf
Derek S. Młody (sierpień 2010). „tolerancja: pakiet R do szacowania przedziałów tolerancji” . Dziennik oprogramowania statystycznego . 36 (5): 1–39. ISSN 1548-7660 . Źródło 19 lutego 2013 r .
ISO 16269-6, Statystyczna interpretacja danych, Część 6: Wyznaczanie przedziałów tolerancji statystycznej, Komitet Techniczny ISO/TC 69, Zastosowania metod statystycznych. Dostępne pod adresem http://standardsproposals.bsigroup.com/home/getpdf/458