Korelacja krzyżowa

Wizualne porównanie splotu , korelacji krzyżowej i autokorelacji . Dla operacji na funkcji f i zakładając, że wysokość f wynosi 1,0, wartość wyniku w 5 różnych punktach jest oznaczona zacienionym obszarem pod każdym punktem. Również pionowa symetria f $*$ powodem, dla którego ∗ sol $g }$

W przetwarzaniu sygnałów korelacja krzyżowa jest miarą podobieństwa dwóch szeregów jako funkcji przesunięcia jednego względem drugiego. Jest to również znane jako przesuwany produkt punktowy lub przesuwany produkt wewnętrzny . Jest powszechnie używany do wyszukiwania długiego sygnału pod kątem krótszej, znanej cechy. Ma zastosowanie w rozpoznawaniu wzorców , analizie pojedynczych cząstek , tomografii elektronowej , uśrednianiu , kryptoanalizie i neurofizjologia . Korelacja krzyżowa ma podobny charakter do splotu dwóch funkcji. W autokorelacji , która jest korelacją krzyżową sygnału z samym sobą, zawsze będzie pik przy zerowym opóźnieniu, a jego rozmiar będzie energią sygnału.

W prawdopodobieństwie i statystyce termin korelacje krzyżowe odnosi się do korelacji między wpisami dwóch $wektorów$ losowych i $\ mathbf {Y}}$ , podczas gdy korelacje wektora losowego ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$ to korelacje między wpisami samego ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$ , które tworzą macierz korelacji ${\ Displaystyle \ mathbf {X}}$ . Jeśli każda z ${\ displaystyle$ jest skalarną zmienną losową, która jest realizowana wielokrotnie w $\ mathbf {X}$ czasowym , to korelacje różnych czasowych instancji $} displaystyle \ mathbf {X}}$ są znane jako autokorelacje X ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$ i korelacje krzyżowe ${\ displaystyle \ mathbf {X}$ z ${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$ w czasie to czasowe korelacje krzyżowe. W rachunku prawdopodobieństwa i statystyce definicja korelacji zawsze zawiera czynnik standaryzujący w taki sposób, że korelacje mają wartości od -1 do +1.

Jeśli $i$ są dwiema $,$ zmiennymi losowymi $g}$ funkcjami gęstości prawdopodobieństwa odpowiednio i $\$ { to gęstość prawdopodobieństwa różnicy ${ \ displaystyle YX}$ jest formalnie dana przez korelację krzyżową (w sensie przetwarzania sygnału) ${\ displaystyle f \ star g}$ ; jednak ta terminologia nie jest używana w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce. W przeciwieństwie do tego, splot (odpowiednik korelacji krzyżowej $\ Displaystyle$$)}$ i ${\ Displaystyle g (-t)$$daje$ funkcję .

Korelacja krzyżowa sygnałów deterministycznych

Dla funkcji ciągłych ${$ sol $\ displaystyle f}$ krzyżowa jest zdefiniowana jako: fa

$${\ Displaystyle (f \ gwiazda g) (\ tau) \ \ trójkątq \ int _ {- \ infty} ^{\infty}{\overline {f(t)}}g(t+\tau)\,dt}$$

co jest równoważne

$${\ Displaystyle (f \ gwiazda g) (\ tau) \ \ trójkątq \ int _ {- \ infty} ^{\infty}}{\overline {f(t-\tau)}}g(t)\,dt}$$

gdzie ${\ Displaystyle {\ overline {f (t)}}}$ oznacza złożony koniugat , a ${\ Displaystyle f (t)}$ i nazywa się przemieszczeniem lub ${\ Displaystyle \ tau}$ opóźnienie. W przypadku silnie skorelowanych i ${ \ displaystyle$$}$ , które mają maksymalną korelację krzyżową w określonym ${\ displaystyle \ tau}$ , funkcja w at występuje również później w , stąd sol $\ displaystyle$$g$$}$ w ${\ Displaystyle t + \ tau}$ by opisać jako sol $displaystyle f}$ opóźnienie ${\ displaystyle f}$ przez ${\ displaystyle \ tau}$ .

