Kowariancja krzyżowa

W prawdopodobieństwie i statystyce , biorąc pod uwagę dwa procesy stochastyczne ${\ Displaystyle \ lewo \ {X_ {t} \ prawo \}}$ i ${\ Displaystyle \ lewo \ {Y_ {t} \ prawo \}}$ , kowariancja krzyżowa jest funkcją, która daje kowariancję jednego procesu z drugim w parach punktów czasowych. $operatora$ zwykłą notacją dla oczekiwań , jeśli procesy mają średnie funkcje $mu _ {X} (t) = \ nazwa operatora {\ nazwa operatora {E}} [X_ {t}]}$ \ i ${\ Displaystyle \ mu _ {Y} (t) = \ nazwa operatora {E} [Y_ {t}]}$ , wtedy kowariancja krzyżowa jest dana przez

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {K} _ {XY} (t_ {1}, t_ {2}) = \ nazwa operatora {cov} (X_ {t_ {1}}, Y_ {t_ {2}}) = \ nazwa operatora { E} [(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))]=\ nazwa operatora {E} [X_{t_{1}}Y_{t_{2}}]-\mu _{X}(t_{1})\mu _{Y}(t_{2}).\,}

Kowariancja krzyżowa jest związana z częściej stosowaną korelacją krzyżową omawianych procesów.

W przypadku dwóch losowych wektorów ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {p}) ^ {\ rm {T}}}$ i ${\ rm {T}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Y} = (Y_ {1}, Y_ {2}, \ ldots, Y_ { q$ $q}$ kowariancja krzyżowa byłaby za ${\ displaystyle p \ razy$ (często oznaczony ${\ Displaystyle \ operatorname {cov} (X, Y)}$ ) z wpisami ${\ Displaystyle \ operatorname {K} _ {XY} (j, k) = \ operatorname {cov} (X_ {j}, Y_ {k}). \,} Zatem termin kowariancja krzyżowa jest używany$ w celu rozróżnienia to pojęcie z kowariancji wektora losowego , który jest $rozumiany$ jako macierz kowariancji między skalarnymi składnikami samego ${\ displaystyle \ mathbf {X}}}$

W przetwarzaniu sygnałów kowariancja krzyżowa jest często nazywana korelacją krzyżową i jest miarą podobieństwa dwóch sygnałów , powszechnie używaną do znajdowania cech nieznanego sygnału poprzez porównanie go ze znanym. Jest to funkcja względnego czasu między sygnałami, jest czasami nazywana iloczynem przesuwanej kropki i ma zastosowanie w rozpoznawaniu wzorców i kryptoanalizie .

Kowariancja krzyżowa wektorów losowych

Kowariancja krzyżowa procesów stochastycznych

Definicję kowariancji krzyżowej wektorów losowych można uogólnić na procesy stochastyczne w następujący sposób:

Definicja

Niech ${\ Displaystyle \ {X (t) \}}$ i ${\ Displaystyle \ {Y (t) \}}$ oznaczają procesy stochastyczne. Następnie funkcja kowariancji krzyżowej procesów jest definiowana przez: ${\ displaystyle K_ {XY}}$

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {K} _ {XY} (t_ {1}, t_ {2}) {\ stackrel {\ operatorname {def} }{=}} \ \ nazwa operatora { cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\nazwa operatora {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1} )\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]}

()

gdzie ${\ Displaystyle \ mu _ {X} (t) = \ nazwa operatora {E} \ lewo [X (t) \ prawo]}$ i ${\ Displaystyle \ mu _ {Y} (t) = \ nazwa operatora {E} \ lewo [Y (t) \ prawo]}$ .

Jeśli procesy są procesami stochastycznymi o wartościach zespolonych , drugi czynnik musi być złożony sprzężony :

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {K} _ {XY} (t_ {1}, t_ {2}) {\ stackrel {\ operatorname {def} }{=}} \ \ nazwa operatora {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\nazwa operatora {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1 })\right){\overline {\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)}}\right]}

Definicja wspólnych procesów WSS

Jeśli ${\ Displaystyle \ lewo \ {X_ {t} \ prawo \}}$ i ${\ Displaystyle \ lewo \ {Y_ {t} \ prawo \}}$ są wspólnie szeroko rozumianymi stacjonarnymi , wtedy prawdziwe są następujące zdania:

{\ Displaystyle \ mu _ {X} (t_ {1}) = \ mu _ {X} (t_ {2}) \ trójkąt q \ mu _ { X}}

dla wszystkich

{\ Displaystyle t_ {1}, t_ {2}}

,

{\ Displaystyle \ mu _ {Y} ( t_ {1}) = \ mu _ {Y} (t_ {2}) \ trójkąt q \ mu _ {Y}}

dla wszystkich

{\ Displaystyle t_ {1}, t_ {2}}

I

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {K} _ {XY} (t_ {1}, t_ {2}) = \ nazwa operatora {K} _ {XY} (t_ {2} -t_ {1}, 0)}

dla wszystkich

{\ Displaystyle t_ {1}, t_ {2}}

Ustawiając (opóźnienie czasowe lub czas, o jaki sygnał został przesunięty), możemy zdefiniować ${\ Displaystyle \ tau = t_ {2} -t_ {1}}$

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {K} _ {XY} (\ tau) = \ nazwa operatora {K} _{XY}(t_{2}-t_{1})\triangleq \nazwa_operatora {K} _{XY}(t_{1},t_{2})}

.

Funkcja kowariancji krzyżowej dwóch połączonych procesów WSS jest zatem dana wzorem:

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {K} _ {XY} (\ tau) = \ nazwa operatora {cov} (X_ {t}, Y_ {t- \ tau}) = \ nazwa operatora {E} [( X_{t}-\mu _{X})(Y_{t-\tau }-\mu _{Y})]=\operatorname {E} [X_{t}Y_{t-\tau}]-\ mu _{X}\mu _{Y}}

()

co jest równoważne

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {K} _ {XY} (\ tau) = \ nazwa operatora {cov} (X_ {t + \ tau}, Y_ {t}) = \ nazwa operatora {E} [(X_ {t+\tau }-\mu _{X})(Y_{t}-\mu _{Y})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }Y_{t}]-\mu _{ X}\mu _{Y}}

.

Nieskorelowanie

$_$ procesy nazywane $,$ _ _ _ ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2})}$ wynosi zero dla wszystkich czasów. Formalnie:

{\ Displaystyle \ lewo \ {X_ {t} \ prawo \} \ lewo \ {Y_ {t}\right\}{\text{ nieskorelowane}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y}}(t_{1},t_{2})= 0\quad \forall t_{1},t_{2}}

.

Kowariancja krzyżowa sygnałów deterministycznych

Kowariancja krzyżowa jest również istotna w przetwarzaniu sygnałów , gdzie kowariancję krzyżową między dwoma stacjonarnymi procesami losowymi o szerokim znaczeniu można oszacować przez uśrednienie iloczynu próbek zmierzonych z jednego procesu i próbek zmierzonych z drugiego (i jego przesunięć w czasie). Próbki zawarte w średniej mogą stanowić dowolny podzbiór wszystkich próbek w sygnale (np. próbki w skończonym oknie czasowym lub podpróbkowanie jednego z sygnałów). Dla dużej liczby próbek średnia zbiega się do prawdziwej kowariancji.

Kowariancja krzyżowa może również odnosić się do „deterministycznej” kowariancji krzyżowej między dwoma sygnałami. Polega to na zsumowaniu wszystkich wskaźników czasowych. Na przykład dla sygnałów $\$ czasie dyskretnym i kowariancja krzyżowa jest zdefiniowana jako $}$