Kontinuum liniowe

W matematycznej dziedzinie teorii porządku kontinuum lub kontinuum liniowe jest uogólnieniem linii rzeczywistej .

Formalnie continuum liniowe jest liniowo uporządkowanym zbiorem S składającym się z więcej niż jednego elementu, który jest gęsto uporządkowany , tj. pomiędzy dowolnymi dwoma odrębnymi elementami jest inny (a więc nieskończenie wiele innych) i kompletny , tj. w którym „brakuje luk” w poczucie, że każdy niepusty podzbiór z górną granicą ma najmniejszą górną granicę . Bardziej symbolicznie:

S ma najmniejszą górną granicę własności i
Dla każdego x w S i każdego y w S z x < y , istnieje z w S takie, że x < z < y

Zbiór ma własność najmniejszej górnej granicy, jeśli każdy niepusty podzbiór zbioru, który jest ograniczony powyżej, ma najmniejszą górną granicę w zbiorze . Continua liniowe są szczególnie ważne w dziedzinie topologii , gdzie można ich użyć do sprawdzenia, czy uporządkowany zbiór przy danej topologii porządku jest spójny , czy nie.

W przeciwieństwie do standardowej linii rzeczywistej, kontinuum liniowe może być ograniczone z każdej strony: na przykład każdy (rzeczywisty) domknięty przedział jest kontinuum liniowym.

Przykłady

Uporządkowany zbiór liczb rzeczywistych R , ze swoim zwykłym porządkiem , jest kontinuum liniowym i jest archetypem. Własność b) jest trywialna, a własność a) jest po prostu przeformułowaniem aksjomatu kompletności .

Przykłady oprócz liczb rzeczywistych:

zbiory, które są rzędowo izomorficzne ze zbiorem liczb rzeczywistych, na przykład rzeczywisty przedział otwarty , i to samo z lukami półotwartymi (zauważ, że nie są to luki w wyżej wymienionym sensie)
system liczb rzeczywistych i zbiory rzędu izomorficzne, na przykład przedział jednostkowy
zbiór liczb rzeczywistych z dodanymi tylko + ∞ lub tylko −∞ oraz zbiory izomorficzne rzędu, na przykład przedział półotwarty
długa linia
Zbiór I × I (gdzie × oznacza iloczyn kartezjański , a I = [0, 1]) w porządku leksykograficznym jest kontinuum liniowym. Właściwość b) jest trywialna. Aby sprawdzić właściwość a), definiujemy mapę, π ₁ : I × I → I przez

π ₁ ( x , y ) = x

Ta mapa jest znana jako mapa odwzorowania . Mapa projekcji jest ciągła (w odniesieniu do topologii produktu na I × I ) i jest suriekcją . Niech A będzie niepustym podzbiorem I × I , który jest ograniczony z góry. Rozważmy π ₁ ( A ). Ponieważ A jest ograniczone z góry, π ₁ ( A ) musi być również ograniczone powyżej. Ponieważ π ₁ ( A ) jest podzbiorem I , musi mieć najmniejszą górną granicę (ponieważ I ma najmniejszą górną granicę). Dlatego możemy pozwolić, aby b było najmniejszą górną granicą π ₁ ( A ). Jeśli b należy do π ₁ ( A ), to b × I przetnie A , powiedzmy b × c dla pewnego c ∈ I . Zauważ, że ponieważ b × I ma ten sam typ rzędu co I , zbiór ( b × I ) ∩ A rzeczywiście będzie miał najmniejszą górną granicę b × c' , która jest pożądaną najmniejszą górną granicą dla A .

Jeśli b nie należy do π ₁ ( A ), to b × 0 jest najmniejszą górną granicą A , bo jeśli d < b , a d × e jest górną granicą A , to d byłoby mniejszą górną granicą π ₁ ( A ) niż b , co jest sprzeczne z unikalną właściwością b .

Nie-przykłady

Uporządkowany zbiór Q liczb wymiernych nie jest kontinuum liniowym. Mimo że właściwość b) jest spełniona, właściwość a) nie jest. Rozważmy podzbiór

A = { x ∈ Q | x < √ 2 }

zbioru liczb wymiernych. Chociaż ten zbiór jest ograniczony z góry przez dowolną liczbę wymierną większą niż √ 2 (na przykład 3), nie ma najmniejszej górnej granicy w liczbach wymiernych. (W szczególności dla dowolnej wymiernej górnej granicy r > √ 2 , r /2 + 1/ r jest bliższą wymierną górną granicą; szczegóły w Metody obliczania pierwiastków kwadratowych § Metoda Herona .)