Jeśli oba są ciągłymi funkcjami okresowymi okresu , całkowanie od $- \ infty}$$\$$Displaystyle$$do zostaje zastąpione fa {\$ displaystyle f } $\ displaystyle g$ przez całkowanie w dowolnym przedziale długości $}$${\ Displaystyle [t_ {0}, t_ {0} + T]$ długości :

$${\ Displaystyle (f \ gwiazda g) (\ tau) \ \ trójkątq \ int _ {t_ {0 }}^{t_{0}+T}{\overline {f(t)}}g(t+\tau)\,dt}$$

co jest równoważne

$${\ Displaystyle (f \ gwiazda g) (\ tau) \ \ trójkątq \ int _ {t_ {0 }}^{t_{0}+T}{\overline {f(t-\tau)}}g(t)\,dt}$$

Podobnie dla funkcji dyskretnych korelacja krzyżowa jest zdefiniowana jako:

$${\ Displaystyle (f \ gwiazda g) [n] \ \ trójkąt q \ suma _ {m = - \ infty }^{\infty}{\overline {f[m]}}g[m+n]}$$

co jest równoważne z:

$${\ Displaystyle (f \ gwiazda g) [n] \ \ trójkąt q \ suma _ {m = - \ infty }^{\infty}{\overline {f[mn]}}g[m]}$$

Dla skończonych funkcji dyskretnych $\ Displaystyle f, g \ in \ mathbb {C} ^ {N}}$ (okrągła) korelacja krzyżowa jest zdefiniowana jako:

$${\ Displaystyle (f \ gwiazda g) [n] \ \ trójkątq \ suma _ {m =0}^{N-1}{\overline {f[m]}}g[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]}$$

co jest równoważne z:

$${\ Displaystyle (f \ gwiazda g) [n] \ \ trójkątq \ suma _ {m =0}^{N-1}{\overline {f[(mn)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]}$$

Dla skończonych funkcji dyskretnych , $mathbb {C} ^$$M}}$ jądra korelacja jest zdefiniowana jako:

$${\ Displaystyle (f \ gwiazda g) [n] \ \ trójkątq \ suma _ { m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}K_{g}[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]}$$

gdzie ${\ Displaystyle K_ {g} = [ k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]} jest wektorem$ jądra funkcje ${\ Displaystyle k (\ cdot, \ cdot) \ dwukropek \ mathbb {C} ^ {M} \ razy \ mathbb {C} ^ {M} \ do \ mathbb { R}}$ i ${\ Displaystyle T_ {i} (\ cdot) \ dwukropek \ mathbb {C} ^ {M} \ do \ mathbb {C} ^ {M}}$ jest transformata afiniczna .

W szczególności $może to być$ skali itp. Korelacja krzyżowa jądra rozszerza korelację krzyżową z przestrzeni liniowej do przestrzeni Korelacja krzyżowa jest równoważna translacji; korelacja krzyżowa jądra jest równoważna wszelkim transformacjom afinicznym, w tym translacji, rotacji i skali itp.

Wyjaśnienie

$przesunięciem$ przykład rozważmy dwie funkcje o wartościach rzeczywistych $i$ się jedynie nieznanym wzdłuż osi x. Można użyć korelacji krzyżowej, aby znaleźć, o ile $należy$$z$ wzdłuż osi x, aby była . Formuła zasadniczo przesuwa $funkcję$ wzdłuż osi x, obliczając całkę ich iloczynu w każdej pozycji Gdy funkcje są zgodne, wartość ${\ Displaystyle (f \ gwiazda g)}$ jest zmaksymalizowany. Dzieje się tak dlatego, że gdy piki (obszary dodatnie) są wyrównane, mają duży udział w całce. Podobnie, gdy doliny (obszary ujemne) są wyrównane, wnoszą również dodatni wkład do całki, ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni.

Animacja sposobu obliczania korelacji krzyżowej. Lewy wykres przedstawia zieloną funkcję G, która jest przesunięta fazowo względem funkcji F o przesunięcie czasowe 𝜏. Środkowy wykres pokazuje funkcję F i przesuniętą w fazie G reprezentowaną razem jako krzywa Lissajous . Całkowanie F pomnożone przez G z przesunięciem fazowym daje prawy wykres, korelację krzyżową dla wszystkich wartości 𝜏.

W przypadku funkcji o wartościach $i$ , przyjęcie $.$$wyrównane dołki) z wyimaginowanymi składnikami$ będą pozytywnie wpływać na całkę

W ekonometrii opóźniona korelacja krzyżowa jest czasami określana jako autokorelacja krzyżowa.

