Dyspersja statystyczna

Przykład próbek z dwóch populacji o tej samej średniej, ale różnym rozkładzie. Populacja niebieska jest znacznie bardziej rozproszona niż populacja czerwona.

W statystyce dyspersja (zwana także zmiennością , rozrzutem lub rozrzutem ) to stopień, w jakim rozkład jest rozciągnięty lub ściśnięty. Typowymi przykładami miar rozproszenia statystycznego są wariancja , odchylenie standardowe i rozstęp międzykwartylowy . Na przykład, gdy wariancja danych w zbiorze jest duża, dane są bardzo rozproszone. Z drugiej strony, gdy wariancja jest mała, dane w zestawie są skupione.

Dyspersja jest przeciwstawiona lokalizacji lub tendencji centralnej i razem są to najczęściej używane właściwości rozkładów.

Środki

Miarą rozproszenia statystycznego jest nieujemna liczba rzeczywista , która wynosi zero, jeśli wszystkie dane są takie same i rośnie, gdy dane stają się bardziej zróżnicowane.

Większość miar dyspersji ma takie same jednostki jak mierzona wielkość . Innymi słowy, jeśli pomiary są w metrach lub sekundach, to samo dotyczy miary dyspersji. Przykłady miar dyspersji obejmują:

Odchylenie standardowe
Rozstęp międzykwartylowy (IQR)
Zakres
Średnia różnica bezwzględna (znana również jako średnia różnica bezwzględna Giniego)
Mediana bezwzględnego odchylenia (MAD)
Średnie odchylenie bezwzględne (lub po prostu nazywane odchyleniem średnim)
Odchylenie standardowe odległości

Są one często używane (wraz ze współczynnikami skali ) jako estymatory parametrów skali , w którym to charakterze nazywane są oszacowaniami skali. Solidne miary skali to te, na które nie ma wpływu niewielka liczba wartości odstających , i obejmują IQR i MAD.

Wszystkie powyższe miary dyspersji statystycznej mają tę użyteczną właściwość, że są niezmienne w lokalizacji i mają liniową skalę . Oznacza to, że jeśli zmienna losowa ma dyspersję $displaystyle S_ {X}},$ $\$ ${$ to ${\ displaystyle Y$ liniowa naprawdę za $\ displaystyle a}$ i ${\ displaystyle b}$ powinien mieć dyspersję ${\ Displaystyle S_ {Y} = | a| S_ {X}}$ gdzie $displaystyle | a |}$ $\$ jest wartością bezwzględną , to znaczy ignoruje poprzedzający znak ujemny - $\ displaystyle -}$

Inne miary dyspersji są bezwymiarowe . Innymi słowy, nie mają jednostek, nawet jeśli sama zmienna ma jednostki. Obejmują one:

Współczynnik zmienności
Kwartylowy współczynnik dyspersji
Względna średnia różnica równa dwukrotności współczynnika Giniego
Entropia : Podczas gdy entropia zmiennej dyskretnej jest niezmienna w lokalizacji i niezależna od skali, a zatem nie jest miarą rozproszenia w powyższym sensie, entropia zmiennej ciągłej jest niezmienna w lokalizacji i addytywna w skali: Jeśli $displaystyle H (z)}$ ${$ $z = ax + b}$ jest entropią zmiennej ciągłej $Displaystyle$ z , a następnie ${\ Displaystyle H (z) = H (x) + \ log (a)}$ .

Istnieją inne miary dyspersji:

Wariancja (kwadrat odchylenia standardowego) - niezmienna w lokalizacji, ale nie liniowa w skali.
Stosunek wariancji do średniej - najczęściej używany do danych liczbowych , gdy używany jest termin współczynnik dyspersji i gdy ten stosunek jest bezwymiarowy , ponieważ dane liczbowe same w sobie są bezwymiarowe, a nie inaczej.

Niektóre miary dyspersji mają specjalne cele. Wariancji Allana można użyć w zastosowaniach, w których szum zakłóca zbieżność. Wariancję Hadamarda można wykorzystać do przeciwdziałania czułości liniowego dryftu częstotliwości.

W przypadku zmiennych kategorycznych pomiar rozproszenia za pomocą pojedynczej liczby jest mniej powszechny; patrz zmienność jakościowa . Jedną miarą, która to robi, jest entropia dyskretna .

Źródła

W naukach fizycznych taka zmienność może wynikać z przypadkowych błędów pomiarowych: pomiary instrumentami często nie są idealnie precyzyjne , tj . Można założyć, że mierzona wielkość jest stabilna, a różnice między pomiarami wynikają z błędu obserwacyjnego . Układ dużej liczby cząstek charakteryzuje się średnimi wartościami stosunkowo niewielkiej liczby wielkości makroskopowych, takich jak temperatura, energia i gęstość. Odchylenie standardowe jest ważną miarą w teorii fluktuacji, która wyjaśnia wiele zjawisk fizycznych, w tym dlaczego niebo jest niebieskie.

W naukach biologicznych mierzona wielkość rzadko jest niezmienna i stabilna, a obserwowana zmienność może dodatkowo być nieodłącznym elementem tego zjawiska: może wynikać ze zmienności międzyosobniczej , to znaczy różnych członków populacji różniących się od siebie. Może to być również spowodowane zmiennością osobniczą , to znaczy, że jeden i ten sam pacjent różni się w testach wykonanych w różnym czasie lub w innych różnych warunkach. Tego rodzaju zmienność obserwuje się również na arenie wytwarzanych produktów; nawet tam skrupulatny naukowiec znajduje zróżnicowanie.

Częściowe uporządkowanie dyspersji

Rozpiętość zachowująca średnią (MPS) to zmiana z jednego rozkładu prawdopodobieństwa A na inny rozkład prawdopodobieństwa B, gdzie B jest tworzony przez rozłożenie jednej lub więcej części funkcji gęstości prawdopodobieństwa A przy pozostawieniu niezmienionej średniej (wartości oczekiwanej). Koncepcja rozrzutu zachowującego średnią zapewnia częściowe uporządkowanie rozkładów prawdopodobieństwa zgodnie z ich rozrzutem: z dwóch rozkładów prawdopodobieństwa jeden może zostać sklasyfikowany jako mający większe rozproszenie niż drugi lub alternatywnie żaden z nich nie może być sklasyfikowany jako mający większe rozproszenie.

Zobacz też