Numer Bettiego

W topologii algebraicznej liczby Bettiego są używane do rozróżniania przestrzeni topologicznych na podstawie łączności n -wymiarowych kompleksów uproszczonych . W przypadku najbardziej rozsądnych przestrzeni o skończonych wymiarach (takich jak rozmaitości zwarte , skończone kompleksy uproszczone lub kompleksy CW ) sekwencja liczb Bettiego wynosi 0 od pewnego momentu (liczby Bettiego znikają powyżej wymiaru przestrzeni) i wszystkie są skończone .

n - ^ta liczba Bettiego reprezentuje rangę n- ^tej grupy homologicznej , oznaczanej Hn , która mówi nam o maksymalnej liczbie cięć, które można wykonać przed rozdzieleniem powierzchni na dwie części lub 0-cykli, 1-cykli, itd. _Dla na przykład, jeśli ${\ Displaystyle H_ {n} (X) \ cong 0}$ to ${\ Displaystyle b_ {n} (X) = 0}$ , jeśli ${\ Displaystyle H_ {n} (X) \ cong \ mathbb {Z}}$ wtedy ${\ Displaystyle b_ {n} (X) = 1}$ , jeśli ${\ Displaystyle H_ {n} (X) \ cong \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}}$ wtedy ${\ Displaystyle b_ {n} (X) = 2}$ jeśli ${\ Displaystyle H_ {n} (X) \ cong \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}}$ wtedy ${\ Displaystyle b_ {n} (X) = 3}$ itd. Zauważ, że brane są pod uwagę tylko szeregi nieskończonych grup, więc na przykład, jeśli ${\ Displaystyle H_ {n} (X) \ cong \ mathbb {Z} ^ {k} \ oplus \ mathbb {Z} / (2)} , gdzie jest$ Z / $Displaystyle \ mathbb {Z} / (2)}$ skończona cykliczna grupa rzędu 2, to ${\ displaystyle b_ {n} (X) = k}$ . Te skończone składowe grup homologii są ich podgrupami torsyjnymi i są oznaczane przez współczynniki torsyjne .

Termin „liczby Bettiego” został ukuty przez Henri Poincaré po Enrico Bettim . Nowoczesną formułę zawdzięcza Emmy Noether . Liczby Bettiego są dziś używane w takich dziedzinach, jak uproszczona homologia , informatyka , obrazy cyfrowe itp.

Interpretacja geometryczna

W przypadku torusa pierwsza liczba Bettiego to b ₁ = 2 , co można intuicyjnie traktować jako liczbę okrągłych „dziur”

Nieformalnie k -ta liczba Bettiego odnosi się do liczby k -wymiarowych otworów na powierzchni topologicznej. „ K -wymiarowa dziura ” to k -wymiarowy cykl, który nie jest granicą obiektu ( k +1)-wymiarowego.

Kilka pierwszych liczb Bettiego ma następujące definicje 0-wymiarowych, 1-wymiarowych i 2-wymiarowych uproszczonych kompleksów :

• ₀ b to liczba połączonych komponentów;
• b1 to liczba jednowymiarowych lub „okrągłych” otworów _;
• b2 to liczba dwuwymiarowych „pustek” lub „wnęk” _.

₀ Na przykład torus ma jedną połączoną składową powierzchniową, więc b = 1, dwa „okrągłe” otwory (jeden równikowy i jeden południkowy ), więc b ₁ = 2, oraz pojedynczą wnękę zamkniętą w powierzchni, więc b ₂ = 1.

Inną interpretacją b _k jest maksymalna liczba k -wymiarowych krzywych, które można usunąć, gdy obiekt pozostaje połączony. Na przykład torus pozostaje połączony po usunięciu dwóch jednowymiarowych krzywych (równikowej i południkowej), więc b ₁ = 2.

Dwuwymiarowe liczby Bettiego są łatwiejsze do zrozumienia, ponieważ możemy zobaczyć świat w 0, 1, 2 i 3 wymiarach.

