Radian

Aby zapoznać się z miarą promieniowania jonizującego, zobacz Rad (jednostka) . W przypadku innych zastosowań zobacz Radian (ujednoznacznienie) .

Radian
Łuk okręgu o tej samej długości co promień tego okręgu opiera się na kącie 1 radiana. Obwód tworzy kąt 2 π radianów.
Informacje ogólne
System jednostkowy	SI
Jednostką	kąt
Symbol	rad
Konwersje
1 rad w ...	... jest równe ...
miliradianów	1000 mradów
obraca się	1/2 _ π _ obrotu
stopni	180 / π ° ≈ 57,296°
gradiany	200 / π g ≈ 63,662 g

Radian , oznaczony symbolem rad , jest jednostką kąta w Międzynarodowym Układzie Jednostek ( SI ) i jest standardową jednostką miary kąta stosowaną w wielu obszarach matematyki . Jednostka ta była wcześniej jednostką uzupełniającą SI (zanim kategoria ta została zniesiona w 1995 r.). Radian jest zdefiniowany w SI jako jednostka bezwymiarowa , gdzie 1 rad = 1. W związku z tym jego symbol jest często pomijany, szczególnie w pismach matematycznych.

Definicja

Jeden radian definiuje się jako kąt wyznaczony przez środek koła, przecinający łuk o długości równej promieniowi okręgu. Mówiąc bardziej ogólnie, wielkość zadanego kąta w radianach jest równa stosunkowi długości łuku do promienia okręgu; to znaczy $gdzie$ θ to kąt w radianach, s to długość , a r promień. Kąt prosty ma dokładnie ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ radianów.

Kąt obrotu (360 °) odpowiadający jednemu pełnemu obrotowi to długość obwodu podzielona przez promień, czyli $}}}$ { \ displaystyle {\ frac {2 \ pi r} { r . Zatem 2 π radianów równa się 360 stopniom.

Zależność 2 π rad = 360 ° można wyprowadzić ze wzoru na długość łuku , ${\textstyle \ell _ {\text{łuk}}=2\pi r\lewo ( {\tfrac {\theta } 360^{\circ }}}\right)}$ . Ponieważ radian jest miarą kąta opartego na łuku o długości równej promieniowi koła, ${\textstyle 1 = 2 \ pi \ lewo ({\ tfrac {1 {\ tekst {rad}}} {360 ^ {\ circ}}} \ prawo)}$ . Można $_$ _ Mnożenie obu stron przez 360° daje 360° = 2 π rad .

Symbol jednostki

Międzynarodowe Biuro Miar i Wag oraz Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna określają rad jako symbol radianu. Alternatywne symbole, które były używane w 1909 r., to ^c (litera górna c, oznaczająca „miarę koła”), litera r lub indeks górny ^R , ale te warianty są rzadko używane, ponieważ można je pomylić z symbolem stopnia (° ) lub promień (r). Dlatego kąt 1,2 radiana byłby dziś zapisany jako 1,2 rad; archaiczne oznaczenia mogły obejmować 1,2 r, 1,2 ^rad , 1,2 ^c lub 1,2 ^R.

W piśmie matematycznym często pomija się symbol „rad”. Przy ilościowym określaniu kąta w przypadku braku jakiegokolwiek symbolu przyjmuje się radiany, a gdy chodzi o stopnie, używany jest znak stopnia ° .

Analiza wymiarowa

Kąt płaski definiuje się jako θ = s / r , gdzie θ to zadany kąt w radianach, s to długość łuku, a r to promień. Jeden radian odpowiada kątowi, dla którego s = r , stąd 1 radian = 1 m/m . Jednakże rad należy używać wyłącznie do wyrażania kątów, a nie ogólnie do wyrażania stosunków długości. Podobne obliczenia wykorzystujące powierzchnię sektora kołowego θ = 2 A / r ² daje 1 radian jako 1 m ² /m ² . Kluczowym faktem jest to, że radian jest bezwymiarową jednostką równą 1 . W SI 2019 radian definiuje się odpowiednio jako 1 rad = 1 . Stosowanie rad = 1 jest od dawna ugruntowaną praktyką w matematyce i we wszystkich dziedzinach nauki . W 1993 roku Amerykańskiego Stowarzyszenia Nauczycieli Fizyki stwierdził, że radian powinien wyraźnie pojawiać się w ilościach tylko wtedy, gdy przy użyciu innych miar kąta można byłoby uzyskać inne wartości liczbowe, np. miarę kąta (rad), prędkość kątową (rad/s), przyspieszenie kątowe (rad/s ² ) i sztywność skrętną (N⋅m/rad), a nie w wielkościach momentu obrotowego (N⋅m) i momentu pędu ( kg⋅m2 ^/ s).

