Kompletność liczb rzeczywistych

Kompletność jest właściwością liczb rzeczywistych , która intuicyjnie sugeruje, że nie ma „luk” (w terminologii Dedekinda) ani „brakujących punktów” na osi liczb rzeczywistych . Kontrastuje to z liczbami wymiernymi , których odpowiednia oś liczbowa ma „przerwę” przy każdej wartości niewymiernej . W systemie liczb dziesiętnych kompletność jest równoważna stwierdzeniu, że dowolny nieskończony ciąg cyfr dziesiętnych jest w rzeczywistości dziesiętną reprezentacją pewnej liczby rzeczywistej.

W zależności od zastosowanej konstrukcji liczb rzeczywistych zupełność może przybrać postać aksjomatu ( aksjomat kompletności ) lub może być twierdzeniem udowodnionym z konstrukcji. Istnieje wiele równoważnych form kompletności, z których najbardziej znaną jest kompletność Dedekinda i kompletność Cauchy'ego ( kompletność jako przestrzeń metryczna ).

Formy kompletności

Liczby rzeczywiste można syntetycznie zdefiniować jako uporządkowane ciało spełniające pewną wersję aksjomatu kompletności . Różne wersje tego aksjomatu są równoważne w tym sensie, że każde uporządkowane pole, które spełnia jedną formę kompletności, spełnia wszystkie z nich, z wyjątkiem twierdzenia o zupełności Cauchy'ego i zagnieżdżonych przedziałach, które są ściśle słabsze, ponieważ istnieją pola inne niż Archimedesa, które są uporządkowane i Cauchy kompletny. Kiedy liczby rzeczywiste są zamiast tego konstruowane przy użyciu modelu, kompletność staje się twierdzeniem lub zbiorem twierdzeń.

Najmniejsza górna granica właściwości

Właściwość najmniejszej górnej granicy mówi, że każdy niepusty podzbiór liczb rzeczywistych mający górną granicę musi mieć najmniejszą górną granicę (lub supremum) w zbiorze liczb rzeczywistych.

Wymierna oś liczbowa Q nie ma najmniejszej górnej granicy. Przykładem jest podzbiór liczb wymiernych

{\ Displaystyle S = \ {x \ w \ mathbb {Q} \ mid x ^ {2}<2 \}.}

Ten zestaw ma górną granicę. Jednak ten zbiór nie ma najmniejszej górnej granicy w $Q$ : najmniejsza górna granica jako podzbiór liczb rzeczywistych wynosiłaby $\sqrt 2$ , ale nie istnieje w $Q$ . Dla dowolnej górnej granicy $x \in Q$ , istnieje inna górna granica $y \in Q$ z $y < x$ .

Weźmy na przykład $x = 1,5$ , wtedy $x$ jest z pewnością górną granicą $S$ , ponieważ $x$ jest dodatnie, a $x 2 = 2,25 \geq 2$ ; to znaczy żaden element $S nie$ jest większy niż $x$ . Możemy jednak wybrać mniejszą górną granicę, powiedzmy $y = 1,45$ ; jest to również górna granica $S$ z tych samych powodów, ale jest mniejsza niż $x$ , więc $x$ nie jest najmniejszą górną granicą $S$ . Możemy postępować podobnie, aby znaleźć górną granicę $S$ , która jest mniejsza niż $y$ , powiedzmy $z = 1,42$ itd., tak że nigdy nie znajdziemy najmniejszej górnej granicy $S$ w $Q$ .

Właściwość najmniejszej górnej granicy można uogólnić na ustawienie zbiorów częściowo uporządkowanych . Zobacz kompletność (teoria porządku) .

Kompletność Dedekinda

Zobacz kompletność Dedekinda , aby uzyskać bardziej ogólne koncepcje noszące tę nazwę.

Kompletność Dedekinda to właściwość polegająca na tym, że każdy przekrój Dedekinda liczb rzeczywistych jest generowany przez liczbę rzeczywistą. W syntetycznym podejściu do liczb rzeczywistych jest to wersja zupełności, która jest najczęściej przyjmowana jako aksjomat.

Wymierna oś liczbowa Q nie jest kompletna według Dedekinda. Przykładem jest cięcie Dedekind

{\ Displaystyle L = \ {x \ in \ mathbb {Q} \ mid x ^ {2} \ równoważnik 2 \ vee x <0 \}.}

{\ Displaystyle R = \ {x \ w \ mathbb {Q} \ mid x ^ {2} \ geq 2 \ klin x> 0 \}.}

L nie ma maksimum, a R nie ma minimum, więc to przecięcie nie jest generowane przez liczbę wymierną.

Istnieje konstrukcja liczb rzeczywistych oparta na pomyśle wykorzystania cięć Dedekinda liczb wymiernych do nazwania liczb rzeczywistych; np. cięcie (L, R) opisane powyżej nazwałoby ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ . Gdyby powtórzyć konstrukcję liczb rzeczywistych z przekrojami Dedekinda (tj. „zamknąć” zbiór liczb rzeczywistych dodając wszystkie możliwe przekroje Dedekinda), nie otrzymalibyśmy żadnych dodatkowych liczb, ponieważ liczby rzeczywiste są już zupełne w Dedekindzie.

Kompletność Cauchy'ego

Kompletność Cauchy'ego to stwierdzenie, że każdy ciąg Cauchy'ego liczb rzeczywistych zbiega się do liczby rzeczywistej.

Wymierna oś liczbowa Q nie jest zupełna Cauchy'ego. Przykładem jest następujący ciąg liczb wymiernych:

{\ Displaystyle 3, \ quad 3.1, \ quad 3,14, \ quad 3,142, \ quad 3,1416, \ quad \ ldots}

Tutaj n- ty wyraz ciągu jest n- tym przybliżeniem dziesiętnym pi . Chociaż jest to ciąg Cauchy'ego liczb wymiernych, nie jest zbieżny do żadnej liczby wymiernej. (Na tej osi liczb rzeczywistych ta sekwencja jest zbieżna do liczby pi).

Kompletność Cauchy'ego jest związana z konstrukcją liczb rzeczywistych za pomocą ciągów Cauchy'ego. Zasadniczo ta metoda definiuje liczbę rzeczywistą jako granicę ciągu Cauchy'ego liczb wymiernych.

W analizie matematycznej kompletność Cauchy'ego można uogólnić na pojęcie kompletności dla dowolnej przestrzeni metrycznej . Zobacz pełną przestrzeń metryczną .

Dla uporządkowanego pola kompletność Cauchy'ego jest słabsza niż inne formy kompletności na tej stronie. Ale zupełność Cauchy'ego i własność Archimedesa razem wzięte są równoważne pozostałym.

Twierdzenie o zagnieżdżonych przedziałach

Twierdzenie o zagnieżdżonych przedziałach jest inną formą kompletności. Niech $I n = [a n, b n]$ będzie ciągiem przedziałów domkniętych i załóżmy, że przedziały te są zagnieżdżone w tym sensie, że

{\ Displaystyle I_ {1} \; \ supset \; ja_ {2} \; \ supset \; ja_ {3} \; \ supset \; \ cdots}

Ponadto załóżmy, że $b n - a n \to 0$ jako $n \to +\infty$ . Twierdzenie o zagnieżdżonych przedziałach mówi, że przecięcie wszystkich przedziałów $I n$ zawiera dokładnie jeden punkt.

Oś liczb wymiernych nie spełnia twierdzenia o zagnieżdżonych przedziałach. Na przykład sekwencja (której wyrazy są wyprowadzane z cyfr liczby pi w sugerowany sposób)

{\ Displaystyle [3,4] \; \ supset \; [3.1,3.2] \; \ supset \; [3.14,3.15]\;\supset \;[3.141,3.142]\;\supset \;\cdots }

jest zagnieżdżoną sekwencją przedziałów zamkniętych w liczbach wymiernych, których przecięcie jest puste. (W liczbach rzeczywistych przecięcie tych przedziałów zawiera liczbę pi .)

Twierdzenie o zagnieżdżonych przedziałach ma ten sam status logiczny co zupełność Cauchy'ego w tym spektrum wyrażeń zupełności. Innymi słowy, samo twierdzenie o zagnieżdżonych przedziałach jest słabsze niż inne formy kompletności, chociaż w połączeniu z właściwością Archimedesa jest równoważne z innymi.

Zasada indukcji otwartej

Zasada indukcji otwartej stwierdza, że otwarty podzbiór przedziału $Displaystyle$ $[a, b]}$ musi być równy całemu przedziałowi, jeśli dla dowolnego ${\ Displaystyle r \ w [a, b]}$ , mamy to ${\ Displaystyle [a, r) \ podzbiór S}$ implikuje ${\ Displaystyle [a, r ]\podzbiór S}$ .

Można wykazać, że zasada indukcji otwartej jest równoważna kompletności Dedekinda dla dowolnie uporządkowanych zbiorów w topologii porządku, używając dowodów przez sprzeczność. W słabszych podstawach, takich jak analiza konstruktywna , w której nie obowiązuje prawo wyłączonego środka, pełna postać własności najmniejszego górnego ograniczenia zawodzi dla liczb rzeczywistych Dedekinda, podczas gdy właściwość otwartej indukcji pozostaje prawdziwa w większości modeli (wynikając z twierdzenia barowego Brouwera ) i jest wystarczająco silny, aby podać krótkie dowody kluczowych twierdzeń.

Twierdzenie o zbieżności monotonicznej

Twierdzenie o zbieżności monotonicznej (opisane przez Körnera jako podstawowy aksjomat analizy ) stwierdza, że każdy niemalejący, ograniczony ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny. Można to postrzegać jako szczególny przypadek własności najmniejszej górnej granicy, ale można go również użyć dość bezpośrednio do udowodnienia kompletności Cauchy'ego liczb rzeczywistych.

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Twierdzenie Bolzano – Weierstrassa stwierdza, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych ma zbieżny podciąg . Ponownie, to twierdzenie jest równoważne z innymi formami kompletności podanymi powyżej.

Twierdzenie o wartości pośredniej

Twierdzenie o wartości pośredniej stwierdza, że każda funkcja ciągła, która osiąga zarówno wartości ujemne, jak i dodatnie, ma pierwiastek. Jest to konsekwencją właściwości najmniejszej górnej granicy, ale można jej również użyć do udowodnienia najmniejszej górnej granicy, jeśli jest traktowana jako aksjomat. (Definicja ciągłości nie zależy od żadnej formy kompletności, więc nie ma kołowości: chodzi o to, że twierdzenie o wartości pośredniej i właściwość najmniejszej górnej granicy są stwierdzeniami równoważnymi).

Zobacz też

Lista rzeczywistych tematów analizy

Dalsza lektura

Aliprantis, Charalambos D .; Burkinshaw, Owen (1998). Zasady analizy rzeczywistej (wyd. 3). Akademicki. ISBN 0-12-050257-7 .
Browder, Andrew (1996). Analiza matematyczna: wprowadzenie . Teksty licencjackie z matematyki . Nowy Jork: Springer Verlag. ISBN 0-387-94614-4 .
Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2000). Wprowadzenie do analizy rzeczywistej (wyd. 3). Nowy Jork: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-32148-6 .
Abbott, Stephen (2001). Zrozumienie analizy . Teksty licencjackie z matematyki. Nowy Jork: Springer Verlag. ISBN 0-387-95060-5 .
Rudin, Walter (1976). Zasady analizy matematycznej . Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (wyd. 3). McGraw-Hill. ISBN 9780070542358 .
Dangelo, Frank; Seyfried, Michael (1999). Wstępna analiza rzeczywista . Brooksa Cole'a. ISBN 9780395959336 .
Bressoud, David (2007). Radykalne podejście do analizy rzeczywistej . MAA . ISBN 978-0-88385-747-2 .