Nieruchomości

• Korelacja krzyżowa funkcji i $\$${\ Displaystyle {\ overline {f (-t)}}}$$}$ równoważna splotowi ( oznaczonemu przez $)$ i ${\ Displaystyle g (t)}$ . To znaczy:

  ${\ Displaystyle [f (t) \ gwiazda g (t)] (t) = [{\ overline {f (-t)}} * g (t)] (t).}$

• ${\ Displaystyle [f (t) \ gwiazda g (t)] (t) = [{\ overline {g (t)}} \ gwiazda {\ overline {f (t)}}] (-t).}$
• Jeśli jest funkcją $hermitowską$ , ${\ displaystyle f \ gwiazda g = f * g.}$
• Jeśli oba są hermitowskie, to $gwiazda g = g \ gwiazda f$$Displaystyle$$\$ .
• ${\ Displaystyle \ lewo (f \ gwiazda g \ prawo) \ gwiazda \ lewo (f \ gwiazda g \ prawo) = \ left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)}$ .
• Analogicznie do twierdzenia o splotach , korelacja krzyżowa spełnia
  ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ lewo \ {f \ gwiazda g \ prawo \ } = {\ overline {{\ mathcal {F}} \ lewo \ {f \ prawo \}}} \ cdot {\ mathcal {F}} \ lewo \ {g \ prawo \},} gdzie fa {$
  \ ${ \mathcal {F}}}$ oznacza transformatę Fouriera , a ${\ Displaystyle {\ overline {f}}}$ ponownie wskazuje na złożony koniugat ${\ displaystyle f}$ , ponieważ ${\ Displaystyle {\ mathcal { F}}\left\{{\overline {f(-t)}}\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}}}}$ . W połączeniu z szybką transformatą Fouriera algorytmów, ta właściwość jest często wykorzystywana do wydajnego numerycznego obliczania korelacji krzyżowych (patrz kołowa korelacja krzyżowa ).
• Korelacja krzyżowa jest związana z gęstością widmową (patrz twierdzenie Wienera-Khinchina ).
• Korelacja krzyżowa splotu $\ displaystyle$ h $}$$displaystyle g}$ z funkcją to splot korelacji krzyżowej $\$ i ${\ displaystyle g} f}$ z jądrem ${\ displaystyle h}$ :

  ${\ Displaystyle g \ gwiazda \ lewo (f * h \ prawo) = \ lewo (g \ gwiazda f \ prawo) * h}$ .

Korelacja krzyżowa wektorów losowych

Główny artykuł: Macierz korelacji krzyżowych

Definicja

Dla $_$ losowych … ${\ Displaystyle \ mathbf {Y} = (Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n})}$ , z których każdy zawiera losowe elementy których wartość oczekiwana i wariancja istnieją, macierz korelacji krzyżowej X ${\ Displaystyle \ mathbf {X}}$ i jest zdefiniowany przez ${\ Displaystyle \ mathbf {Y}}$

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {R} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} \ trójkąt q \ \ nazwa operatora {E} \ lewo [\ mathbf {X} \ mathbf { Y} \right]}$$

i ma wymiary ${\ displaystyle m \ razy n}$ . Napisane komponentowo:

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {R} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ nazwa operatora {E} [X_ {1} Y_ {1}] i \ nazwa operatora {E} [ X_{1}Y_{2}]&\cdots &\nazwa_operatora {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\nazwa_operatora {E} [X_{2}Y_{1}]&\nazwa_operatora {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\nazwa operatora {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\ \\nazwa_operatora {E} [X_{m}Y_{1}]&\nazwa_operatora {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\nazwa_operatora {E} [X_{m}Y_{n} ]\end{bmacierz}}}$$

Wektory losowe $.$ nie $muszą$ mieć tego samego wymiaru i oba mogą być wartościami

Przykład

Na przykład, jeśli ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = \ lewo (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} \ prawej)}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {Y} = \ lewo (Y_ {1}, Y_ {2} \ prawej)}$ są losowymi wektorami, a następnie ${\ Displaystyle \ operatorname {R} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}}}$ jest ${\ Displaystyle 3 \ razy 2}$ macierz, której ${\ Displaystyle (i, j)}$ -ty wpis to ${\ Displaystyle \ operatorname {E} [X_ {i} Y_ {j}]}$ .

