Długa linia (topologia)

W topologii linia długa (lub linia Alexandroffa ) jest przestrzenią topologiczną nieco podobną do linii rzeczywistej , ale w pewien sposób „dłuższą”. Zachowuje się lokalnie tak samo jak linia rzeczywista, ale ma inne właściwości w dużej skali (np. nie jest ani linią Lindelöfa , ani separowalną ). Dlatego służy jako jeden z podstawowych kontrprzykładów topologii. Intuicyjnie zwykła linia liczb rzeczywistych składa się z policzalnej liczby odcinków ${\ displaystyle [0,1)}$ ułożone od końca do końca, podczas gdy długa linia jest zbudowana z niezliczonej liczby takich segmentów.

Definicja

Zamknięty długi promień $[$ definiowany jako $Displaystyle [0, 1),}$ kartezjański pierwszej nieprzeliczalnej liczby $z$ przedziałem półotwartym wyposażony w topologię porządku wynikającą z porządku leksykograficznego na ${\ Displaystyle \ omega _ {1} \ razy [0,1)}$ . Otwarty długi promień otrzymujemy z zamkniętego długiego promienia poprzez usunięcie najmniejszego elementu ${\ Displaystyle (0,0).}$

Długą linię uzyskuje się przez „sklejenie” ze sobą dwóch długich promieni, jednego w kierunku dodatnim, a drugiego w kierunku ujemnym. Bardziej rygorystycznie można to zdefiniować jako topologię porządku na rozłącznym połączeniu odwróconego otwartego długiego promienia („odwrócony” oznacza, że kolejność jest odwrócona) (jest to ujemna połowa) i (nieodwróconego) zamkniętego długiego promienia (dodatni pół), całkowicie uporządkowany, pozwalając, aby punkty tego drugiego były większe niż punkty pierwszego. Alternatywnie, weź dwie kopie otwartego długiego promienia i zidentyfikuj przedział otwarty ${\ Displaystyle \ {0 \} \ razy (0,1)}$ jednego z tym samym odstępem drugiego, ale odwracając odstęp, to znaczy zidentyfikować punkt ${\ Displaystyle (0, t) }$ $liczbą$ gdzie jest rzeczywistą taką, że ${\ displaystyle 0 <t <1}$ ) tej z punktem ${\ displaystyle (0,1-t} )}$ drugiego i zdefiniuj długą linię jako przestrzeń topologiczną uzyskaną przez sklejenie dwóch otwartych długich promieni wzdłuż otwartego przedziału określonego między nimi. (Pierwsza konstrukcja jest lepsza w tym sensie, że definiuje porządek na długiej linii i pokazuje, że topologia jest topologią porządku; druga jest lepsza w tym sensie, że wykorzystuje sklejanie wzdłuż zbioru otwartego, co jest jaśniejsze od topologicznego punkt widzenia.)

Intuicyjnie zamknięty długi promień przypomina rzeczywistą (zamkniętą) półprostą, z tą różnicą, że jest znacznie dłuższy w jednym kierunku: mówimy, że jest długi na jednym końcu i domknięty na drugim. Otwarty długi promień jest jak linia rzeczywista (lub równoważnie otwarta półprosta), z tym wyjątkiem, że jest znacznie dłuższy w jednym kierunku: mówimy, że jest długi na jednym końcu i krótki (otwarty) na drugim. Linia długa jest dłuższa niż linie rzeczywiste w obu kierunkach: mówimy, że jest długa w obu kierunkach.

Jednak wielu autorów mówi o „długiej linii”, podczas gdy my mówiliśmy o (zamkniętym lub otwartym) długim promieniu, i istnieje duże zamieszanie między różnymi długimi przestrzeniami. Jednak w wielu zastosowaniach lub kontrprzykładach rozróżnienie jest nieistotne, ponieważ ważną częścią jest „długi” koniec linii i nie ma znaczenia, co dzieje się na drugim końcu (długi, krótki lub zamknięty).

Powiązaną przestrzeń, (zamknięty) rozciągnięty długi promień $,$ uzyskuje się jako zagęszczenie elementu do prawego końca $displaystyle L}$ \ ${\ Displaystyle L.}$ W podobny sposób można zdefiniować przedłużoną długą linię , dodając do niej dwa elementy, po jednym na każdym końcu.

Nieruchomości

Zamknięty długi promień $z$ kopii $\$ 'pasted together' end-to-end. Compare this with the fact that for any countable ordinal $\alpha$ , pasting together $\alpha$ copies of ${\ Displaystyle [0,1)}$ daje przestrzeń, która jest nadal homeomorficzna (i izomorficzna rzędu) do ${\ Displaystyle [0,1).}$ ${\ Displaystyle [$ A gdybyśmy próbowali skleić więcej niż kopie $0,1$ } wynikowa przestrzeń nie byłaby już lokalnie homeomorficzna z ${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$ )

Każda rosnąca sekwencja w zbiega się do granicy w $L$ $}$ ; jest to konsekwencją faktu, że (1) elementy $($ policzalnymi porządkowymi , (2) supremum każdej policzalnej rodziny policzalnych liczb porządkowych jest policzalną liczbą porządkową i 3) każdy rosnący i ograniczony ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny. W konsekwencji nie może istnieć ściśle rosnąca funkcja ${\ Displaystyle L \ do \ mathbb {R}.}$ $W$ funkcja ciągła ostatecznie stała.

Jako topologie porządku, (prawdopodobnie rozciągnięte) długie promienie i linie są normalnymi przestrzeniami Hausdorffa . Wszystkie mają taką samą liczność jak linia rzeczywista, ale są „dużo dłuższe”. Wszystkie z nich są lokalnie zwarte . Żaden z nich nie jest metryzowalny ; można to zobaczyć jako długi promień jest sekwencyjnie zwarty , ale nie zwarty , a nawet Lindelöf .

(Nierozciągnięta) długa linia lub promień nie jest parazwarta . Jest połączony ścieżkami , lokalnie połączony ścieżkami i po prostu połączony , ale nie kurczliwy . Jest to jednowymiarowa rozmaitość topologiczna , z granicą w przypadku promienia zamkniętego. Jest przeliczalna w pierwszej kolejności , ale nie przeliczalna wtórnie i nierozdzielna , więc autorzy, którzy wymagają tych drugich właściwości w swoich rozmaitościach, nie nazywają długiej linii rozmaitością.

Rozważanie wszystkich długich przestrzeni na raz ma sens, ponieważ każda spójna (niepusta) jednowymiarowa (niekoniecznie rozdzielna ) rozmaitość topologiczna , ewentualnie z granicą, jest homeomorficzna albo z okręgiem, z przedziałem domkniętym, albo z przedziałem otwartym (linia rzeczywista ), przedział półotwarty, zamknięty długi promień, otwarty długi promień lub długa linia.

Długa prosta lub prosta może być wyposażona w strukturę rozmaitości (nierozdzielnej) różniczkowalnej (z granicą w przypadku promienia zamkniętego). Jednak w przeciwieństwie do struktury topologicznej, która jest wyjątkowa (topologicznie istnieje tylko jeden sposób na „wydłużenie” rzeczywistej linii na każdym końcu), struktura różniczkowalna nie jest wyjątkowa: w rzeczywistości jest ich niezliczona liczba ( ${ \ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {1}}}$ dokładniej) parami niedyfeomorficznych gładkich struktur. Stoi to w ostrym kontraście z linią rzeczywistą, gdzie występują również różne struktury gładkie, ale wszystkie są dyfeomorficzne w stosunku do linii standardowej.

Długa prosta lub prosta może być nawet wyposażona w strukturę (rzeczywistej) rozmaitości analitycznej (z granicą w przypadku promienia zamkniętego). Jest to jednak znacznie trudniejsze niż w przypadku różniczkowalnych (zależy to od klasyfikacji (rozdzielnych) jednowymiarowych rozmaitości analitycznych, co jest trudniejsze niż w przypadku rozmaitości różniczkowalnych). Ponownie, każdą daną $strukturę$ można rozszerzyć na nieskończenie wiele sposobów na różne do ${\ omega}$ (=analityczne) struktury (które są parami niedyfeomorficzne jako rozmaitości analityczne).

Długa linia lub półprosta nie może być wyposażona w metrykę Riemanna , która indukuje jej topologię. Powodem jest to, że można wykazać, że rozmaitości riemannowskie, nawet bez założenia parazwartości, są metryzowalne.

Rozciągnięty długi promień jest zwarty . ${\ displaystyle L ^ {*}}$ Jest to jednopunktowe zagęszczenie zamkniętego długiego promienia $jest$ to również jego zagęszczenie Stone-Čech , ponieważ każda ciągła funkcja od (zamkniętego lub otwartego) długiego promienia do linii rzeczywistej jest ostatecznie stała . ${\ displaystyle L ^ {*}}$ jest również połączony , ale nie połączony ścieżką ponieważ długa linia jest „zbyt długa”, aby można ją było pokryć ścieżką, która jest ciągłym obrazem interwału. ${\ displaystyle L ^ {*}}$ nie jest rozmaitością i nie jest najpierw policzalny.

p -adyczny analog

Istnieje p -adyczny odpowiednik długiej linii, który zawdzięczamy George'owi Bergmanowi .

$liczb całkowitych$ jako rosnąca suma niezliczonego, skierowanego zestawu kopii pierścienia p -adycznych indeksowanych przez policzalną liczbę porządkową ${\ Displaystyle \ gamma.}$ Zdefiniuj mapę od ${\ Displaystyle X _ {\ delta}}$ do ${\ Displaystyle X _ {\ gamma}}$ w następujący sposób: ${\ Displaystyle \ delta <\ gamma}$

Jeśli jest następcą $\ Displaystyle$ $\ varepsilon +1},$ to mapa od $\ Displaystyle X _ {\ varepsilon}}$ { do $\ Displaystyle X_ {\ gamma}}$ wystarczy pomnożyć przez ${\ Displaystyle p.}$ Dla innych mapa od $X_ {\ delta}}$ $Displaystyle$ do $X_ {\ gamma}}$ jest składem mapy od do ${\ Displaystyle X_$ ${\ varepsilon}}$ i mapy od $\ Displaystyle X_ {\ varepsilon}$ do ${\ Displaystyle X _ {\ gamma}.}$
Jeśli jest graniczną $<\ gamma}$ γ { $delta$ jest policzalną sumą p - $\ displaystyle \ gamma}$ kulki adic, więc można je osadzić w ${\ Displaystyle X _ {\ gamma}},$ $usuniętym$ punktem jest również policzalną sumą p -adycznych kulek. Definiuje kompatybilne osadzania ${\ Displaystyle X_ {\ delta}}$ w ${\ Displaystyle X_ {\ gamma}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle \ delta <\ gamma.}$

Ta przestrzeń nie jest zwarta, ale suma dowolnego przeliczalnego zbioru zwartych podprzestrzeni ma zwarte domknięcie.

Wyższe wymiary

Niektóre przykłady rozmaitości nieparazwartych w wyższych wymiarach obejmują rozmaitość Prüfera , produkty dowolnej rozmaitości nieparazwartej z dowolną niepustą rozmaitością, kulę o dużym promieniu i tak dalej. Twierdzenie o dudach pokazuje $,$ że istnieją klasy nieparazwartych

Nie ma złożonych odpowiedników linii długiej, ponieważ każda powierzchnia Riemanna jest parazwarta, ale Calabi i Rosenlicht podali przykład nieparazwartej rozmaitości złożonej o wymiarze zespolonym 2.

Zobacz też