Definicja formalna

  Dla nieujemnej liczby całkowitej k k - ta liczba Bettiego b _k ( X ) przestrzeni X jest zdefiniowana jako rząd (liczba liniowo niezależnych generatorów) grupy abelowej H _k ( X ), k - tej grupy homologii X. _ k - ta grupa homologii to ${\ Displaystyle H_ {k} = \ ker \ delta _ {k} / \ operatorname {Im} \ delta _ {k + 1} }$ s są mapami granicznymi uproszczonego $kompleksu,$ a rząd H _k k - ta liczba Bettiego Równoważnie można to zdefiniować jako wymiar przestrzeni wektorowej H _k ( X ; Q ), ponieważ grupa homologii w tym przypadku jest przestrzenią wektorową nad Q . Twierdzenie o uniwersalnym współczynniku , w bardzo prostym przypadku bez skręcania, pokazuje, że te definicje są takie same.

Bardziej ogólnie, biorąc pod uwagę ciało F , można zdefiniować b _k ( X , F ), k -tą liczbę Bettiego ze współczynnikami w F , jako wymiar przestrzeni wektorowej H _k ( X , F ).

Wielomian Poincarégo

Wielomian Poincarégo powierzchni jest definiowany jako funkcja generująca jego liczby Bettiego. Na przykład liczby Betti torusa to 1, 2 i 1; zatem jego wielomian Poincarégo wynosi ${\ Displaystyle 1 + 2x + x ^ {2}}$ . Ta sama definicja dotyczy dowolnej przestrzeni topologicznej, która ma skończenie generowaną homologię.

${n.}}$$,$ która ma skończenie generowaną homologię, wielomian Poincarégo definiuje się jako funkcję generującą jego liczby Bettiego za pomocą wielomianu, w którym współczynnik wynosi x n {\ x $n}}$ .

Przykłady

Liczby Bettiego wykresu

Rozważmy graf topologiczny G , w którym zbiór wierzchołków to V , zbiór krawędzi to E , a zbiór połączonych składowych to C . Jak wyjaśniono na stronie poświęconej homologii grafów , jej grupy homologii są podane przez:

${\ Displaystyle H_ {k} (G) = {\ rozpocząć {przypadki} \ mathbb {Z} ^ {| C |} & k = 0 \\\ mathbb {Z} ^ {| E | + |C|-|V|}&k=1\\\{0\}&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}$

Można to łatwo udowodnić za pomocą indukcji matematycznej po liczbie krawędzi. Nowa krawędź albo zwiększa liczbę cykli 1, albo zmniejsza liczbę połączonych komponentów.

₀ Dlatego „zerowa” liczba Bettiego b ( G ) równa się | C |, czyli po prostu liczba połączonych komponentów.

Pierwsza liczba Bettiego b ₁ ( G ) równa się | E | + | C | - | V |. Nazywana jest również liczbą cyklomatyczną — termin wprowadzony przez Gustava Kirchhoffa przed artykułem Betti. Zobacz złożoność cykliczną dla aplikacji do inżynierii oprogramowania .

Wszystkie inne liczby Betti to 0.

Liczby Bettiego kompleksu uproszczonego

₀ Rozważmy kompleks uproszczony z 0-simplicami: a, b, c i d, 1-simplicami: E, F, G, H i I, a jedynym 2-simplikiem jest J, który jest zacienionym obszarem na rysunku. Oczywiste jest, że na tym rysunku jest jeden połączony element ( b ); jeden otwór, który jest obszarem niezacienionym ( _b1 ) ; i żadnych „pustek” lub „wnęk” ( b ₂ ).

$,$ że ranga $wynosi 1$ ranga $wynosi$ a ranga is 0.

Sekwencja liczb Bettiego dla tej figury to 1, 1, 0, 0, ...; wielomian Poincarégo wynosi ${\ Displaystyle 1 + x \,}$ .