Giacomo Prando mówi, że „obecny stan rzeczy nieuchronnie prowadzi do widmowych pojawiań się i zanikań radianów w analizie wymiarowej równań fizycznych”. Na przykład obiekt zawieszony na sznurku krążka podniesie się lub opadnie o y = rθ centymetrów, gdzie r to promień krążka w centymetrach, a θ to kąt, pod jakim krążek obraca się w radianach. Po pomnożeniu r przez θ jednostka radianów znika z wyniku. Podobnie we wzorze na prędkość kątową toczącego się koła, ω = v / r , radiany pojawiają się w jednostkach ω , ale nie po prawej stronie. Anthony French nazywa to zjawisko „odwiecznym problemem w nauczaniu mechaniki”. Oberhofer twierdzi, że typowa rada ignorowania radianów podczas analizy wymiarowej i dodawania lub usuwania radianów w jednostkach zgodnie z konwencją i wiedzą kontekstową jest „niesatysfakcjonująca z pedagogicznego punktu widzenia”.

Co najmniej kilkunastu naukowców w latach 1936–2022 przedstawiło propozycje traktowania radianu jako podstawowej jednostki miary określającej własny wymiar „kąta”. Przegląd propozycji dokonany przez Quincey’a wyróżnia dwie klasy propozycji. Pierwsza opcja zmienia jednostkę promienia na metry na radian, ale jest to niezgodne z analizą wymiarową dla pola koła π r ² . Inną opcją jest wprowadzenie stałej wymiarowej. Według Quinceya podejście to jest „logicznie rygorystyczne” w porównaniu z SI, ale wymaga „modyfikacji wielu znanych równań matematycznych i fizycznych”.

W szczególności Quincey identyfikuje propozycję Torrensa, aby wprowadzić stałą η równą 1 odwrotnemu radianowi (1 rad ^-1 ) w sposób podobny do wprowadzenia stałej ε ₀ . Dzięki tej zmianie wzór na kąt wyznaczony w środku koła, s = rθ , zostaje zmodyfikowany do postaci s = ηrθ , a szereg Taylora dla sinusa kąta θ przyjmuje postać:

$${\ Displaystyle \ operatorname {Grzech} \ theta = \ sin _ {\ tekst {rad}} (\ eta \ theta) = \ eta \ theta - {\ Frac {(\ eta \ theta) ^ {3}} {3 !}}+{\frac {(\eta \theta )^{5}}{5!}}-{\frac {(\eta \theta )^{7}}{7!}}+\cdots .}$$

Funkcja pisana wielką literą Sin jest funkcją „pełną”, która przyjmuje argument o wymiarze kąta i jest niezależna od wyrażanych jednostek, podczas gdy sin _rad to tradycyjna funkcja na czystych liczbach , która zakłada, że ​​jej argument jest podany w radianach. można oznaczyć ${\ displaystyle \ operatorname {grzech}},$$jeśli$ jasne, że chodzi o pełną formę.

SI można rozpatrywać w odniesieniu do tych ram jako naturalny układ jednostek , w którym zakłada się, że równanie η = 1 zawiera, lub podobnie, 1 rad = 1 . Ta konwencja radianów pozwala na pominięcie η we wzorach matematycznych.