Definicja złożonych wektorów losowych

Z ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} = (Z_ {1}, \ ldots, Z_ {m})}$ W $\ displaystyle \ mathbf {W} = (W_ {1}, \ ldots, W_ {n})}$ są złożonymi wektorami losowymi , z których każdy zawiera zmienne losowe, których wartość oczekiwana i wariancja istnieją, macierz korelacji krzyżowej ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {W}}$ jest zdefiniowany przez

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {R} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} \ trójkąt q \ \ nazwa operatora {E} [\ mathbf {Z} \ mathbf {W} } ^{\rm {H}}]}$$

gdzie $_$ transpozycję hermitowską .

Korelacja krzyżowa procesów stochastycznych

W analizie i statystyce szeregów czasowych korelacja krzyżowa pary procesów losowych to korelacja między wartościami procesów w różnych momentach, jako funkcja dwóch czasów. Niech ${\ Displaystyle (X_ {t}, Y_ {t})}$$t}$ parą losowych procesów i będzie dowolnym punktem w czasie ( $displaystyle$ może być liczbą całkowitą dla procesu w czasie dyskretnym lub a liczba rzeczywista dla procesu w czasie ciągłym ). Wtedy ${\ displaystyle X_ {t}}$ jest wartością (lub realizacją ) wytworzoną przez dany przebieg procesu w $.$

Funkcja korelacji krzyżowej

${\ Displaystyle \ sigma _ {X} ^ {2} (t)}$ , że proces ma środki i wariancje $σ X 2 ( t )$ { ${Y} ($ i ${\ Displaystyle \ sigma _ {Y} ^ {2} (t)}$ w czasie ${\ Displaystyle t}$ , dla każdego ${\ displaystyle t}$ . Wtedy definicja korelacji krzyżowej między czasami i ${\ displaystyle t_ {2}}$ jest ${\ displaystyle t_ {1}}$

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {R} _ {XY} (t_ {1}, t_ {2}) \ trójkąt q \ \ nazwa operatora {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {Y_{t_{2}}}}\right]}$$

gdzie $jest$ wartości oczekiwanej . Zauważ, że to wyrażenie może nie być zdefiniowane.

Funkcja kowariancji krzyżowej

Odjęcie średniej przed pomnożeniem daje kowariancję krzyżową między czasami i ${\ displaystyle t_ {1}}:$${\ displaystyle t_ {2}$ }

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {K} _ {XY} (t_ {1}, t_ {2}) \ trójkąt q \ \ nazwa operatora {E} \ lewo [\ lewo (X_ {t_ {1}} - \ mu _ {X }(t_{1})\right){\overline {(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))}}\right]}$$

Należy zauważyć, że to wyrażenie nie jest dobrze zdefiniowane dla wszystkich szeregów czasowych lub procesów, ponieważ średnia lub wariancja mogą nie istnieć.

Definicja stacjonarnego procesu stochastycznego w szerokim sensie

Niech ${\ Displaystyle (X_ {t}, Y_ {t})}$ reprezentuje parę procesów stochastycznych , które są wspólnie stacjonarne w szerokim sensie . Następnie funkcja kowariancji krzyżowej i funkcja korelacji krzyżowej są podane w następujący sposób.

Funkcja korelacji krzyżowej

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {R} _ {XY} (\ tau) \ trójkąt q \ \ nazwa operatora {E} \ lewo [X_ {t} {\overline {Y_{t+\tau}}}\right]}$$

lub równoważnie

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {R} _ {XY} (\ tau) = \ nazwa operatora {E} \ lewo [X_ {t-\ tau }{\overline {Y_{t}}}\right]}$$

Funkcja kowariancji krzyżowej

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {K} _ {XY} (\ tau) \ trójkąt q \ \ nazwa operatora {E} \left[\left(X_{t}-\mu _{X}\right){\overline {\left(Y_{t+\tau }-\mu _{Y}\right)}}\right ]}$$

lub równoważnie

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {K} _ {XY} (\ tau) = \ nazwa operatora {E } \left[\left(X_{t-\tau }-\mu _{X}\right){\overline {\left(Y_{t}-\mu _{Y}\right)}}\right] }$$

gdzie i są $odchyleniem$$\$ procesu $Displaystyle (X_ {t})$ , które są stałe w czasie ze względu na stacjonarność; i podobnie odpowiednio dla ${\ Displaystyle (Y_ {t})}$ . ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [\ ]}$ wskazuje oczekiwaną wartość . To, że $jest$ krzyżowa i korelacja krzyżowa są niezależne od dokładnie dodatkową informacją (poza indywidualnym szeroko rozumianym stacjonarnym) przenoszonym przez wymaganie, że ${\ displaystyle (X_ {} t},Y_{t})}$ są łącznie szerokosensownymi stacjonarnymi.

