Twierdzenie o wartościach ekstremalnych

Ten artykuł jest o koncepcji rachunku różniczkowego. Aby zapoznać się z koncepcją statystyczną, zobacz twierdzenie Fishera – Tippetta – Gnedenko .

Funkcja ciągła $Displaystyle [a$ przedziale zamkniętym $]}$ pokazująca absolutne maksimum (czerwony) i absolutne minimum (niebieski)

W rachunku różniczkowym $, że ​​​​jeśli$ o wartościach stwierdza funkcja $wartościach$ rzeczywistych jest ciągła na przedziale zamkniętym , to $\ displaystyle f$ osiągnąć maksimum i minimum , każde co najmniej raz. Oznacza to, że istnieją takie liczby i ${\ displaystyle$$}$ w ${\ Displaystyle [a, b]}$ takie, że:

$${\ Displaystyle f (c) \ geq f (x) \ geq f (d) \ quad \ forall x \ w [a ,B]}$$

Twierdzenie o wartości ekstremalnej jest bardziej szczegółowe niż powiązane twierdzenie o ograniczoności $}$ stwierdza jedynie, że funkcja ciągła na przedziale zamkniętym ograniczona na tym przedziale; $f$ displaystyle to znaczy istnieją liczby rzeczywiste i takie, że: $m}$$displaystyle$

$${\ Displaystyle m \ równoważnik f (x) \ równoważnik M \ quad \ forall x \ w [a, b].}$$

Nie oznacza to, że i są koniecznie maksymalnymi i minimalnymi wartościami w przedziale $M} }$$\ Displaystyle$${\ Displaystyle$$, M$ , co zgodnie z twierdzeniem o wartościach ekstremalnych również musi być prawdą.

Twierdzenie o wartości ekstremalnej służy do udowodnienia twierdzenia Rolle'a . W sformułowaniu Karla Weierstrassa twierdzenie to stwierdza, że ​​funkcja ciągła od niepustej przestrzeni zwartej do podzbioru liczb rzeczywistych osiąga maksimum i minimum.

Historia

Twierdzenie o wartości ekstremalnej zostało pierwotnie udowodnione przez Bernarda Bolzano w latach trzydziestych XIX wieku w pracy Teoria funkcji, ale praca ta nie została opublikowana do 1930 r. Dowód Bolzano polegał na wykazaniu, że funkcja ciągła na przedziale zamkniętym jest ograniczona, a następnie na wykazaniu, że funkcja osiągnęła a wartość maksymalna i minimalna. Oba dowody obejmowały tak zwane twierdzenie Bolzano – Weierstrassa . Wynik został również odkryty później przez Weierstrassa w 1860 r.

Funkcje, do których twierdzenie nie ma zastosowania

Poniższe przykłady pokazują, dlaczego dziedzina funkcji musi być domknięta i ograniczona, aby twierdzenie miało zastosowanie. Każdemu nie udaje się osiągnąć maksimum w danym przedziale.

1. ${\ Displaystyle f (x) = x}$ zdefiniowany przez ${\ Displaystyle [0, \ infty)}$ nie jest ograniczony z góry.
2. ${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {x} {1 + x}}}$ zdefiniowany przez ${\ Displaystyle [0, \ infty)}$ jest ograniczony, ale nie nie osiągnąć najniższej górnej granicy ${\ displaystyle 1}$ .
3. ${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {1} {x}}}$ określony przez ${\ Displaystyle (0,1]}$ nie jest ograniczony z góry.
4. ${\ Displaystyle f (x) = 1-x}$ zdefiniowany przez ${\ Displaystyle (0,1]}$ jest ograniczony, ale nigdy nie osiąga najniższej górnej granicy ${\ Displaystyle 1}$ .

Zdefiniowanie $[$ ostatnich przykładach pokazuje, że oba twierdzenia wymagają ciągłości na $a, b]$ .