Stała wymiarowa kąta jest „raczej dziwna”, a trudność w modyfikowaniu równań w celu dodania stałej wymiarowej prawdopodobnie wykluczy jej powszechne użycie. Zdefiniowanie radianu jako jednostki podstawowej może być przydatne w oprogramowaniu, w którym wada dłuższych równań jest minimalna. Na przykład Boost definiuje jednostki kąta z wymiarem plane_angle , a system jednostek programu Mathematica podobnie uważa, że ​​kąty mają wymiar kąta.

Konwersje

Konwersja kątów wspólnych Zakręty Radiany Stopni Gradianie 0 obrotów 0 rad 0° 0G 1/24 _ _ obrotu π / 12 rad 15° 16 + 2 / 3 g 1/16 _ _ obrotu π / 8 rad 22,5° 25 gr 1/12 _ _ obrotu π / 6 rad 30° 33 + 1/3 _ _ g 1/10 _ _ obrotu π / 5 rad 36° 40 gr 1/8 _ _ obrotu π / 4 rad 45° 50 gr 1/2 _ π _ obrotu 1 rad C. 57,3° C. 63,7 g 1/6 _ _ obrotu π / 3 rad 60° 66 + 2/3 _ _ g 1/5 _ _ obrotu 2 π / 5 rad 72° 80 gr 1/4 _ _ obrotu π / 2 rad 90° 100 gr 1/3 _ _ obrotu 2 π / 3 rad 120° 133 + 1/3 _ _ g 2/5 _ _ obrotu 4 π / 5 rad 144° 160 gr 1/2 _ _ obrotu π rad 180° 200 gr 3/4 _ _ obrotu 3 π / 2 rad 270° 300 gr 1 tura 2 π rad 360° 400 gr

Między stopniami

$. Zatem$ , jeden radian $pomnóż$ aby przeliczyć radiany na przez

${\ Displaystyle {\ tekst {kąt w stopniach}} = {\ tekst {kąt w radianach}} \ cdot {\ Frac {180 ^ {\ circ}} {\ pi} }}$

Na przykład:

${\ Displaystyle 1 {\ tekst {rad}} = 1 \ cdot {\ Frac {180 ^ {\ circ}} {\ pi}} \ około 57,2958 ^ {\ circ} }$

${\ Displaystyle 2,5 {\ tekst {rad}} = 2,5 \ cdot {\ Frac {180 ^ {\ circ}} {\ pi}} \ około 143,2394 ^ {\ circ }}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {3}} {\ tekst {rad}} = {\ Frac {\ pi} {3}} \ cdot {\ Frac {180 ^ {\ circ}} {\ pi} }=60^{\circ }}$

$przez$ aby przeliczyć stopnie na radiany, .

${\ Displaystyle {\ tekst {kąt w radianach}} = {\ tekst {kąt w stopniach}} \ cdot {\ Frac {\ pi } {180 ^ {\ circ}} }}$

Na przykład:

${\ Displaystyle 1 ^ {\ circ} = 1 ^ {\ circ} \ cdot {\ Frac {\ pi} {180 ^ {\ circ}}} \ około 0,0175 { \text{ rad}}}$

${\ Displaystyle 23 ^ {\ circ} = 23 ^ {\ circ} \ cdot {\ Frac {\ pi} {180 ^ {\ circ}}} \ około 0,4014 { \text{ rad}}}$

Radiany można zamienić na obroty (jeden obrót to kąt odpowiadający obrotowi), dzieląc liczbę radianów przez 2 π .

Między gradianami

radiany równają się jednemu ^obrotowi $,$ czyli z definicji 400 gradianów (400 gradów lub 400 . Aby przeliczyć radiany na gradiany, pomnóż przez ${\ displaystyle 200 ^ {\ tekst {g}} / \ pi}$ i przekonwertować z gradianów na radiany pomnóż przez ${\ displaystyle \ pi / 200 ^ {\text{g}}}$ . Na przykład,

${\ Displaystyle 1,2 {\ tekst {rad}} = 1,2 \ cdot {\ Frac {200 ^ {\ tekst {g}}} {\ pi}} \ około 76,3944 ^ { \text{g}}}$

${\ Displaystyle 50 ^ {\ tekst {g}} = 50 ^ {\ tekst {g}} \ cdot {\ Frac {\ pi} {200^{\text{g}}}}\około 0,7854{\text{rad}}}$

Stosowanie

Matematyka

Niektóre popularne kąty mierzone w radianach. Wszystkie duże wielokąty na tym diagramie są wielokątami foremnymi .

