Oddzielne zestawy

Aksjomaty separacji w przestrzeniach topologicznych
Klasyfikacja Kołmogorowa
T0	(Kołmogorow)
T 1	(Frechet)
T 2	(Hausdorffa)
T 2 ½	(Urysohn)
całkowicie T2	(całkowicie Hausdorffa)
T 3	(zwykły Hausdorff)
T 3½	(Tychonow)
T4 _	(normalny Hausdorff)
T 5	(całkowicie normalny Hausdorff)
T 6	(całkowicie normalny Hausdorff)
Historia

W topologii i pokrewnych gałęziach matematyki zbiory rozdzielone to pary podzbiorów danej przestrzeni topologicznej , które są ze sobą powiązane w określony sposób: z grubsza mówiąc, ani nie nakładają się, ani nie stykają . Pojęcie, kiedy dwa zbiory są rozdzielone lub nie, jest ważne zarówno dla pojęcia spójnych przestrzeni (i ich spójnych składowych), jak i dla aksjomatów separacji dla przestrzeni topologicznych.

Oddzielnych zestawów nie należy mylić z oddzielnymi przestrzeniami (zdefiniowanymi poniżej), które są nieco powiązane, ale różne. Przestrzenie rozdzielne to znowu zupełnie inna koncepcja topologiczna.

Definicje

Istnieją różne sposoby, w jakie dwa podzbiory i $displaystyle$$B}$ przestrzeni topologicznej $rozdzielone$ uznać za Najbardziej podstawowym sposobem, w jaki można rozdzielić dwa zbiory, jest to, czy są one rozłączne , to znaczy, jeśli ich przecięcie jest zbiorem pustym . Właściwość ta nie ma nic wspólnego z topologią jako taką, a jedynie z teorią mnogości . Każda z poniższych właściwości jest bardziej rygorystyczna niż rozłączność i zawiera pewne informacje topologiczne. Właściwości są przedstawione w rosnącej kolejności specyficzności, z których każda jest silniejszym pojęciem niż poprzednia.

Bardziej restrykcyjną właściwością jest to, że i są oddzielone w , jeśli każdy z nich jest rozłączny z zamknięciem drugiego : $}$${\ displaystyle A}$ b $\ displaystyle B$

$${\ Displaystyle \ lewo (A \ czapka {\ bar {B}} \ prawo) \ kubek \ lewo ({\ bar {A}} \ czapka B \ prawo) = \ varnothing.}$$

Właściwość ta jest znana jako warunek separacji Hausdorffa-Lennesa . Ponieważ każdy zbiór zawiera się w swoim domknięciu, dwa oddzielne zbiory automatycznie muszą być rozłączne. Same zamknięcia nie muszą być od siebie rozłączne; $\$ przykład interwały i w linii rzeczywistej $}$$R$$mathbb$ mimo że punkt 1 należy do obu ich domknięć. Bardziej ogólnym przykładem jest to, że w dowolnej przestrzeni metrycznej dwie otwarte kule ${\ Displaystyle B_ {r} (p) = \ {x \ in X:d(p,x)<r\}}$ i ${\ Displaystyle B_ {s} (q) = \ {x \ w X: d (q, x) <s \}} są$ rozdzielane, gdy ${\ Displaystyle d (p, q) \ geq r + s.}$ Właściwość bycia rozdzielonym można również wyrazić w kategoriach zbioru pochodnego (oznaczonego symbolem liczby pierwszej): ${\ Displaystyle A}$ i ${\ displaystyle B }$ są rozdzielone, gdy są rozłączne, a każdy z nich jest rozłączny ze zbioru pochodnego drugiego, to znaczy ${\ textstyle A'\ cap B = \ varnothing = B'\ cap A.}$ (Podobnie jak w przypadku pierwszej wersji definicji, zbiory pochodne ${\ Displaystyle A'}$ i ${\ Displaystyle B '}$ nie muszą być rozłączne.)

Zbiory są $B$ sąsiedztwami , jeśli istnieją sąsiedztwa ${\ displaystyle$$A$$}$ i V $\$$displaystyle V}$ B displaystyle takie $,$ i $są$ . (Czasami zobaczysz wymóg, aby ${\ displaystyle U}$ i być otwartymi $dzielnicami ,$${\ Displaystyle B = (1,2],}$ ostatecznie nie ma to znaczenia.) Na przykład $V$ V możesz wziąć ${\ Displaystyle U = (-1,1)}$ i ${\ Displaystyle V = (1,3).}$ Zauważ, że jeśli dowolne dwa zestawy są oddzielone sąsiedztwem, to z pewnością są oddzielone. Jeśli i są otwarte i rozłączne, to muszą być oddzielone dzielnicami; ${\ displaystyle A}$ i ${\ displaystyle B}$ po prostu weź ${\ displaystyle U = A}$ i ${\ Displaystyle V = B.}$ Z tego powodu odrębność jest często używana w przypadku zbiorów domkniętych (jak w aksjomacie normalnej separacji ).

Zbiory są oddzielone zamkniętymi sąsiedztwami , jeśli istnieje zamknięte sąsiedztwo $A$ i zamknięte sąsiedztwo $\ displaystyle A$${$$i$$displaystyle A$ \ $B} takie$$,$$displaystyle$ że i są rozłączne. Nasze przykłady, ${\ Displaystyle [0,1)}$ i ${\ Displaystyle (1,2],}$ nie są oddzielone zamkniętymi dzielnicami. Można zrobić albo ${\ displaystyle U},$ albo ${\ displaystyle V}$ domknięty przez włączenie do niego punktu 1, ale nie możesz sprawić, by oba były domknięte, zachowując jednocześnie rozłączność.Zauważ, że jeśli dowolne dwa zbiory są oddzielone domkniętymi sąsiedztwami, to z pewnością są oddzielone sąsiedztwami .