Uporządkowany zbiór nieujemnych liczb całkowitych o zwykłym porządku nie jest kontinuum liniowym. Właściwość a) jest spełniona (niech A będzie podzbiorem zbioru nieujemnych liczb całkowitych, który jest ograniczony powyżej. Wtedy A jest skończone , więc ma maksimum, a to maksimum jest pożądaną najmniejszą górną granicą A ). Z drugiej strony właściwość b) nie jest. Rzeczywiście, 5 jest nieujemną liczbą całkowitą, podobnie jak 6, ale nie istnieje nieujemna liczba całkowita, która leży ściśle między nimi.
Uporządkowany zbiór A niezerowych liczb rzeczywistych

A = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)

nie jest kontinuum liniowym. Własność b) jest trywialnie spełniona. Jeśli jednak B jest zbiorem ujemnych liczb rzeczywistych:

B = (−∞, 0)

, to B jest podzbiorem A , który jest ograniczony z góry (przez dowolny element A większy niż 0; na przykład 1), ale nie ma najmniejszego górna granica w B. Zauważ, że 0 nie jest ograniczeniem dla B , ponieważ 0 nie jest elementem A .

Niech Z ₋ oznacza zbiór ujemnych liczb całkowitych i niech A = (0, 5) ∪ (5, +∞). Niech

S = Z _- ∪ ZA .

Wtedy S nie spełnia ani własności a), ani własności b). Dowód jest podobny do poprzednich przykładów.

Właściwości topologiczne

Chociaż continua liniowe są ważne w badaniu zbiorów uporządkowanych , mają one zastosowanie w matematycznej dziedzinie topologii . W rzeczywistości udowodnimy, że uporządkowany zbiór w topologii porządku jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy jest kontinuum liniowym. Udowodnimy jedną implikację, a drugą zostawimy jako ćwiczenie. (Munkres wyjaśnia drugą część dowodu w )

Twierdzenie

Niech X będzie uporządkowanym zbiorem w topologii porządku. Jeśli X jest spójny, to X jest kontinuum liniowym.

Dowód:

Załóżmy, że x i y są elementami X z x < y . Jeśli nie istnieje z w X takie, że x < z < y , rozważmy zbiory:

ZA = (−∞, y )

B = ( x , +∞)

Zbiory te są rozłączne (jeśli a jest w A , a < y tak, że jeśli a jest w B , a > x i a < y , co jest niemożliwe z punktu widzenia hipotezy), niepuste ( x jest w A i y jest w B ) i otwarte (w topologii kolejności), a ich związek to X . Jest to sprzeczne z powiązaniem X .

Udowodnimy teraz własność najmniejszej górnej granicy. Jeśli C jest podzbiorem X , który jest ograniczony z góry i nie ma najmniejszej górnej granicy, niech D będzie sumą wszystkich otwartych promieni postaci ( b , +∞), gdzie b jest górnym ograniczeniem dla C . Wtedy D jest otwarte (ponieważ jest sumą zbiorów otwartych) i domknięte (jeśli a nie jest w D , to a < b dla wszystkich górnych granic b z C abyśmy mogli wybrać q > a takie, że q jest w C (jeśli takie q nie istnieje, a jest najmniejszą górną granicą C ), to można wybrać przedział otwarty zawierający a , który nie przecina D ). Ponieważ D jest niepuste (istnieje więcej niż jedna górna granica D , bo gdyby istniała dokładnie jedna górna granica s , s byłoby najmniejszą górną granicą. Wtedy jeśli b ₁ i b ₂ są dwoma górnymi granicami D z b ₁ < b ₂ , b ₂ będzie należeć do D ), D i jego dopełnienie razem tworzą separację na X . Jest to sprzeczne z powiązaniem X .

Zastosowania twierdzenia

Ponieważ uporządkowany zbiór A = (−∞, 0) U (0,+∞) nie jest kontinuum liniowym, jest rozłączony.
Stosując właśnie udowodnione twierdzenie, wynika fakt, że R jest spójny. W rzeczywistości każdy przedział (lub promień) w R jest również spójny.
Zbiór liczb całkowitych nie jest kontinuum liniowym i dlatego nie można go połączyć.
W rzeczywistości, jeśli uporządkowany zbiór w topologii porządku jest kontinuum liniowym, musi być spójny. Ponieważ dowolny przedział w tym zbiorze jest również kontinuum liniowym, wynika z tego, że przestrzeń ta jest lokalnie spójna , ponieważ ma bazę składającą się wyłącznie ze zbiorów spójnych.
Aby zapoznać się z przykładem przestrzeni topologicznej , która jest kontinuum liniowym, zobacz długą linię .

Zobacz też