W rachunku różniczkowym i większości innych gałęzi matematyki poza praktyczną geometrią kąty mierzy się w radianach. Dzieje się tak, ponieważ radiany mają matematyczną naturalność, która prowadzi do bardziej eleganckiego sformułowania niektórych ważnych wyników.

Wyniki analizy obejmującej funkcje trygonometryczne można elegancko przedstawić, gdy argumenty funkcji są wyrażone w radianach. Na przykład użycie radianów prowadzi do prostego wzoru granicznego

${\ Displaystyle \ lim _ {h \rightarrow 0} {\ Frac {\ sin h} {h}} = 1,}$

co jest podstawą wielu innych tożsamości w matematyce, w tym

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} \ grzech x = \ cos x}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ grzech x = - \ grzech x.}$

Ze względu na te i inne właściwości funkcje trygonometryczne pojawiają się w rozwiązaniach problemów matematycznych, które nie są w oczywisty sposób związane ze znaczeniami geometrycznymi funkcji (na przykład rozwiązania równania różniczkowego re 2 y ${ \ tfrac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = -y}$ , ocena całki ${\ displaystyle \textstyle \ int {\ frac {dx} 1+x^{2}}},}$ i tak dalej). We wszystkich takich przypadkach okazuje się, że argumenty funkcji są w najbardziej naturalny sposób zapisywane w formie, która w kontekście geometrycznym odpowiada radianowej mierze kątów.

Funkcje trygonometryczne mają również proste i eleganckie rozwinięcia szeregowe, gdy używane są radiany. Na przykład, gdy x jest wyrażone w radianach, szereg Taylora dla sin x ma postać:

${\ Displaystyle \ sin x = x - {\ Frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ Frac {x ^ {7} }{7!}}+\cdots .}$

Jeśli x byłoby wyrażone w stopniach, wówczas szereg zawierałby niejasne czynniki obejmujące potęgi π /180: jeśli x jest liczbą stopni, liczba radianów wynosi y = π x / 180 , więc

${\ Displaystyle \ sin x _ {\ operatorname {stopień}} = \ sin y _ {\ operatorname {rad}} = {\ Frac {\ pi} {180}} x- \ lewo ({\ Frac {\ pi} } }}\right)^{3}\ {\frac {x^{3}}{3!}}+\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{5}\ {\ frac {x^{5}}{5!}}-\lewo({\frac {\pi }{180}}\prawo)^{7}\ {\frac {x^{7}}{7!} }+\cdots .}$

można elegancko przedstawić matematycznie ważne relacje między funkcjami sinus i cosinus oraz funkcją wykładniczą (patrz na przykład wzór Eulera ), gdy argumenty funkcji są wyrażone w radianach (w przeciwnym razie jest to chaotyczne).

Fizyka

Radian jest szeroko stosowany w fizyce , gdy wymagane są pomiary kątowe. Na przykład prędkość kątowa jest zwykle wyrażana w radianach na sekundę (rad/s). Jeden obrót na sekundę odpowiada 2 π radianom na sekundę.

Podobnie jednostką używaną do określenia przyspieszenia kątowego jest często radian na sekundę na sekundę (rad/s2 ⁾ .

Na potrzeby analizy wymiarowej jednostkami prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego są odpowiednio s ^-1 i s ^{-2 .}

Podobnie różnicę fazową dwóch fal można również wyrazić za pomocą radianu jako jednostki. Na przykład, jeśli różnica faz dwóch fal wynosi ( n ⋅2 π ) radianów, gdzie n jest liczbą całkowitą, uważa się, że są one w fazie , natomiast jeśli różnica faz dwóch fal wynosi ( n ⋅2 π + π ) z n jest liczbą całkowitą, uważa się, że są one w przeciwfazie.

