Topologia porządku leksykograficznego na kwadracie jednostkowym

W topologii ogólnej porządek leksykograficzny na kwadracie jednostkowym (czasami porządek słownikowy na kwadracie jednostkowym ) jest topologią na kwadracie jednostkowym S , czyli na zbiorze punktów ( x , y ) na płaszczyźnie takich, że 0 ≤ x ≤ 1 i 0 ≤ y ≤ 1.

Budowa

Porządkowanie leksykograficzne daje całkowite uporządkowanie $x$ w kwadracie jednostkowym: jeśli ( , y ) i ( u , v ) to dwa punkty na kwadracie, ( x , y ) ${\ displaystyle \scriptstyle \prec }$ ( u , v ) wtedy i tylko wtedy, gdy x < u lub oba x = u i y < w . Stwierdzono symbolicznie,

$${\ Displaystyle (x, y) \ prec (u, v) \ iff (x <u) \ lor (x=u\land y<v)}$$

Topologia porządku leksykograficznego na kwadracie jednostkowym jest topologią porządku indukowaną przez to uporządkowanie.

Nieruchomości

Topologia porządku sprawia, że ​​S jest całkowicie normalną przestrzenią Hausdorffa . Ponieważ można udowodnić, że porządek leksykograficzny na S jest kompletny , ta topologia sprawia, że ​​S jest przestrzenią zwartą . Jednocześnie S zawiera niezliczoną liczbę parami rozłącznych otwartych przedziałów, z których każdy jest homeomorficzny z linią rzeczywistą , na przykład przedziały ${\ Displaystyle U_ {x} = \ {(x, y): 1/4 <y <1/2 \}}$ dla ${\ Displaystyle 0\równik x\równik 1}$ . Więc S nie jest $.$ , ponieważ każdy podzbiór musi zawierać co najmniej jeden punkt w każdym Stąd S nie jest metryzowalny (ponieważ dowolna zwarta przestrzeń metryczna jest rozdzielny); jednak jest to najpierw policzalne . Ponadto S jest połączone i połączone lokalnie, ale nie jest połączone ścieżką i nie jest połączone lokalnie. Jego podstawowa grupa jest trywialna.

Zobacz też

• Lista topologii
• Długa linia

Notatki

•   Steen, Luizjana; Seebach, JA (1995), kontrprzykłady w topologii , Dover, ISBN 0-486-68735-X