Statystyka V

Statystyki V to klasa statystyk nazwana na cześć Richarda von Misesa , który rozwinął swoją teorię rozkładu asymptotycznego w fundamentalnym artykule z 1947 r. Statystyki V są blisko spokrewnione ze statystykami U (U oznacza „ nieobciążony ”) wprowadzonymi przez Wassily'ego Hoeffdinga w 1948 r. Statystyka V to funkcja statystyczna (próby) zdefiniowana przez określony funkcjonał statystyczny rozkładu prawdopodobieństwa.

Funkcje statystyczne

$,$ które można przedstawić jako funkcjonały rozkładu empirycznego ( n ) $}$ Różniczkowalność funkcjonału T odgrywa kluczową rolę w podejściu von Misesa; dlatego von Mises rozważa różniczkowalne funkcjonały statystyczne .

Przykłady funkcji statystycznych

K -ty centralny moment to funkcja $\ dF ( x)}$ } , gdzie ${\ Displaystyle \ mu = E [X]}$ jest oczekiwaną wartością X . Powiązaną funkcją statystyczną jest próba k -ty centralny moment,
${\ Displaystyle T_ {n} = m_ {k} = T (F_ {n}) = {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { \overline {x}})^{k}.}$
Statystyka chi-kwadrat dobroci dopasowania jest funkcją statystyczną T ( F _n ), odpowiadającą funkcjonałowi statystycznemu
${ \ Displaystyle T (F) = \ suma _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {(\ int _ {A_ {i}} \, dF-p_ {i}) ^ {2}} {p_ { i}}},}$
gdzie A _i to komórki k _i pi to określone prawdopodobieństwa komórek w ramach hipotezy zerowej.
Statystyki dobroci dopasowania Craméra -von-Misesa i Andersona-Darlinga oparte są na funkcji
$\ Displaystyle T (F) = \ int (F (x) -F_ {0} (x)) ^ {2} \, w (x; F_ {0}) \, dF_ {0} (x), }$
gdzie w ( x ₀₀ ; F ) jest określoną funkcją wagi, a F jest określonym rozkładem zerowym. Jeśli w jest funkcją identyczności, to T ( Fn ) jest dobrze znaną _statystyką dobroci dopasowania Craméra-von-Misesa ; jeśli ${\ Displaystyle w (x; F_ {0}) = [F_ {0} (x) (1-F_ {0} (x))] ^ {-1}} to T ($ fa n ) to _Anderson - Darling Statystyczny.

Reprezentacja jako statystyka V

Załóżmy, że x ₁ , ..., x _n jest próbką. W typowych zastosowaniach funkcja statystyczna ma reprezentację jako statystyka V

{\ Displaystyle V_ {mn} = {\ Frac {1 }{n^{m}}}\sum _{i_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{i_{m}=1}^{n}h(x_{i_{1}} ,x_{i_{2}},\kropki ,x_{i_{m}}),}

gdzie h jest symetryczną funkcją jądra. Serfling omawia, jak znaleźć jądro w praktyce. V _mn nazywamy statystyką V stopnia m .

Jądro symetryczne stopnia 2 jest funkcją h ( x , y ) taką, że h ( x , y ) = h ( y , x ) dla wszystkich x i y w dziedzinie h. Dla próbek x ₁ , ..., x _n zdefiniowana jest odpowiednia statystyka V

{\ Displaystyle V_ {2, n} = {\ Frac {1} {n ^ {2}}} \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ suma _ {j = 1} ^ {n} h ( x_{i},x_{j}).}

Przykład statystyki V

Przykładem statystyki V stopnia 2 jest drugi moment centralny m ₂ . Jeśli h ( x , y ) = ( x − y ) ² /2, odpowiednią statystyką V jest
${\ Displaystyle V_ {2, n} = {\ Frac {1} {n ^ {2}}} \ suma _ {i = 1} ^ {n}\suma _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n} }\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2},} który jest$
estymatorem największej wiarygodności wariancji . Przy tym samym jądrze odpowiednia statystyka U jest (nieobciążoną) wariancją próbki:
${\ Displaystyle s ^ {2} = {n \ wybierz 2} ^ { -1}\suma _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\ suma _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}$ .

Rozkład asymptotyczny

W przykładach 1–3 asymptotyczny rozkład statystyki jest inny: w (1) jest to rozkład normalny , w (2) chi-kwadrat , aw (3) jest to ważona suma zmiennych chi-kwadrat.