Liczby Bettiego płaszczyzny rzutowej

Grupy homologii płaszczyzny rzutowej P to :

${\ Displaystyle H_ {k} (P) = {\ rozpocząć {przypadki} \ mathbb {Z} & k = 0 \\\ mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}$

Tutaj Z ₂ jest cykliczną grupą rzędu 2. 0-tą liczbą Bettiego jest znowu 1. Jednak 1-tą liczbą Bettiego jest 0. Dzieje się tak dlatego, że H ₁ ( P ) jest grupą skończoną - nie ma dowolny składnik nieskończony. Skończony składnik grupy nazywany jest współczynnikiem skręcania P . (Wymierne) liczby Bettiego b _k ( X ) nie uwzględniają skręcania w grupach homologii, ale są bardzo użytecznymi podstawowymi niezmiennikami topologicznymi. W najbardziej intuicyjny sposób pozwalają policzyć liczbę otworów o różnych wymiarach.

Nieruchomości

Charakterystyka Eulera

Dla skończonego CW-zespołu K mamy

${\ Displaystyle \ chi (K) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ { i}b_{i}(K,F),\,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ chi (K)}$ oznacza charakterystykę Eulera dla K i dowolnego pola F .

Produkt kartezjański

Dla dowolnych dwóch przestrzeni X i Y , które mamy

${\ Displaystyle P_ {X \ razy Y} = P_ {X} P_ {Y},}$

gdzie $oznacza$ wielomian Poincarégo , (bardziej ogólnie szereg Hilberta – Poincarégo dla przestrzeni nieskończenie wymiarowych), tj. funkcję generującą liczb Bettiego X : P X {\ displaystyle P_ {X }

${\ Displaystyle P_ {X} (z) = b_ {0} (X) + b_ {1 }(X)z+b_{2}(X)z^{2}+\cdots ,\,\!}$

zobacz twierdzenie Künnetha .

Symetria

Jeśli X jest rozmaitością n -wymiarową, istnieje symetria zamienna i $nk}$$displaystyle$ dla dowolnego ${\ displaystyle k$ : k

${\ Displaystyle b_ {k} (X) = b_ {nk} (X),}$

w warunkach ( zamknięty i zorientowany kolektor); zobacz dwoistość Poincarégo .

Różne współczynniki

Zależność od pola F wynika tylko z jego charakterystyki . Jeśli grupy homologii są od skręcania , liczby Bettiego są niezależne od F. Związek p -torsji i liczby Bettiego dla cechy p , dla p liczby pierwszej, szczegółowo opisuje twierdzenie o uniwersalnym współczynniku (oparte na funktorach Tor , ale w prostym przypadku).

Więcej przykładów

1. Sekwencja liczb Bettiego dla koła to 1, 1, 0, 0, 0, ...;

   wielomian Poincarégo wynosi

   ${\ Displaystyle 1 + x \,}$ .

2. Sekwencja liczb Bettiego dla trójtorusa to 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ... .

   wielomian Poincarégo to

   ${\ Displaystyle (1 + x) ^ {3} = 1 + 3x + 3x ^ {2} + x ^ {3} \,}$ .

3. Podobnie dla n - torusa

   wielomian Poincarégo wynosi

   Künnetha ) Bettiego są dwumianowymi $,$ z

   twierdzeniem

Możliwe jest, że przestrzenie, które są nieskończenie wymiarowe, w istotny sposób mają nieskończoną sekwencję niezerowych liczb Bettiego. Przykładem jest nieskończenie wymiarowa złożona przestrzeń rzutowa , z sekwencją 1, 0, 1, 0, 1, ... czyli okresowa, z okresem długości 2. W tym przypadku funkcja Poincarégo nie jest wielomianem, ale raczej nieskończonym szeregiem

${\ Displaystyle 1 + x ^ {2} + x ^ {4} + \ kropki b}$ ,

który, będąc szeregiem geometrycznym, można wyrazić jako funkcję wymierną

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1-x ^ {2}}}.}$

Mówiąc bardziej ogólnie, każdą sekwencję, która jest okresowa, można wyrazić jako sumę szeregu geometrycznego, uogólniając powyższe. Na przykład ${\ Displaystyle a, b, c, a, b, c, \ kropki,}$ ma funkcję generującą