Korelację krzyżową pary wspólnie szerokosensownych stacjonarnych procesów stochastycznych można oszacować, uśredniając iloczyn próbek zmierzonych z jednego procesu i próbek zmierzonych z drugiego (oraz jego przesunięć w czasie). Próbki zawarte w średniej mogą stanowić dowolny podzbiór wszystkich próbek w sygnale (np. próbki w skończonym oknie czasowym lub podpróbkowanie [ które z sygnałów). Dla dużej liczby próbek średnia zbiega się do prawdziwej korelacji krzyżowej.

Normalizacja

analizie szeregów czasowych ) powszechną praktyką jest normalizowanie funkcji korelacji krzyżowej w celu uzyskania zależnego od czasu współczynnika korelacji Pearsona . Jednak w innych dyscyplinach (np. inżynierii) normalizacja jest zwykle odrzucana, a terminy „korelacja krzyżowa” i „kowariancja krzyżowa” są używane zamiennie.

Definicja znormalizowanej korelacji krzyżowej procesu stochastycznego to

$${\ Displaystyle \ rho _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = {\ Frac {\ nazwa operatora {K} _ {XX }(t_{1},t_{2})}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}={\frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}\right){\overline {\left(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}} \right)}}\right]}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}}$$

Jeśli funkcja jest dobrze zdefiniowana, jej wartość musi mieścić się w przedziale ${\ Displaystyle [-1,1]}$ , gdzie 1 oznacza idealną korelację ρ X X {\ Displaystyle \ rho _ $XX$ a −1 oznacza doskonałą antykorelację .

Dla wspólnie szeroko rozumianych stacjonarnych procesów stochastycznych definicja brzmi:

$${\ Displaystyle \ rho _ {XY} (\ tau) = {\ Frac {\ nazwa operatora {K} _ {XY} (\ tau)} {\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}}} = {\ frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t}-\mu _{X}\right){\overline {\left(Y_{t+\tau}-\mu _{Y}\right) }}\right]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}}$$

Normalizacja jest ważna zarówno dlatego, że interpretacja autokorelacji jako korelacji zapewnia bezskalową miarę siły zależności statystycznej , jak i dlatego, że normalizacja ma wpływ na właściwości statystyczne oszacowanych autokorelacji.

Nieruchomości

Właściwość symetrii

W przypadku szeroko rozumianych stacjonarnych procesów stochastycznych funkcja korelacji krzyżowej ma następującą właściwość symetrii:

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {R} _ {XY} (t_ {1}, t_ {2}) = {\ overline {\operatorname {R} _{YX}(t_{2},t_{1})}}}$$

Odpowiednio dla wspólnie realizowanych procesów WSS:

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {R} _ {XY} (\ tau) = {\ overline {\ nazwa operatora {R} _ {YX} (- \ tau )}}}$$

Analiza opóźnienia czasowego

Korelacje krzyżowe są przydatne do określania opóźnienia czasowego między dwoma sygnałami, np. do określania opóźnień czasowych propagacji sygnałów akustycznych w układzie mikrofonowym. Po obliczeniu korelacji krzyżowej między dwoma sygnałami maksimum (lub minimum, jeśli sygnały są skorelowane ujemnie) funkcji korelacji krzyżowej wskazuje punkt w czasie, w którym sygnały są najlepiej dopasowane; tj. opóźnienie czasowe między dwoma sygnałami jest określone przez argument maksimum lub arg max korelacji krzyżowej , jak w

$$\ Displaystyle \ tau _ {\ operatorname {opóźnienie}} = {\ underset {t \ w \ mathbb { R} }{\operatorname {arg\,max} }}((f\gwiazda g)(t))}$$

Terminologia w przetwarzaniu obrazu

Znormalizowana korelacja krzyżowa (ZNCC)

Animacja znormalizowanej korelacji krzyżowej przesuwająca szablon po obrazie. Obraz i szablon to kolejne klatki cząstek w polu przepływu. Ta technika jest również nazywana Velocimetrią Obrazu Cząsteczek.

