Argument maks

Na przykład, zarówno nieznormalizowane, jak i znormalizowane funkcje sinc powyżej mają

,

ponieważ obie osiągają swoją globalną maksymalną wartość 1 przy x = 0. Nieznormalizowana funkcja sinc (czerwona) ma arg min {-4,49, 4,49}, w przybliżeniu, ponieważ ma 2 globalne minimalne wartości w przybliżeniu -0,217 przy x = ± 4,49. Jednak znormalizowana funkcja sinc (niebieska) ma arg min w przybliżeniu {−1,43, 1,43}, ponieważ ich globalne minima występują przy x = ± 1,43, mimo że minimalna wartość jest taka sama.

W matematyce argumenty maksimów (w skrócie arg max lub argmax ) to punkty lub elementy dziedziny pewnej funkcji , w której wartości funkcji są maksymalizowane . W przeciwieństwie do maksimów globalnych , które odnoszą się do największych wyjść funkcji, arg max odnosi się do wejść lub argumentów , przy których wyjścia funkcji są tak duże, jak to tylko możliwe.

Definicja

Biorąc pod uwagę dowolny zestaw $argmax$ , całkowicie uporządkowany zestaw i funkcję, { $f \ okrężnica X \ do Y}$ $\ Displaystyle$ displaystyle ${argmax} }$ $\$ operatorname na pewnym podzbiorze z $jest$ ${\ displaystyle X}$ zdefiniowany przez S { \ displaystyle S

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {argmax} _ {S} f: = {\ underset {x \ w S} {\ nazwa operatora {arg \, max}}} \, f (x): = \ {x \ w S ~ :~f(s)\leq f(x){\text{dla wszystkich }}s\w S\}.}

Jeśli z kontekstu wynika jasno, to często jest pomijany, jak w przypadku za ${\ Displaystyle {\ underset {x} {\ nazwa operatora {arg \, max}}} \, f (x): = \ {x ~: ~ f (s) \ równoważnik f (x) {\ tekst {dla wszystkich }} s \ w X \}.}$ $S}$ $S = X}$ ${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in X\}.$ S $displaystyle$ Innymi słowy, $}$ ${\ Displaystyle f (x)$ to zbiór punktów , dla których osiąga się $}$ największa wartość funkcji (jeśli istnieje). $,$ może być pustym zbiorem singletonem lub zawierać wiele elementów.

W dziedzinie analizy wypukłej i analizy wariacyjnej nieco inna definicja jest używana w szczególnym przypadku, w którym ${\ Displaystyle Y = [- \ infty, \ infty] = \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ to rozszerzone liczby rzeczywiste . W tym przypadku, jeśli jest identycznie równy ${\ Displaystyle$ $\ infty}$ na ${\ Displaystyle S}$ to $:= \ varnothing}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {argmax} _ {S}$ (czyli ${\ Displaystyle \ operatorname {argmax} _ {S} \ infty: = \ varnothing}$ ) i poza tym ${\ Displaystyle \ operatorname {argmax} _ {S} f}$ jest zdefiniowane jak powyżej, gdzie w tym przypadku ${\ displaystyle \ operatorname {argmax} _ {S} f}$ można również zapisać jako:

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {argmax} _ {S} f: = \ lewo \ {x \ w S ~: ~ f (x) =\sup {}_{S}f\right\}}

$zachodzi$ podkreśla się, że ta równość obejmująca ${\ displaystyle \ sup {} _ {S} f}$ tylko wtedy , gdy nie jest identyczna na $S}$ . $displaystyle$

Argument min

Pojęcie $($ lub $) ,$ oznacza minimum analogicznie Na przykład,

{\ Displaystyle {\ underset {x \ w S} {\ nazwa operatora {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ dla wszystkich }}s\in S\}}

są $,$ $_$ których najmniejszą Jest to operator komplementarny . za $Displaystyle \ operatorname {arg \, max}}$ \

W szczególnym przypadku, gdzie ${\ Displaystyle Y = [- \ infty, \ infty ] = \ mathbb {R} \ puchar \ {\ pm \ infty \}}$ są rozszerzonymi liczbami rzeczywistymi , jeśli jest identycznie równy $- \ infty}$ $Displaystyle$ na ${\ Displaystyle S},$ następnie ${\ Displaystyle \ operatorname {argmin} _ {S} f: = \ varnothing}$ (czyli ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {argmin} _ {S} - \ infty: = \ varnothing}$ ) i poza tym ${\ Displaystyle \operatorname {argmin} _ {S} f}$ $\ Displaystyle - \ infty}$ zdefiniowany jak powyżej, a ponadto w tym przypadku ( nie identycznie równy ${$ ) również spełnia:

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {argmin} _ {S} f: = \ lewo \ {x \ w S ~: ~ f (x) = \ inf {} _ {S} f \ prawo \}.}

Przykłady i właściwości

Na przykład, jeśli wynosi $\ Displaystyle 1-| x |,}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ Displaystyle x = 0.}$ $tylko$ osiąga swoją maksymalną wartość $0.$ punkcie

{\ Displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, (1- | x |) = \ {0 \}.}

Operator $\$ różni się od operatora $max}$ . Operator $,$ , gdy otrzyma tę samą funkcję, zwraca maksymalną wartość funkcji zamiast punktu lub punktów , które powodują że funkcja osiąga tę wartość; innymi słowy

{\ Displaystyle \ max _ {x} f (x)}

jest elementem w

{\ Displaystyle \ {f (x) ~: ~ f (s) \ równoważnik f (x) {\ tekst {dla wszystkich}} s \ w S \}.}

Jak $max$ może być zbiorem pustym (w takim przypadku maksimum jest niezdefiniowane) lub singletonem, ale w przeciwieństwie do ${\ displaystyle \ operatorname {argmax},}$ ${\ displaystyle \operatorname {max}}$ ${4} ,}$ $,$ - x wtedy ${\ Displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, \ lewo (4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},}$ ale ${\ Displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {max}}} \, \ lewo (4x ^ {2} -x ^ {4} \ prawej) = \ {4 \}}$ ponieważ funkcja osiąga tę samą wartość w każdym elemencie ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {argmax}.}$

Równoważnie, jeśli jest maksimum $\ displaystyle$ to $\ operatorname {argmax}}$ jest zestawem poziomów maksimum: ${\ displaystyle M}$

{\ Displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x) = \ {x ~: ~ f (x) = M \} =: f ^ {-1} ( M).}

Możemy zmienić kolejność, aby nadać prostą tożsamość

{\ Displaystyle f \ lewo ({\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x) \ prawej) = \ max _ {x} f (x).}

Jeśli maksimum zostanie osiągnięte w jednym punkcie, punkt ten jest często określany jako argmax ${\ displaystyle \$ a $operatorname {argmax}} jest uważany za punkt$ a nie zbiór zwrotnica. więc na przykład

\ Displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R}}} {\ operatorname {arg \, max}}} \ (x (10-x))=5}

(zamiast zestawu singletonowego $-$ $\ Displaystyle x (10-x)}$ ponieważ maksymalna wartość wynosi x $25}$ co występuje dla $x$ $w$ przypadku osiągnięcia maksimum w wielu punktach, należy uznać za zbiór punktów.

Na przykład

{\ Displaystyle {\ underset {x \ w [0,4 \ pi]} {\ operatorname {arg \,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}

ponieważ maksymalna wartość $\ cos x}$ $Displaystyle$ , $1}$ , która występuje w tym lub ${\ Displaystyle 4 \ pi.}$ Na całej linii rzeczywistej

{\ Displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R}} {\ operatorname {arg \, max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},} więc zbiór nieskończony

.

Funkcje na ogół nie muszą osiągać wartości maksymalnej, stąd ${\ displaystyle \ operatorname {argmax}}$ jest czasami zbiorem pustym ; na przykład za $\ varnothing,}$ $x \ in \ mathbb {R}}} {\ operatorname {arg \, max}}} \, x ^ {3$ } $nieograniczony$ ponieważ jest na linii rzeczywistej Jako inny przykład, za ${\ underset {x \ in \ mathbb {R}}} {\ operatorname {arg \, max}}} \, \arctan (x) = \ varnothing ,$ chociaż ${\ Displaystyle \ arctan}$ jest ograniczony przez ${\ Displaystyle \ pm \ pi / 2.}$ Jednakże, zgodnie z twierdzeniem o ekstremalnych wartościach , ciągła wartość rzeczywista funkcja na przedziale zamkniętym ma maksimum, a więc niepusty ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {argmax}.}$

Zobacz też

Notatki

Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26 czerwca 2009). Analiza wariacyjna . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Tom. 317. Berlin Nowy Jork: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313 . OCLC 883392544 .

Linki zewnętrzne

arg min i arg max w PlanetMath .