Racjonalne szeregi zeta

W matematyce wymierny szereg zeta jest reprezentacją dowolnej liczby rzeczywistej w kategoriach szeregu składającego się z liczb wymiernych i funkcji zeta Riemanna lub funkcji zeta Hurwitza . W szczególności, biorąc pod uwagę liczbę rzeczywistą x , wymierny szereg zeta dla x jest dany przez

{\ Displaystyle x = \ suma _ {n = 2} ^ {\ infty} q_ {n} \ zeta (n, m)}

gdzie q _n jest liczbą wymierną, wartość m jest stała, a ζ( s , m ) jest funkcją zeta Hurwitza. Nietrudno wykazać, że dowolną liczbę rzeczywistą x można w ten sposób rozwinąć.

Seria elementarna

Dla liczby całkowitej m>1 jeden ma

{\ Displaystyle x = \ suma _ {n = 2} ^ {\ infty} q_ {n} \ lewo [\zeta (n)-\suma _{k=1}^{m-1}k^{-n}\right]}

Dla m=2 pewna liczba interesujących liczb ma proste wyrażenie jako wymierny szereg zeta:

{\ Displaystyle 1 = \ suma _ {n = 2} ^ {\ infty} \ lewo [\ zeta (n) -1 \ prawo]}

I

{\ Displaystyle 1- \ gamma = \ suma _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n}} \left[\zeta (n)-1\right]}

gdzie γ jest stałą Eulera – Mascheroniego . Serie

{\ Displaystyle \ log 2 = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n}} \left[\zeta (2n)-1\right]}

następuje przez zsumowanie rozkładu Gaussa – Kuzmina . Istnieją również szeregi dla π:

{\ Displaystyle \ log \ pi = \ suma _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {2(3/2)^{n}-3}{n}}\lewo[\zeta (n)-1\prawo]}

I

{\ Displaystyle {\ Frac {13} {30}} - {\ Frac {\ pi}}} = \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{4^{2n}}}\left[\zeta (2n)-1\right]}

jest godne uwagi ze względu na jego szybką konwergencję. Ta ostatnia seria wynika z ogólnej tożsamości

{\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ {n} t ^ {2n} \ lewo [\ zeta (2n) -1 \ prawo] = {\ Frac {t ^ { 2}}{1+t^{2}}}+{\frac {1-\pi t}{2}}-{\frac {\pi t}{e^{2\pi t}-1}} }

co z kolei wynika z funkcji generującej liczby Bernoulliego

{\ Displaystyle {\ Frac {t} {e ^ {t} -1}} = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n} {\ Frac {t ^ {n}} {n! }}}

Podobną serię podają Adamchik i Srivastava

{\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {t ^ { 2n}}{n}}\zeta (2n)=\log \left({\frac {\pi t}{\sin(\pi t)}}\right)}

Seria związana z poligammą

Szereg dodatkowych zależności można wyprowadzić z szeregu Taylora dla funkcji poligammy przy z = 1, czyli

{\ Displaystyle \ psi ^ {(m)} (z + 1) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {m + k + 1} (m + k)! \; \zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}}

.

Powyższe jest zbieżne dla | z | < 1. Szczególnym przypadkiem jest

{\ Displaystyle \ suma _ {n = 2} ^ {\ infty} t ^{n}\lewo[\zeta (n)-1\prawo]=-t\lewo[\gamma +\psi (1-t)-{\frac {t}{1-t}}\prawo]}

co dotyczy | t | < 2. Tutaj ψ jest funkcją digamma , a ψ ^{( m )} jest funkcją poligamma. Można wyprowadzić wiele szeregów obejmujących współczynnik dwumianowy :

{\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {k + \ nu +1 \wybierz k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)}

gdzie ν jest liczbą zespoloną. Powyższe wynika z rozwinięcia szeregu dla zeta Hurwitza

{\ Displaystyle \ zeta (s, x + y) = \ suma _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \wybierz s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x)}

wzięte przy y = −1. Podobne szeregi można otrzymać za pomocą prostej algebry:

{\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {k + \ nu + 1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=1}

I

{\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=2^{-(\nu +1)}}

I

{\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {k} {k + \ nu +1 \ wybierz k + 2} \ lewo [\ zeta (k + \ nu + 2) -1 \right]=\nu \left[\zeta (\nu +1)-1\right]-2^{-\nu }}

I

{\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {k} {k + \ nu + 1 \ wybierz k} \ lewo [\ zeta (k + \ nu + 2) -1 \ prawo ]=\zeta (\nu +2)-1-2^{-(\nu +2)}}

Dla liczby całkowitej n ≥ 0 szereg

{\ Displaystyle S_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {k + n \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]}

można zapisać jako sumę skończoną

{\ Displaystyle S_ {n} = (-1) ^ {n} \ lewo [1 + \ suma _ {k = 1}^{n}\zeta (k+1)\prawo]}

Powyższe wynika z prostej relacji rekurencji S _n + S _{n + 1} = ζ( n + 2). Dalej seria

{\ Displaystyle T_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {k +n-1 \wybierz k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]}

można zapisać jako

{\ Displaystyle T_ {n }=(-1)^{n+1}\left[n+1-\zeta (2)+\suma _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}(nk) \zeta (k+1)\prawo]}

dla liczby całkowitej n ≥ 1. Powyższe wynika z tożsamości T _n + T _{n + 1} = S _n . Proces ten można zastosować rekurencyjnie w celu uzyskania skończonych szeregów dla ogólnych wyrażeń postaci