${\ Displaystyle \ lewo (a + bx + cx ^ {2} \ prawo) / \ lewo (1-x ^ {3} \ prawo) \ ,}$

a bardziej ogólnie liniowe sekwencje rekurencyjne są dokładnie sekwencjami generowanymi przez funkcje wymierne ; zatem szereg Poincarégo można wyrazić jako funkcję wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy sekwencja liczb Bettiego jest liniową sekwencją rekurencyjną.

Wielomiany Poincarégo zwartych prostych grup Liego to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P_ {SU(n+1)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{5}\right)\cdots \left(1+x^{2n +1}\right)\\P_{SO(2n+1)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{Sp(n)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{ 7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{SO(2n)}(x)&=\left(1+x^{2n-1}\right )\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-5}\right)\\P_{G_{ 2}}(x)&=\lewo(1+x^{3}\prawo)\lewo(1+x^{11}\prawo)\\P_{F_{4}}(x)&=\lewo (1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{23}\right) \\P_{E_{6}}(x)&=\lewo(1+x^{3}\prawo)\lewo(1+x^{9}\prawo)\lewo(1+x^{11} \right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{17}\right)\left(1+x^{23}\right)\\P_{E_{7} }(x)&=\lewo(1+x^{3}\prawo)\lewo(1+x^{11}\prawo)\lewo(1+x^{15}\prawo)\lewo(1+ x^{19}\right)\left(1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\\P_ {E_{8}}(x)&=\lewo(1+x^{3}\prawo)\lewo(1+x^{15}\prawo)\lewo(1+x^{23}\prawo) \left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\left(1+x^{39}\right)\left(1+x^{47}\ prawo)\lewo(1+x^{59}\prawo)\end{wyrównane}}}$

Związek z wymiarami przestrzeni form różniczkowych

W sytuacjach geometrycznych, gdy jest $rozmaitością$ zamkniętą , znaczenie liczb Bettiego może wynikać z innego kierunku, a mianowicie z tego, że przewidują one wymiary przestrzeni wektorowych zamkniętych form różniczkowych modulo form różniczkowych . Związek z powyższą definicją wynika z trzech podstawowych wyników, twierdzenia de Rhama i dualności Poincarégo (jeśli mają zastosowanie) oraz twierdzenia o uniwersalnym współczynniku teorii homologii .

Istnieje alternatywne odczytanie, a mianowicie, że liczby Bettiego podają wymiary przestrzeni form harmonicznych . Wymaga to wykorzystania niektórych wyników teorii Hodge'a na Laplace'u Hodge'a .

W tym ustawieniu teoria Morse'a podaje zbiór nierówności dla naprzemiennych sum liczb Bettiego w postaci odpowiadającej im naprzemiennej sumy liczby punktów krytycznych funkcji Morse'a o danym indeksie : ${\ displaystyle N_ {i}}$

${\ Displaystyle b_ {i} (X) -b_ {i-1} (X) + \ cdots \ równoważnik N_ {i} -N_ {i-1} + \ cdots.}$

Edward Witten wyjaśnił te nierówności, używając funkcji Morse'a do modyfikacji zewnętrznej pochodnej w zespole de Rhama .

Zobacz też

• Analiza danych topologicznych
• Współczynnik skręcania
• Charakterystyka Eulera

•   Warner, Frank Wilson (1983), Podstawy rozmaitości różniczkowalnych i grup Liego , Nowy Jork: Springer, ISBN 0-387-90894-3 .
•   Roe, John (1998), Operatory eliptyczne, topologia i metody asymptotyczne , notatki z badań w serii matematycznej, tom. 395 (wyd. drugie), Boca Raton, FL: Chapman and Hall, ISBN 0-582-32502-1 .