Numer Grzegorza

W matematyce liczba Gregory'ego , nazwana na cześć Jamesa Gregory'ego , jest liczbą rzeczywistą w postaci:

${\ Displaystyle G_ {x} = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {i}{\frac {1}{(2i+1)x^{2i+1}}}}$

gdzie x jest dowolną liczbą wymierną większą lub równą 1. Biorąc pod uwagę rozwinięcie szeregu potęgowego dla arcus tangens , mamy

${\ Displaystyle G_ {x} = \ arctan {\ Frac {1} {x}}.}$

Ustawienie x = 1 daje dobrze znaną formułę Leibniza dla pi . Tym samym w szczególności

${\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {4}} = \ arctan 1}$

jest liczbą Gregory'ego.

Nieruchomości

• ${\ Displaystyle G_ {-x} = - (G_ {x})}$
• ${\ Displaystyle \ tan (G_ {x}) = {\ Frac {1} {x}}}$

Zobacz też

• Numer Størmera