Przedrostki i warianty

Przedrostki metryczne dla podwielokrotności są używane z radianami. Miliradian (mrad) to tysięczna część radiana (0,001 rad), tj. 1 rad = 10 ³ mrad . W okręgu znajduje się 2 π × 1000 miliradianów (≈ 6283,185 mrad). 1/6283 Zatem . miliradian to nieco mniej niż kąta utworzonego przez pełne koło Ta jednostka miary kątowej okręgu jest powszechnie używana przez producentów celowników teleskopowych stosujących (stadiametryczne) dalmierze w siatkach . Rozbieżność _ wiązek laserowych jest również zwykle mierzone w miliradianach.

Mil kątowy jest przybliżeniem miliradianu używanego przez NATO i inne organizacje wojskowe w artylerii i celowaniu . Każdy mil kątowy reprezentuje 1/6400 1,875 15 koła i jest o / 8 % lub % mniejszy niż miliradian. W przypadku małych kątów zwykle spotykanych podczas celowania wygoda korzystania z liczby 6400 w obliczeniach przewyższa drobne błędy matematyczne, jakie ona wprowadza. W przeszłości inne systemy artyleryjskie stosowały różne przybliżenia do 1 / 2000 π ; na , a 1/6000 . przykład Szwecja użyła serii 1/6300 ZSRR Bazując na miliradianach, NATO mil wynosi około 1 m w odległości 1000 m (przy tak małych kątach krzywizna jest pomijalna).

Przedrostki mniejsze niż mili- są przydatne przy mierzeniu bardzo małych kątów. Mikroradiany (μrad, ^je 10-6 rad ) i nanoradiany (nrad, 10-9 rad ) są wykorzystywane ^{w astronomii i można} również wykorzystać do pomiaru jakości wiązki laserów o bardzo małej rozbieżności. Bardziej powszechna jest sekunda łuku , która wynosi π / 648 000 rad (około 4,8481 mikroradianów).

Historia

Przed XX wiekiem

Pomysł mierzenia kątów na podstawie długości łuku był stosowany przez matematyków dość wcześnie. 1/60 używał Na przykład al-Kashi (ok. 1400 r.) jako jednostek tak zwanych części średnicy , gdzie jedna część średnicy wynosiła radianów. Wykorzystali także podjednostki sześćdziesiętne części średnicy. Newton w 1672 roku mówił o „wielkości kątowej ruchu po okręgu ciała”, ale użył jej jedynie jako miary względnej do opracowania algorytmu astronomicznego.

Koncepcję miary radianów przypisuje się zwykle Rogerowi Cotesowi , który zmarł w 1716 r. Do 1722 r. jego kuzyn Robert Smith zebrał i opublikował pisma matematyczne Cotesa w książce Harmonia mensurarum . W jednym z rozdziałów komentarzy redakcyjnych Smith podał prawdopodobnie pierwsze opublikowane obliczenie jednego radiana w stopniach, cytując notatkę Cotesa, która nie zachowała się. Smith opisał radian we wszystkim oprócz nazwy i uznał jego naturalność za jednostkę miary kąta.

W 1765 roku Leonhard Euler pośrednio przyjął radian jako jednostkę kąta. W szczególności Euler zdefiniował prędkość kątową jako „Prędkość kątowa w ruchu obrotowym to prędkość tego punktu, którego odległość od osi bezwładności wyraża się przez jeden”. Prawdopodobnie Euler jako pierwszy przyjął tę konwencję, zwaną konwencją radianów, która podaje prosty wzór na prędkość kątową ω = v / r . Jak omówiono w § Analiza wymiarowa , konwencja radianów została powszechnie przyjęta, a inne konwencje mają tę wadę, że wymagają stałej wymiarowej, na przykład ω = v/(ηr) .

Zanim termin radian stał się powszechny, jednostkę powszechnie nazywano kołową miarą kąta. Termin radian po raz pierwszy pojawił się drukiem 5 czerwca 1873 r. w pytaniach egzaminacyjnych zadanych przez Jamesa Thomsona (brata Lorda Kelvina ) w Queen's College w Belfaście . Użył tego terminu już w 1871 r., podczas gdy w 1869 r. Thomas Muir , wówczas z Uniwersytetu St Andrews , wahał się między terminami rad , promieniowy i radian . W 1874 roku, po konsultacji z Jamesem Thomsonem, Muir adoptował radian . Przez jakiś czas nazwa radian nie została powszechnie przyjęta. Trygonometria szkolna Longmansa, kiedy została opublikowana w 1890 r. , nadal nazywana jest radianową miarą kołową .

Jako jednostka SI

Jak stwierdził Paul Quincey i in. pisze: „status kątów w Międzynarodowym Układzie Jednostek Miar (SI) od dawna jest źródłem kontrowersji i zamieszania”. W 1960 r. CGPM ustaliło SI i radian został sklasyfikowany jako „jednostka uzupełniająca” wraz ze steradynem. Ta specjalna klasa została oficjalnie uznana za „albo jednostki podstawowe, albo jednostki pochodne”, ponieważ CGPM nie mógł podjąć decyzji, czy radian jest jednostką podstawową, czy pochodną. Richard Nelson pisze: „Ta dwuznaczność [w klasyfikacji jednostek dodatkowych] wywołała ożywioną dyskusję na temat ich właściwej interpretacji”. W maju 1980 r Komitet Konsultacyjny ds. Jednostek (CCU) rozważył propozycję uczynienia radianów podstawową jednostką układu SI przy użyciu stałego ₀ α = 1 rad , ale odrzucił ją, aby uniknąć zmiany obecnej praktyki.

W październiku 1980 r. CGPM zdecydował, że jednostki dodatkowe są bezwymiarowymi jednostkami pochodnymi, w przypadku których CGPM pozwoliło na swobodę ich stosowania lub nieużywania w wyrażeniach jednostek pochodnych SI, na tej podstawie, że „[nie istnieje żaden formalizm], który jest jednocześnie spójne i wygodne i w których wielkości kąt płaski i kąt bryłowy można uznać za wielkości podstawowe” oraz że „[możliwość traktowania radianu i steradynu jako jednostek podstawowych SI] zagraża wewnętrznej spójności SI opartej tylko na siedmiu jednostkach podstawowych „. W 1995 r. CGPM wyeliminowało klasę jednostek dodatkowych i zdefiniowało radian i steradian jako „bezwymiarowe jednostki pochodne, których nazwy i symbole mogą, ale nie muszą, być używane w wyrażeniach innych jednostek pochodnych układu SI, jak jest to wygodne”. Michaił Kalinin w swoim piśmie z 2019 r. skrytykował decyzję CGPM z 1980 r. jako „bezpodstawną” i stwierdził, że w decyzji CGPM z 1995 r. zastosowano niespójne argumenty i wprowadzono „liczne rozbieżności, niespójności i sprzeczności w brzmieniu SI”.

Na posiedzeniu CCU w 2013 r. Peter Mohr wygłosił prezentację na temat rzekomych niespójności wynikających z definiowania radianu jako jednostki bezwymiarowej, a nie jednostki podstawowej. Prezes CCU Ian M. Mills uznał to za „potężny problem” i powołano Grupę Roboczą CCU ds. Kątów i Wielkości Bezwymiarowych w SI . CCU spotkało się ostatnio w 2021 r., ale nie osiągnęło konsensusu. Niewielka liczba członków zdecydowanie twierdziła, że ​​radian powinien być jednostką podstawową, ale większość uważała, że ​​status quo jest do zaakceptowania lub że zmiana spowoduje więcej problemów niż rozwiąże. Powołano grupę zadaniową, która miała między innymi „przeanalizować historyczne zastosowanie dodatkowych jednostek SI i rozważyć, czy ich ponowne wprowadzenie byłoby korzystne”.

Zobacz też

• Częstotliwość kątowa
• Minuta i sekunda łuku
• Steradian , wielowymiarowy analog radianu, który mierzy kąt bryłowy
• Trygonometria

Notatki

•   Międzynarodowe Biuro Miar i Wag (20 maja 2019 r.), Międzynarodowy Układ Jednostek Miar (SI) (PDF) (wyd. 9), ISBN 978-92-822-2272-0 , zarchiwizowane (PDF) od oryginału w dniu 8 maja 2021
• Brinsmade, JB (grudzień 1936). „Kąty płaskie i bryłowe. Ich wartość pedagogiczna po wyraźnym wprowadzeniu”. Amerykański Dziennik Fizyki . 4 (4): 175–179. Bibcode : 1936AmJPh...4..175B . doi : 10.1119/1.1999110 .
• Romain, Jacques E. (lipiec 1962). „Kąt jako czwarta wielkość podstawowa” . Journal of Research of the National Bureau of Standards Sekcja B . 66B (3): 97. doi : 10.6028/jres.066B.012 .
•   Eder, WE (styczeń 1982). „Punkt widzenia na ilość„ Kąt płaszczyzny ” ”. Metrologia . 18 (1): 1–12. Bibcode : 1982Metro..18....1E . doi : 10.1088/0026-1394/18/1/002 . S2CID 250750831 .
•   Torrens, AB (1 stycznia 1986). „O kątach i wielkościach kątowych”. Metrologia . 22 (1): 1–7. Bibcode : 1986Metro..22....1T . doi : 10.1088/0026-1394/22/1/002 . S2CID 250801509 .
• Brownstein, KR (lipiec 1997). „Kąty - traktujmy je prosto”. Amerykański Dziennik Fizyki . 65 (7): 605–614. Kod Bib : 1997AmJPh..65..605B . doi : 10,1119/1,18616 .
• Lévy-Leblond, Jean-Marc (wrzesień 1998). „Kąty wymiarowe i stałe uniwersalne” . Amerykański Dziennik Fizyki . 66 (9): 814–815. Kod Bib : 1998AmJPh..66..814L . doi : 10.1119/1.18964 .
•   Foster, Marcus P. (1 grudnia 2010). „Następne 50 lat SI: przegląd możliwości ery e-nauki” . Metrologia . 47 (6): R41–R51. doi : 10.1088/0026-1394/47/6/R01 . S2CID 117711734 .
• Mohr, Peter J.; Phillips, William D (1 lutego 2015). „Jednostki bezwymiarowe w SI” . Metrologia . 52 (1): 40–47. arXiv : 1409.2794 . Bibcode : 2015Metro..52...40M . doi : 10.1088/0026-1394/52/1/40 .
•   Quincey, Paul (1 kwietnia 2016). „Zakres opcji obsługi kąta płaskiego i kąta bryłowego w układzie jednostek”. Metrologia . 53 (2): 840–845. Bibcode : 2016Metro..53..840Q . doi : 10.1088/0026-1394/53/2/840 . S2CID 125438811 .
•   Mills, Ian (1 czerwca 2016). „W jednostkach radian i cykl dla kąta płaszczyzny ilościowej”. Metrologia . 53 (3): 991–997. Bibcode : 2016Metro..53..991M . doi : 10.1088/0026-1394/53/3/991 . S2CID 126032642 .
•   Quincey, Paul (1 października 2021 r.). „Kąty w SI: szczegółowa propozycja rozwiązania problemu”. Metrologia . 58 (5): 053002. arXiv : 2108.05704 . Bibcode : 2021Metro..58e3002Q . doi : 10.1088/1681-7575/ac023f . S2CID 236547235 .
•   Leonard, BP (1 października 2021 r.). „Propozycja spójnego wymiarowo traktowania kąta i kąta bryłowego przez Międzynarodowy Układ Jednostek (SI)”. Metrologia . 58 (5): 052001. Bibcode : 2021Metro..58e2001L . doi : 10.1088/1681-7575/abe0fc . S2CID 234036217 .
• Mohr, Peter J.; Shirley, Eric L.; Phillips, William D.; Trott, Michael (23 czerwca 2022). „O wymiarze kątów i ich jednostkach” . Metrologia . 59 (5): 053001. arXiv : 2203.12392 . Bibcode : 2022Metro..59e3001M . doi : 10.1088/1681-7575/ac7bc2 .

Linki zewnętrzne

• Media związane z Radianem w Wikimedia Commons