Uogólnienie na przestrzenie metryczne i topologiczne

Przechodząc od linii rzeczywistej $i$ przestrzeni metrycznych ogólnych przestrzeni topologicznych , odpowiednim uogólnieniem zamkniętego przedziału ograniczonego jest zbiór zwarty . Mówi się, że zbiór $U_ {\ alfa} \ supset K} ,$ ma następującą właściwość: z każdego zbioru $zbiorów$ otwartych $K {\$ , że skończony podzbiór ${\ Displaystyle U _ {\ alfa _ {1}}, \ ldots, U _ {\ alfa _ {n}}}$ takie, że ${\ textstyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} U _ {\ alfa _ {i}} \ supset K}$ . Jest to zwykle określane w skrócie jako „każda otwarta okładka $. Twierdzenie$ skończoną podpokładkę” Heinego – Borela stwierdza, że ​​​​podzbiór prostej rzeczywistej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno domknięty, jak i ograniczony. Odpowiednio, przestrzeń metryczna ma właściwość Heinego – Borela, jeśli każdy zbiór domknięty i ograniczony jest również zwarty.

Pojęcie funkcji ciągłej można podobnie uogólnić. Biorąc pod $podzbiór W}$ przestrzenie topologiczne $otwartego$ mówi się, że funkcja jest ciągła, jeśli $zbioru$ każdego $U$ , ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (U) \ podzbiór V}$ jest również otwarty. Biorąc pod uwagę te definicje, można wykazać, że funkcje ciągłe zachowują zwartość:

Twierdzenie. Jeśli $W}$$\$$to jest$ przestrzeniami topologicznymi ciągłą i jest , wtedy ${\ Displaystyle f (K) \ podzbiór W}$ jest również zwarty.

$twierdzenie$ jeśli , $i$ to implikuje, że $.$ dla dowolnego zbioru $i$ co z kolei implikuje, że osiąga swoje supremum infimum $na$ dowolnym niepustym ) zbiorze zwartym . Mamy zatem następujące uogólnienie twierdzenia o wartości ekstremalnej:

Twierdzenie. Jeśli $jest$$zbiorem$ zwartym $to$ funkcją ${\ Displaystyle p, q \ in K}$ ograniczona takie, że ${\ textstyle f (p) = \ sup _ {x \ in K} f (x)}$ i ${\ textstyle f (q) = \ inf _ {x \ in K} f (x)}$ .

Nieco bardziej ogólnie, dotyczy to również górnej funkcji półciągłej. (patrz przestrzeń zwarta # Funkcje i przestrzenie zwarte ).

Dowód twierdzeń

Patrzymy na dowód dla górnej $.$ i maksimum Stosując te wyniki do funkcji $minimum$$dolnej$ granicy i wyniku dla . Należy również zauważyć, że wszystko w dowodzie odbywa się w kontekście liczb rzeczywistych .

Najpierw udowodnimy twierdzenie o ograniczoności, które jest krokiem w dowodzie twierdzenia o wartościach ekstremalnych. Podstawowe kroki związane z dowodem twierdzenia o wartości ekstremalnej to:

1. Udowodnić twierdzenie o ograniczoności.
2. ${\ displaystyle f}$ sekwencję tak, aby jej obraz zbiegał się do supremum fa .
3. Pokaż, że istnieje podsekwencja zbieżna do punktu w dziedzinie .
4. Użyj ciągłości, aby pokazać, że obraz podsekwencji jest zbieżny do supremum.

Dowód twierdzenia o ograniczoności

Stwierdzenie Jeśli $\ Displaystyle [a, b]}$ ciągłe na $Displaystyle [a$$b]},$ to jest ograniczone na

$ograniczona$ funkcja nie jest powyżej w przedziale ${\ displaystyle [a, b]}$ . Wtedy dla każdej liczby naturalnej $styl wyświetlania f(x_{n})>n}$ takie, $)$ , $\$$n$ . To definiuje sekwencję ${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ . Ponieważ $}) _ {k \ w \ mathbb {N}}}$ ograniczony, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa implikuje, że istnieje zbieżny podsekwencja $Displaystyle$ z ${\ Displaystyle ({x_ {n}})}$ . Oznacz jego granicę przez ${\ displaystyle x}$ . Ponieważ $jest zamknięty$ on $x}$ displaystyle Ponieważ jest ciągły w $,$ wiemy, że zbiega się do $f (x)}$ rzeczywistej $(x_ {{n} _ {k}}$$n$$Displaystyle$ (ponieważ sekwencyjnie ciągłe w $)$ . Ale ${\ Displaystyle f (x_ {{n} _ {k}})> n_ {k} \ geq k}$$dla$ każdego co oznacza, że ${\ Displaystyle f (x_ {{n} _ {k}})}$ rozbiega się do ${\ Displaystyle + \ infty}$ , sprzeczności. Dlatego $a, b]}$$,$ b . ${\ Displaystyle \ Pudełko}$