Zbiory są oddzielone funkcją ciągłą , jeśli istnieje funkcja ciągła z przestrzeni X ${\ Displaystyle X}$$}$$Displaystyle f: X$$\ mathbb {R$ do rzeczywistej linii ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ tak, że ${\ Displaystyle A \ subseteq f ^ {- 1} (0)}$ i ${\ Displaystyle B \ subseteq f ^ {- 1} (1)}$ , czyli członkowie $do$ 0 i członkowie mapują do ${\ displaystyle A}$ 1. (Czasami w tej definicji zamiast interwału jednostkowego używa się przedziału $, ale to nie ma znaczenia.) W naszym przykładzie:$${\ Displaystyle [0,1]}$${\ Displaystyle [0,1)}$$są$ nie $funkcją ,$ nie ma możliwości ciągłego definiowania 1 Jeśli dwa zestawy są oddzielone funkcją ciągłą, to są one również sąsiedztwami ; sąsiedztwa można podać w kategoriach przedobrazu jako $fa$${\ Displaystyle U = f ^ {-1} [-c, c]}$ V $c],}$$\ Displaystyle V = f ^ {- 1} [1 -c, 1$$\ Displaystyle 1/2.$ gdzie jest dowolną $1/2.$ liczbą rzeczywistą mniejszą niż

Zbiory są $displaystyle B}$ funkcją ciągłą, funkcja ciągła taka $\ displaystyle$ że $A} i$${\ Displaystyle A = f ^ {- 1} (0)}$ \ i ${\ Displaystyle B = f ^ {- 1} (1).}$ (Ponownie, możesz również zobaczyć przedział jednostek zamiast i znowu nie ma to znaczenia.) Zauważ, że jeśli dowolne dwa zestawy są dokładnie oddzielone funkcją, to są one ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ R przez funkcję . Ponieważ $\{0\}$ and $\{1\}$ are closed in $\mathbb {R} ,$ tylko zbiory domknięte mogą być dokładnie rozdzielone funkcją, ale fakt, że dwa zbiory są domknięte i rozdzielone funkcją, nie oznacza, że ​​są one automatycznie rozdzielone precyzyjnie funkcją (nawet inną funkcją).

Stosunek do aksjomatów separacji i przestrzeni separowanych

Główny artykuł: aksjomat separacji

Aksjomaty separacji to różne warunki, które czasami nakłada się na przestrzenie topologiczne, z których wiele można opisać za pomocą różnych typów rozdzielonych zbiorów. Jako przykład zdefiniujemy aksjomat T ₂ , który jest warunkiem nakładanym na rozdzielone przestrzenie. W szczególności przestrzeń topologiczna jest oddzielona , ​​jeśli przy danych dowolnych dwóch różnych punktach x i y zbiory singletonowe { x } i { y } są oddzielone sąsiedztwem.

Oddzielone przestrzenie są zwykle nazywane przestrzeniami Hausdorffa lub przestrzeniami T ₂ .

Relacja do połączonych przestrzeni

Główny artykuł: Połączona przestrzeń

Biorąc pod uwagę przestrzeń topologiczną X , czasami warto rozważyć, czy możliwe jest oddzielenie podzbioru A od jego dopełnienia . Jest to z pewnością prawdziwe, jeśli A jest zbiorem pustym lub całą przestrzenią X , ale mogą istnieć inne możliwości. Przestrzeń topologiczna X jest spójna , jeśli są to jedyne dwie możliwości. I odwrotnie , jeśli niepusty podzbiór A jest oddzielony od własnego uzupełnienia i jeśli jedyny podzbiór A aby dzielić tę właściwość, jest zbiorem pustym, to A jest otwartym komponentem X . (W zdegenerowanym przypadku, w którym X sam w sobie jest $zbiorem$$pustym$ , autorytety różnią co do tego, czy $jest$ i czy jest sam w sobie otwartym komponentem .)

Stosunek do topologicznie rozróżnialnych punktów

Główny artykuł: Rozróżnialność topologiczna

Mając daną przestrzeń topologiczną X , dwa punkty x i y są rozróżnialne topologicznie, jeśli istnieje zbiór otwarty , do którego jeden punkt należy, a drugi nie. Jeśli x i y są rozróżnialne topologicznie, to zbiory singletonowe { x } i { y } muszą być rozłączne. Z drugiej strony, jeśli singletony { x } i { y } są rozdzielone, to punkty x i y muszą być rozróżnialne topologicznie. Tak więc dla singletonów rozróżnialność topologiczna jest warunkiem pośrednim między rozłącznością a separacją.

Zobacz też

• Przestrzeń Hausdorffa – Typ przestrzeni topologicznej
• Lokalnie przestrzeń Hausdorffa
• Aksjomat separacji - Aksjomaty w topologii definiujące pojęcia „separacji”

Źródła

•   Munkres, James R. (2000). Topologia . Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2 .
•   Willard, Stephen (2004). Topologia ogólna . Addison-Wesley . ISBN 0-486-43479-6 .
• Pervin, William J. (1964), Podstawy topologii ogólnej , Academic Press