Aksjomat Cantora-Dedekinda

W logice matematycznej aksjomat Cantora -Dedekinda jest tezą, że liczby rzeczywiste są rzędu izomorficzne z liniowym kontinuum geometrii . Innymi słowy, aksjomat stwierdza, że ​​istnieje relacja jeden do jednego między liczbami rzeczywistymi a punktami na prostej.

Ten aksjomat jest kamieniem węgielnym geometrii analitycznej . Kartezjański układ współrzędnych opracowany przez René Descartesa domyślnie przyjmuje ten aksjomat, łącząc różne koncepcje systemu liczb rzeczywistych z linią geometryczną lub płaszczyzną w pojęciową metaforę . Jest to czasami określane jako linii liczb rzeczywistych .

Konsekwencją tego aksjomatu jest to, że dowód Alfreda Tarskiego na rozstrzygalność teorii pierwszego rzędu liczb rzeczywistych może być postrzegany jako algorytm do rozwiązania dowolnego problemu pierwszego rzędu w geometrii euklidesowej .

Jednak wraz z rozwojem systemów aksjomatów dla geometrii syntetycznej , które wypełniły aksjomaty, które Euklides domyślnie założył, oraz rozwojem współczesnych pojęć liczb rzeczywistych , zarówno linia euklidesowa, jak i liczby rzeczywiste są kompletnymi polami Archimedesa , a zatem kanonicznie izomorficznymi, a „Aksjomat” Cantora – Dedekinda jest w rzeczywistości twierdzeniem.

Notatki

• Ehrlich, P. (1994). "Ogólne wprowadzenie". Liczby rzeczywiste, uogólnienia liczb rzeczywistych i teorie kontinuów , VI – XXXII. Pod redakcją P. Ehrlicha, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht
• Bruce E. Meserve (1953) Podstawowe pojęcia algebry , s. 32, w Książkach Google
• BE Meserve (1955) Podstawowe pojęcia geometrii , s. 86, w Książkach Google