W przypadku aplikacji do przetwarzania obrazu , w których jasność obrazu i szablonu może się różnić w zależności od oświetlenia i warunków ekspozycji, obrazy można najpierw znormalizować. Odbywa się to zazwyczaj na każdym kroku poprzez odjęcie średniej i podzielenie przez odchylenie standardowe . Oznacza to, że korelacja krzyżowa szablonu z podobrazem jest $t ( x$$($

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {n}} \ suma _ { x,y}{\frac {1}{\sigma _{f}\sigma _{t}}}\left(f(x,y)-\mu _{f}\right)\left(t(x ,y)-\mu _{t}\right)}$$

gdzie $\ Displaystyle n}$ { to liczba pikseli w ${\ Displaystyle$$}$ , $to$${ \$$}$$\$$i$ odchylenie fa { displaystyle f .

W kategoriach analizy funkcjonalnej można to traktować jako iloczyn skalarny dwóch znormalizowanych wektorów . To znaczy, jeśli

$${\ Displaystyle F (x, y) = f (x, y) - \ mu _ {f}}$$

I

$${\ Displaystyle T (x, y) = t (x, y) - \ mu _ {t}}$$

wtedy powyższa suma jest równa

$${\ Displaystyle \ lewo \ langle {\ Frac {F} {\| F \|}}, {\ Frac {T} {\| T \ |}} \ prawo \ zakres }$$

gdzie jest $iloczynem$ wewnętrznym i $\|}$ L | \ normą . Cauchy – Schwarz sugeruje następnie, że ZNCC ma zakres ${\ Displaystyle [-1,1]}$ .

Tak więc, jeśli i są rzeczywistymi macierzami, ich znormalizowana korelacja krzyżowa jest równa cosinusowi kąta między wektorami jednostkowymi i jest $fa$${$$displaystyle F}$ T $displaystyle T$ } więc ${\ displaystyle 1}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $się$ pomnożonej $dodatni$ skalar.

Znormalizowana korelacja to jedna z metod używanych do dopasowywania szablonów , procesu używanego do znajdowania wystąpień wzorca lub obiektu na obrazie. Jest to również dwuwymiarowa wersja współczynnika korelacji momentu iloczynu Pearsona .

Znormalizowana korelacja krzyżowa (NCC)

NCC jest podobny do ZNCC z tą różnicą, że nie odejmuje się lokalnej średniej wartości intensywności:

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {x, y} {\ Frac {1} {\sigma _ {f} \ sigma _ {t}}} f (x, y) t (x, y)}$$

Układy nieliniowe

Należy zachować ostrożność podczas korzystania z korelacji krzyżowej dla systemów nieliniowych. W pewnych okolicznościach, które zależą od właściwości wejścia, korelacja krzyżowa między wejściem a wyjściem systemu o nieliniowej dynamice może być całkowicie ślepa na pewne efekty nieliniowe. Ten problem powstaje, ponieważ niektóre momenty kwadratowe mogą być równe zeru, co może błędnie sugerować, że istnieje niewielka „korelacja” (w sensie zależności statystycznej) między dwoma sygnałami, podczas gdy w rzeczywistości te dwa sygnały są silnie powiązane przez dynamikę nieliniową.

Zobacz też

• Autokorelacja
• Autokowariancja
• Konsekwencja
• Skręt
• Korelacja
• Funkcja korelacji
• Macierz korelacji krzyżowych
• Kowariancja krzyżowa
• Widmo krzyżowe
• Cyfrowa korelacja obrazu
• Korelacja fazowa
• Skalowana korelacja
• Gęstość widmowa
• Twierdzenie Wienera-Khinchina

Dalsza lektura

•   Tahmasebi, Pejman; Hezarkhani, Ardeszir; Sahimi, Mahomet (2012). „Wielopunktowe modelowanie geostatystyczne na podstawie funkcji korelacji krzyżowej”. Obliczeniowe nauki o Ziemi . 16 (3): 779–797. doi : 10.1007/s10596-012-9287-1 . S2CID 62710397 .

Linki zewnętrzne

• Korelacja krzyżowa z Mathworld
• http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html
• http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf