Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

W matematyce , a konkretnie w analizie rzeczywistej , twierdzenie Bolzano – Weierstrassa , nazwane na cześć Bernarda Bolzano i Karla Weierstrassa , jest fundamentalnym wynikiem dotyczącym zbieżności w skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Twierdzenie stwierdza, że $każdy$ nieskończony ograniczony w ma zbieżny . Równoważnym sformułowaniem jest to $,$ że podzbiór jest sekwencyjnie zwarty wtedy gdy jest domknięty i ograniczony . Twierdzenie to jest czasami nazywane twierdzeniem o zwartości sekwencyjnej .

Historia i znaczenie

Twierdzenie Bolzano – Weierstrassa zostało nazwane na cześć matematyków Bernarda Bolzano i Karla Weierstrassa . Zostało to po raz pierwszy udowodnione przez Bolzano w 1817 roku jako lemat w dowodzie twierdzenia o wartości pośredniej . Jakieś pięćdziesiąt lat później wynik został uznany za znaczący sam w sobie i ponownie udowodniony przez Weierstrassa. Od tego czasu stało się podstawowym twierdzeniem analizy .

Dowód

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}$ udowodnimy twierdzenie dla (zbioru wszystkich liczb rzeczywistych $)$ , w którym to przypadku uporządkowanie można dobrze wykorzystać. Rzeczywiście mamy następujący wynik:

Lemat : Każda nieskończona sekwencja ${\ Displaystyle (x_ {n})}$ w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ ma podsekwencję monotoniczną .

Dowód : Nazwijmy dodatni indeks sekwencji o wartościach całkowitych $”$ sekwencji, gdy dla każdego ${\ Displaystyle m> n}$ ${\ Displaystyle x_ {m} \ równoważnik x_ {n}}$ . Załóżmy najpierw, że sekwencja ma nieskończenie wiele pików, co oznacza, że istnieje podsekwencja o następujących indeksach ${\ displaystyle n_ {1}<n_ {2}<n_ { 3}<\ kropki <n_ {j}<\ kropki}$ i następujące wyrażenia ${\ Displaystyle x_ {n_ {1}} \ geq x_ {n_{2}}\geq x_{n_{3}}\geq \dots \geq x_{n_{j}}\geq \dots }$ . Tak więc nieskończona sekwencja ${\ Displaystyle (x_ {n})}$ w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ ma podsekwencję monotoniczną, czyli ${\ Displaystyle (x_{n_{j}})}$ . Ale załóżmy teraz, że jest tylko skończenie wiele szczytów, niech $szczytem$ końcowym i niech pierwszy indeks nowej podsekwencji ${\ Displaystyle (x_ {n_ {j}})}$ ustawić na ${\ Displaystyle n_ {1} = N + 1}$ . Wtedy $}$ $\ Displaystyle n_$ ${2}}$ nie jest szczytem, ponieważ następuje ${\ Displaystyle n_ {1}<n_ {2}}$ implikuje istnienie i ${\ Displaystyle x_ {n_ {1}} \ równoważnik x_ {n_ {2}}}$ . Ponownie, ${\ Displaystyle n_ {2}}$ pojawia się po ostatnim szczycie, stąd istnieje ${\ Displaystyle n_ {3}}$ gdzie ${\ Displaystyle n_ {2}<n_ {3} }$ z ${\ Displaystyle x_ {n_ {2}} \ równoważnik x_ {n_ {3}}}$ . Powtarzanie tego procesu prowadzi do nieskończonego, nie malejącego podciągu ${\ Displaystyle x_ {n_ {1}} \ równoważnik x_ {n_ {2}} \ równoważnik x_ {n_ {3} }} \ leq \ ldots }$ , udowadniając w ten sposób, że każda nieskończona sekwencja ${\ Displaystyle (x_ {n})}$ w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ ma monotoniczny podciąg.

Załóżmy teraz, że mamy ograniczoną sekwencję w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ ; na podstawie lematu udowodnionego powyżej istnieje podciąg monotoniczny, również ograniczony. Z twierdzenia o zbieżności monotonicznej wynika, że ten podciąg jest zbieżny.

Wreszcie ogólny przypadek ( ) można zredukować do przypadku $\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1} }$ w następujący sposób: R 1 {\ $mathbb {R} ^ {1}}$ ograniczony ciąg w $podciąg$ sekwencja pierwszych współrzędnych jest ograniczoną sekwencją rzeczywistą, stąd ma zbieżny Następnie można wyodrębnić podsekwencję, na której zbiegają się drugie współrzędne i tak dalej, aż w końcu przeszliśmy od oryginalnej sekwencji do podsekwencji $-$ która nadal jest podsekwencją oryginalnej sekwencji — na którym zbiega się każdy ciąg współrzędnych, stąd sam podciąg jest zbieżny.

Alternatywny dowód

Istnieje również alternatywny dowód twierdzenia Bolzano – Weierstrassa przy użyciu zagnieżdżonych przedziałów . Zaczynamy od ograniczonej sekwencji ${\ Displaystyle (x_ {n})}$ :

Ponieważ ${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ jest ograniczona, ta sekwencja ma dolną granicę ${\ displaystyle s$ górną granicę $} \displaystyle S}$ .
Przyjmujemy $_$ _
Następnie podzieliliśmy $.$ na dwa podprzedziały o równej wielkości
Ponieważ każda sekwencja ma nieskończenie wiele elementów, musi istnieć (co najmniej) jeden z tych podprzedziałów, który zawiera nieskończenie wiele elementów ${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N } }}$ . Przyjmujemy ten podprzedział jako drugi przedział $przedziałów$ .
$.$ podzieliliśmy środku na dwa równej wielkości podprzedziały
Ponownie, jeden z tych podprzedziałów zawiera nieskończenie wiele elementów ${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ . Przyjmujemy ten podprzedział jako trzeci podprzedział $zagnieżdżonych$ przedziałów
Kontynuujemy ten proces nieskończenie wiele razy. W ten sposób otrzymujemy sekwencję zagnieżdżonych przedziałów.

Ponieważ w każdym kroku zmniejszamy o połowę długość interwału, granica długości interwału wynosi zero. Również przez twierdzenie o zagnieżdżonych przedziałach , które stwierdza, że jeśli każdy ${\ displaystyle I_ {n}}$ przedziałem zamkniętym i ograniczonym, powiedzmy, ja

{\ Displaystyle I_ {n} = [a_ {n}, \, b_ {n}]}

z

{\ Displaystyle a_ {n} \ równoważnik b_ {n}}

$wtedy przy założeniu$ przecięcie jest puste. Zatem istnieje liczba $ja$ która jest w każdym przedziale. $\ displaystyle I_ {n}}$ . ${n})}$ pokazujemy, że n ) { $x_$ .

$}$ sąsiedztwo . U $\ displaystyle U$ . Ponieważ długość przedziałów jest zbieżna do zera, istnieje przedział $U$ jest podzbiorem $\ displaystyle U}$ . Ponieważ ${\ Displaystyle I_ {N}}$ zawiera przez konstrukcję nieskończenie wiele elementów ${\ Displaystyle (x_ {n})}$ i ${\ Displaystyle I_ {N} \ subseteq U}$ , również ja N {\ Displaystyle I_ {N}} ${\ displaystyle U}$ zawiera nieskończenie wielu członków ${\ Displaystyle (x_ {n})}$ . ${\ displaystyle (x_ {n})$ to, że jest punktem akumulacji $)$ . Zatem istnieje podciąg, $który$ zbiega się do ${\ displaystyle (x_ {n}$ .

Zwartość sekwencyjna w przestrzeniach euklidesowych

$displaystyle A}$ : Zbiór jest $}$ sekwencyjnie jeśli każda sekwencja $ZA$ ⊆ $Displaystyle A \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n$ ma zbieżny podsekwencję zbieżną do elementu ${\ displaystyle A}$ .

$,$ : jest sekwencyjnie zwarte $wtedy$ i tylko wtedy domknięte ograniczone

Dowód: ( sekwencyjna zwartość implikuje domknięty i ograniczony)

Załóżmy, że jest podzbiorem $\$ $displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ z właściwością, że każda sekwencja w ma podsekwencję zbieżną do elementu ZA $A$ $\$ $styl wyświetlania A}$ . Wtedy ${\ displaystyle A} musi być ograniczony, ponieważ w przeciwnym razie$ można skonstruować następujący nieograniczony ciąg ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} \ w A} .$ Dla każdego zdefiniuj dowolny dowolny punkt taki, $\ displaystyle$ n $n \ in \ mathbb {N}$ ${\ Displaystyle || x_ {n} ||\ geq n}$ . Wtedy każdy podciąg z ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ jest nieograniczony, a zatem nie jest zbieżny. Co więcej, $ZA$ być zamknięty, ponieważ każdy $}$ graniczny , który ma sekwencję punktów w $\$ do siebie, musi również leżeć w $}$ . $displaystyle A$

Dowód: (zamknięty i ograniczony implikuje zwartość sekwencyjną )

Ponieważ $ograniczony$ , $_$ _ Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa , ${\ Displaystyle \ {x_ {n} \}}$ zawiera podsekwencję zbiegającą się do pewnego punktu ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Ponieważ $jest$ punktem granicznym i jest $\$ zamkniętym , $musi$ $być$ elementem $A$ } .

Zatem podzbiory z $\ Displaystyle$ $\ mathbb {R} ^ {n}},$ dla których każda sekwencja w A ma podsekwencję zbieżną do elementu - tj. podzbiory $}$ które są sekwencyjnie zwarte w topologii podprzestrzeni – są właśnie podzbiorami domkniętymi i ograniczonymi.

Ta postać twierdzenia szczególnie wyraźnie uwidacznia analogię do $twierdzenia$ Heinego – Borela , które stwierdza, że podzbiór jest zwarty wtedy i tylko , gdy jest domknięty i ograniczony W rzeczywistości ogólna topologia mówi nam, że przestrzeń metryzowalna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwarta sekwencyjnie, tak że twierdzenia Bolzano – Weierstrassa i Heinego – Borela są zasadniczo takie same.

Zastosowanie w ekonomii

istnieją różne ważne koncepcje równowagi , których dowody na istnienie często wymagają odmian twierdzenia Bolzano – Weierstrassa. Jednym z przykładów jest istnienie efektywnej alokacji w sensie Pareto. Alokacja jest macierzą wiązek konsumpcyjnych dla agentów w gospodarce, a alokacja jest efektywna w sensie Pareto, jeśli nie można w niej dokonać żadnej zmiany, która nie pogorszyłaby sytuacji żadnego agenta i co najmniej jednego agenta (tutaj wiersze macierzy alokacji muszą być dających się uszeregować według relacji preferencji ). Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa pozwala udowodnić, że jeśli zbiór alokacji jest zwarty i niepusty , to system ma alokację efektywną w sensie Pareto.

Zobacz też

Notatki

Bartle, Robert G .; Sherbert, Donald R. (2000). Wprowadzenie do analizy rzeczywistej (wyd. 3). Nowy Jork: J. Wiley. ISBN 9780471321484 .
Fitzpatrick, Patrick M. (2006). Rachunek zaawansowany (wyd. 2). Belmont, Kalifornia: Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7 .

Linki zewnętrzne