Alternatywny dowód

Stwierdzenie Jeśli $\ Displaystyle [a, b]}$ ciągłe na $Displaystyle [a$$b]},$ to jest ograniczone na

Dowód ${\ displaystyle b$ zbiór punktów w $[$$\ Displaystyle$$a, b]}$ taki, że na ${\ Displaystyle [a, p]}$ . Zauważmy, że $a}$$,$ jest $ograniczony$ przez ${\ displaystyle f (a)}$ f . Jeśli ${\ displaystyle e> a}$$e>$ inny punkt, to wszystkie punkty między a $również$ należą do mi za $a}$ . Innymi słowy jest przedziałem zamkniętym na lewym końcu przez $za$$displaystyle a}$ .

Teraz $ciągła$ po prawej stronie w $,$$,$ istnieje że $f (x) -f (a) | <1}$$[a, a + \ delta]$ dla wszystkich w $Displaystyle$ . Tak więc jest ograniczony przez $($$) -1}$$) + 1}$ i ${\ Displaystyle [a, a + \ delta ]}$ w przedziale tak, że wszystkie te punkty należą do ${\ Displaystyle B}$ .

Jak dotąd wiemy, że jest przedziałem o niezerowej długości, zamkniętym na lewym końcu przez za $displaystyle a}$$.$

Następnie ${\ displaystyle B}$ jest ograniczony powyżej przez ${\ displaystyle b}$ . ${\ Displaystyle [a, b]$ zbiór ma supremum w $b$ } nazwijmy to ${\ displaystyle s}$ . Z niezerowej długości możemy wywnioskować, że $displaystyle s> a$$}$ .

Załóżmy, ${\ displaystyle s <b}$ . Teraz $jest$ ciągła w $\$ , stąd istnieje takie, że $Displaystyle \ delta > 0}$${\ Displaystyle | f (x) -f (s) | <1}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x}$ w ${\ Displaystyle [s- \ delta, s + \ delta] }$ tak, że $jest$ w tym przedziale. Ale z $δ$ wynika $delta /2}$$większy$ punkt należący do $powiedzmy$ , który jest niż ${\ Displaystyle s-$ . Zatem ${\ Displaystyle f}$ jest ograniczony na ${\ Displaystyle [a, e]}$ , który zachodzi na ${\ Displaystyle [s- \ delta, s + \ delta]}$ tak fa ${\ displaystyle f}$ jest ograniczony na ${\ Displaystyle [a, s + \ delta ]$ . Jest to jednak sprzeczne z wyższością ${\ displaystyle s}$ .

Dlatego musimy mieć ${\ displaystyle s = b}$ . Teraz $,$$ciągła$ po lewej stronie w $że$ istnieje ${\ Displaystyle | f (x) -f (s) | <1}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x}$ w ${\ Displaystyle [s- \ delta, s]}$ tak, że ${\ displaystyle f}$ jest ograniczony w tym przedziale. Ale z $δ$ wynika $delta /2}$$większy$ punkt należący do $powiedzmy$ , który jest niż ${\ Displaystyle s-$ . Zatem ${\ Displaystyle f}$ jest ograniczony na ${\ Displaystyle [a, e]}$ , który zachodzi na ${\ Displaystyle [s- \ delta, s]}$ tak, że ${\ displaystyle f} displaystyle f}$ jest ograniczony do ${\ displaystyle [a, s]}$ . ∎

Dowód twierdzenia o wartości ekstremalnej

Na mocy twierdzenia o ograniczeniu f jest ograniczone z góry, a zatem przez zupełność Dedekinda liczb rzeczywistych istnieje najmniejsza górna granica (supremum) M z f . Konieczne jest znalezienie punktu d w [ a , b ] takiego, że M = f ( d ). Niech n będzie liczbą naturalną. Ponieważ M jest najmniejszą górną granicą, M – 1/ n nie jest górną granicą dla f . Istnieje zatem d _n w [ a , b ] takie, że M – 1/ n < f ( d _n ). To definiuje sekwencję { d _n }. Ponieważ M jest górną granicą f , mamy M – 1/ n < f ( d _n ) ≤ M dla wszystkich n . Dlatego sekwencja { f ( d _n )} jest zbieżna do M .

Bolzano – Weierstrassa mówi nam, że istnieje podsekwencja $d$ która zbiega się do pewnego i ponieważ [ a , b ] jest domknięte, d jest a , b ]. Ponieważ f $się$ ciągłe w punkcie d , sekwencja zbiega fa ( re ) Ale { f ( d _{n k} )} jest podciągiem { f ( d _n )} zbieżnym do M , więc M = f ( d ). Dlatego f osiąga swoje supremum M w d . ∎

Alternatywny dowód twierdzenia o wartości ekstremalnej

Zbiór { y ∈ R : y = f ( x ) dla pewnego x ∈ [ a , b ]} jest zbiorem ograniczonym. Stąd jego najmniejsza górna granica istnieje przez właściwość najmniejszej górnej granicy liczb rzeczywistych. Niech M = sup( fa ( x )) na [ za , b ] . Jeśli nie ma punktu x na [ a , b ] tak, że f ( x ) = M , to f ( x ) < M na [ a , b ]. Zatem 1/( M − f ( x )) jest ciągłe na [ a , b ].

Jednak dla każdej liczby dodatniej ε zawsze jest jakieś x w [ a , b ] takie, że M − f ( x ) < ε , ponieważ M jest najmniejszą górną granicą. Stąd 1/( M − f ( x )) > 1/ ε , co oznacza, że ​​1/( M − f ( x )) nie jest ograniczone. Ponieważ każda funkcja ciągła na a [ a , b ] jest ograniczona, przeczy to wnioskowi, że 1/( M − f ( x )) była ciągła na [ a , b ]. Dlatego w [ a , b ] musi istnieć taki punkt x , że f ( x ) = M . ∎

Dowód za pomocą hiperrzeczywistych

₀₀ W przypadku niestandardowego rachunku różniczkowego niech N będzie nieskończoną liczbą hipercałkowitą . Przedział [0, 1] ma naturalne rozszerzenie hiperrealne. Rozważmy jego podział na N podprzedziałów o równej nieskończenie małej długości 1/ N , z punktami podziału x _i = i / N , ponieważ i „przebiega” od 0 do N . Funkcja ƒ jest również naturalnie rozszerzona do funkcji ƒ * zdefiniowanej na hiperrzeczywistych między 0 a 1. Należy zauważyć, że w ustawieniu standardowym (gdy N jest skończone), punkt o maksymalnej wartości ƒ zawsze można wybrać spośród N + 1 punkty x _i , przez indukcję. Stąd, zgodnie z zasadą przenoszenia , istnieje hiperliczba całkowita i taka, że ​​0 ≤ ja ≤ N i ${\ Displaystyle f ^ {*} (x_ {i_ {0}}) \geq f^{*}(x_{i})}$ dla wszystkich i = 0, ..., N . Rozważ prawdziwy punkt

$${\ Displaystyle c = \ mathbf {st} (x_ {i_ {0}})}$$

gdzie st jest funkcją części standardowej . Dowolny punkt rzeczywisty x leży w odpowiednim podprzedziale podziału, a mianowicie ${\ Displaystyle x \ in [x_ {i}, x_ {i + 1}]}$ , więc że st ( x _ja ) = x . Stosowanie st do nierówności ${\ Displaystyle f ^ {*} (x_ {i_ {0}}) \ geq f ^ {*} (x_ {i})}$ , s $(x_ {i_ {0}})) \ geq \ mathbf {st} (f^{*}(x_{i}))}$ . Przez ciągłość ƒ mamy

${\ Displaystyle \ mathbf {st} (f ^ {*} (x_ {i_ { 0}}))=f(\mathbf {st} (x_{i_{0}}))=f(c)}$ .

