Macierz korelacji krzyżowych dwóch wektorów losowych jest macierzą zawierającą jako elementy korelacje krzyżowe wszystkich par elementów wektorów losowych. Macierz korelacji krzyżowych jest wykorzystywana w różnych algorytmach cyfrowego przetwarzania sygnałów.
Definicja
dwóch losowych _ 
zawiera losowe elementy , których oczekiwano istnieje wartość i wariancja , macierz korelacji krzyżowych i jest zdefiniowana przez 
![{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1337f507d7cb6918d742ae2f029e0554013f7a58)
i ma wymiary 
. Napisane komponentowo:
![{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\\\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfaf0f3923eafd144f762732bbaa951102ed00bb)
Wektory losowe nie mieć tego samego wymiaru i oba mogą być wartościami
Przykład
Na przykład, jeśli 
i 
są losowych 
jest której -ty wpis to ![{\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e511d6ea021c2d4b0579f621faec897ec52a1999)
.
Złożone wektory losowe
Z 
i 
wektorami losowymi , z których każdy zawiera zmienne losowe, których wartość 
i wariancja istnieją, macierz korelacji krzyżowych i jest zdefiniowana przez 
![{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96a25804b6f71adb2dd4366a18cc65e96553d88)
gdzie 
transpozycję hermitowską .
Nieskorelowanie
= i nazywane są nieskorelowanymi , jeśli
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a8bb45997c59ac08d38c6073ad03c832d11abf6)
macierz kowariancji krzyżowych wynosi zero
W przypadku dwóch złożonych wektorów losowych i nazywa się je nieskorelowanymi, jeśli
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e653a5949cb26600c65a6d23c16310eae1e9867f)
I
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {T}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500e14ec28154556c9b0aa741d1b036af7b7a67f)
Nieruchomości
Związek z macierzą kowariancji krzyżowych
Korelacja krzyżowa jest powiązana z macierzą kowariancji krzyżowej w następujący sposób:
![{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\rm {T}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d58fc3b03892e013a545da3322c2d4942d7314e)
- Odpowiednio dla złożonych wektorów losowych:
![{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])^{\rm {H}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b852cac5898146e76309d2f9d00ac163d1d65a)
Zobacz też
Dalsza lektura