Podejście von Misesa jest jednoczącą teorią, która obejmuje wszystkie powyższe przypadki. Nieformalnie typ rozkładu asymptotycznego funkcji statystycznej zależy od rzędu „degeneracji”, który jest określony przez to, który składnik jest pierwszym niezerującym wyrazem w rozwinięciu Taylora funkcjonału T . W przypadku, gdy jest to składnik liniowy, rozkład graniczny jest normalny; w przeciwnym razie powstają typy rozkładów wyższego rzędu (w odpowiednich warunkach, takich jak centralne twierdzenie graniczne).

Istnieje hierarchia przypadków równoległa do asymptotycznej teorii statystyki U. Niech A ( m ) będzie właściwością zdefiniowaną przez:

A ( m ):

Var( h ( X ₁ , ..., X _k )) = 0 dla k < m , i Var ( h ( X ₁ , ..., X _k )) > 0 dla k = m ;
n ^{m /2} R _mn dąży do zera (w prawdopodobieństwie). ( R _mn jest resztą z szeregu Taylora dla T .)

Przypadek m = 1 (jądro niezdegenerowane):

Jeśli A (1) jest prawdziwe, statystyka jest średnią z próby, a z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że T(Fn ₎ jest asymptotycznie normalne .

W przykładzie wariancji (4) m ₂ jest asymptotycznie normalne ze średnią $i$ wariancją $\ mu _ {4} -\ sigma ^ {4}) / n}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ mu _ {4} = E (XE (X)) ^ {4}}$ .

Przypadek m = 2 (zdegenerowane jądro):

Załóżmy, że A (2) jest prawdziwe i ${\ Displaystyle E [h ^ {2} (X_ {1}, X_ {2})] <\ infty, \, E | h (X_ {1}, X_ {1}) | <\ infty, }$ i ${\ Displaystyle E [h (x, X_ {1})] \ równoważnik 0}$ . Wtedy nV _2,n zbiega się w rozkładzie do sumy ważonej niezależnych zmiennych chi-kwadrat:

{\ Displaystyle nV_ {2, n} {\ stackrel {d} {\ longrightarrow}} \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty }\lambda _{k}Z_{k}^{2},}

gdzie $są$ niezależnymi standardowymi zmiennymi normalnymi i $zależą$ od rozkładu F i T . W tym przypadku rozkład asymptotyczny nazywany jest kwadratową postacią wyśrodkowanych zmiennych losowych Gaussa . Statystyka V _{2, n} nazywana jest zdegenerowaną statystyką jądra V . Statystyka V powiązana z funkcjonałem Cramera-von Misesa (Przykład 3) jest przykładem zdegenerowanej statystyki V jądra.

Zobacz też

Notatki

Hoeffding, W. (1948). „Klasa statystyk z asymptotycznie normalnym rozkładem” . Roczniki statystyki matematycznej . 19 (3): 293–325. doi : 10.1214/aoms/1177730196 . JSTOR 2235637 .
Koroljuk VS; Borowskich, Yu.V. (1994). Theory of U -statistics (angielskie tłumaczenie PVMalysheva i DVMalysheva z wydania ukraińskiego z 1989 r.). Dordrecht: wydawcy akademiccy Kluwer. ISBN 0-7923-2608-3 .
Lee, AJ (1990). U -Statystyka: teoria i praktyka . Nowy Jork: Marcel Dekker, Inc. ISBN 0-8247-8253-4 .
Neuhaus, G. (1977). „Funkcjonalne twierdzenia graniczne dla statystyk U w przypadku zdegenerowanym” . Dziennik analizy wielowymiarowej . 7 (3): 424–439. doi : 10.1016/0047-259X(77)90083-5 .
Rosenblatt, M. (1952). „Twierdzenia graniczne związane z wariantami statystyki von Misesa” . Roczniki statystyki matematycznej . 23 (4): 617–623. doi : 10.1214/aoms/1177729341 . JSTOR 2236587 .
Serfling, RJ (1980). Twierdzenia aproksymacyjne statystyki matematycznej . Nowy Jork: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02403-1 .
Taylor, RL; Daffer, PZ; Patterson, RF (1985). Twierdzenia graniczne dla sum wymiennych zmiennych losowych . New Jersey: Rowman i Allanheld.
von Mises, R. (1947). „O asymptotycznym rozkładzie różniczkowalnych funkcji statystycznych” . Roczniki statystyki matematycznej . 18 (2): 309–348. doi : 10.1214/aoms/1177730385 . JSTOR 2235734 .