Stąd ƒ ( c ) ≥ ƒ ( x ), dla wszystkich rzeczywistych x , udowadniając, że c jest maksimum ƒ .

Dowód z pierwszych zasad

Stwierdzenie Jeśli jest ciągłe na $Displaystyle [a$$b]},$$, b] }$ to osiąga swoje supremum na

Dowód przez twierdzenie o ograniczeniach jest ograniczony powyżej na $a, b]}$${\ Displaystyle [a, b]}$$Displaystyle$ przez właściwość kompletności liczb rzeczywistych ma supremum . Nazwijmy to ${\ Displaystyle M}$ lub ${\ Displaystyle M [a, b]}$ . $,$ że ograniczenie do podprzedziału $[$$}$${\ Displaystyle M [a, x]}$ gdzie ma supremum , który jest mniejszy lub równy ${\ Displaystyle M}$ i że ${\ Displaystyle M [a, x]}$ wzrasta od ${ \ displaystyle f (a)}$$\ displaystyle a}$ M $\ displaystyle M}$ , gdy wzrasta od ${$ do ${\ displaystyle b}$ .

Jeśli ${\ displaystyle f (a) = M},$ to skończymy. Załóżmy więc, że ${\ Displaystyle f (a) <M}$ i niech ${\ Displaystyle d = Mf (a)}$ . Rozważmy zbiór $[$ w [ $\ Displaystyle$$a, b]}$ taki, że $\ Displaystyle M [a, x ]<M}$ .

Oczywiście ${\ Displaystyle a \ in L}$ ; ponadto jeśli $w,$$to$ wszystkie punkty między $mi$$}$ należą do $\ displaystyle L$${\ Displaystyle M [a, x]}$ , ponieważ jest rosnący monotonicznie. Stąd jest niepustym przedziałem zamkniętym na lewym końcu przez $displaystyle a}$$\$ .

Teraz $ciągła$ po prawej stronie w $,$$,$ istnieje że ${\ Displaystyle | f (x) -f (a) | <d/2}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x}$ w ${\ Displaystyle [a, a + \ delta]}$ . $mniejszy$ więc jest niż w przedziale $[a, a + \ delta ]}$$\ Displaystyle$ tak, że wszystkie te punkty należą do ${\ Displaystyle L}$ .

Następnie, $:$ góry $\ displaystyle s$ przez $to$${$ ma supremum w . Z powyższego wynika, że ${\ displaystyle s> a}$ . Pokażemy, że $($$s) = M}$ s $)$ = .

Załóżmy, że jest odwrotnie, tj. ${\ Displaystyle f (s) <M}$ . Niech ${\ Displaystyle d = Mf (s)}$ i rozważmy następujące dwa przypadki:

1. ${\ displaystyle s <b}$ . Ponieważ jest ciągła w $punkcie$ , istnieje takie, że $s$$}$${\ Displaystyle | f (x) -f (s) | <d/2}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x}$ w ${\ Displaystyle [s-\ delta, s+\delta ]}$ . Oznacza to, że $}$${ \$$w$ przedziale [ . Ale z wyższości wynika , że ​​istnieje punkt, $\$ , należący do $L}$$Displaystyle$ który jest większy niż ${\ Displaystyle s-\ delta}$ . Z definicji ${\ Displaystyle L}$ , ${\ Displaystyle M [a, e] <M}$ . Niech $]}$$\ Displaystyle [a, e] }$ wtedy dla wszystkich $]$ [ , ${\ Displaystyle f (x) \ równoważnik Md_ {1}}$ . Biorąc $\ Displaystyle d_ {2}}$${ \ Displaystyle f (x) \ równoważnik Md_ {2}}$$}$ { \ ${1}$ , mamy dla wszystkich $Displaystyle$ [ $[a, s + \ delta]}$ . Stąd ${\ Displaystyle M [a, s + \ delta] <M}$ tak, że ${\ Displaystyle s + \ delta \ w L}$ . $Jest$ to jednak sprzeczne z wyższością kończy dowód.
2. ${\ displaystyle s = b}$ . Ponieważ jest ciągła po lewej stronie w $,$ istnieje $displaystyle$ że $s}$${\ Displaystyle | f (x) -f (s) | <d/2}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x}$ w ${\ Displaystyle [s- \ delta, s] }$ . Oznacza to, że $Displaystyle [s- \$$w$ przedziale [ $s]$ delta Ale z wyższości wynika , że ​​istnieje punkt, $\$ , należący do $L}$$Displaystyle$ który jest większy niż ${\ Displaystyle s-\ delta}$ . Z definicji ${\ Displaystyle L}$ , ${\ Displaystyle M [a, e] <M}$ . Niech $]}$$\ Displaystyle [a, e] }$ wtedy dla wszystkich $]$ [ , ${\ Displaystyle f (x) \ równoważnik Md_ {1}}$ . Biorąc ${\ Displaystyle d_ {2}}$$,$${ \ Displaystyle f (x) \ równoważnik Md_ {2}}$ { \ $}$ mamy dla wszystkich $Displaystyle$ [ $[a, b]}$ . Jest to sprzeczne z supremacją $i$ dowód.

Rozszerzenie funkcji półciągłych

Jeśli ciągłość funkcji f zostanie osłabiona do półciągłości , to odpowiednia połowa twierdzenia o ograniczoności i twierdzenia o wartości ekstremalnej jest zachowana, a wartości odpowiednio –∞ lub +∞ z rozszerzonej rzeczywistej osi liczbowej można dopuścić jako możliwe wartości. Dokładniej:

Twierdzenie: Jeśli funkcja f : [ a , b ] → [–∞, ∞) jest górnopółciągła, co oznacza, że

$${\ Displaystyle \ limsup _ {y \ do x} f (y) \ równoważnik f (x)$$

dla wszystkich x w [ a , b ], wtedy f jest ograniczona powyżej i osiąga swoje supremum.

Dowód: Jeśli f ( x ) = –∞ dla wszystkich x w [ a , b ], to supremum jest również –∞ i twierdzenie jest prawdziwe. We wszystkich innych przypadkach dowód jest niewielką modyfikacją dowodów podanych powyżej. W dowodzie twierdzenia o ograniczoności górna półciągłość f w punkcie x implikuje tylko, że górna granica podciągu { f ( x _{n k} )} jest ograniczona powyżej przez f ( x ) < ∞, ale to wystarczy, aby uzyskać sprzeczność. W dowodzie twierdzenia o wartościach ekstremalnych górna półciągłość f w d implikuje, że górna granica podciągu { f ( d _{n k} )} jest ograniczona powyżej przez f ( d ), ale to wystarczy, aby stwierdzić, że f ( re ) = M . ∎

Zastosowanie tego wyniku do − f dowodzi:

Twierdzenie: Jeśli funkcja f : [ a , b ] → (–∞, ∞] jest dolna półciągła, co oznacza, że

$${\ Displaystyle \ liminf _ {y \ do x} f (y) \ geq f (x)}$$

dla wszystkich x w [ a , b ], to f jest ograniczone poniżej i osiąga infimum .

Funkcja o wartościach rzeczywistych jest zarówno górna, jak i dolna półciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w zwykłym sensie. Stąd te dwa twierdzenia implikują twierdzenie o ograniczoności i twierdzenie o wartości ekstremalnej.

Dalsza lektura

•   Adams, Robert A. (1995). Rachunek różniczkowy: kompletny kurs . Czytanie: Addison-Wesley. s. 706–707. ISBN 0-201-82823-5 .
•   Protter, MH ; Morrey, CB (1977). „Twierdzenia o ograniczeniu i wartościach ekstremalnych” . Pierwszy kurs analizy rzeczywistej . Nowy Jork: Springer. s. 71–73. ISBN 0-387-90215-5 .

Linki zewnętrzne

• Dowód twierdzenia o wartości ekstremalnej przy przecięciu węzła
• Twierdzenie o wartości ekstremalnej autorstwa Jacqueline Wandzura z dodatkowym wkładem Stephena Wandzury, projekt Wolfram Demonstrations .
• Weisstein, Eric W. „Twierdzenie o wartościach ekstremalnych” . MathWorld .
• Dowód systemu Mizar : http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15