Historia aksjomatów separacji
|
Aksjomaty separacji w przestrzeniach topologicznych | |
|---|---|
| Klasyfikacja Kołmogorowa | |
| T0 | (Kołmogorow) |
| T 1 | (Frechet) |
| T 2 | (Hausdorffa) |
| T 2 ½ | (Urysohn) |
| całkowicie T2 | (całkowicie Hausdorffa) |
| T 3 | (zwykły Hausdorff) |
| T 3½ | (Tychonow) |
| T4 _ | (normalny Hausdorff) |
| T 5 |
(całkowicie normalny Hausdorff) |
| T 6 |
(całkowicie normalny Hausdorff) |
Historia aksjomatów separacji w topologii ogólnej była zawiła, z wieloma znaczeniami konkurującymi o te same terminy i wieloma terminami konkurującymi o to samo pojęcie.
Pochodzenie
Przed obecną ogólną definicją przestrzeni topologicznej oferowano wiele definicji, z których niektóre zakładały (co teraz uważamy za) pewne aksjomaty separacji. Na przykład definicja podana przez Felixa Hausdorffa w 1914 r. Jest równoważna współczesnej definicji plus aksjomat separacji Hausdorffa .
Aksjomaty separacji, jako grupa, stały się ważne w badaniu metryzowalności : pytanie, którym przestrzeniom topologicznym można nadać strukturę przestrzeni metrycznej . Przestrzenie metryczne spełniają wszystkie aksjomaty separacji; ale w rzeczywistości badanie przestrzeni, które spełniają tylko niektóre aksjomaty, pomaga zbudować pojęcie pełnej metryczności.
Aksjomatami separacji, które po raz pierwszy zbadano łącznie w ten sposób, były aksjomaty przestrzeni dostępnych , przestrzeni Hausdorffa , przestrzeni regularnych i przestrzeni normalnych . Topologowie nadali tym klasom przestrzeni nazwy T 1 , T 2 , T 3 i T 4 . Później ten system numeracji został rozszerzony o T 0 , T 2½ , T 3½ (lub T π ), T 5 i T 6 .
Ale ta sekwencja miała swoje problemy. Pomysł miał polegać na tym, że każda przestrzeń T i jest szczególnym rodzajem przestrzeni T j , jeśli i > j . Ale niekoniecznie jest to prawdą, ponieważ definicje są różne. Na przykład przestrzeń regularna (nazywana T 3 ) nie musi być przestrzenią Hausdorffa (nazywaną T 2 ), przynajmniej nie zgodnie z najprostszą definicją przestrzeni regularnych.
Różne definicje
0 Każdy autor zgadzał się co do T , T 1 i T 2 . Jednak w przypadku innych aksjomatów różni autorzy mogli stosować znacząco różne definicje, w zależności od tego, nad czym pracowali. Różnice te mogą się rozwinąć, ponieważ jeśli założy się, że przestrzeń topologiczna spełnia warunek T1 aksjomat, to różne definicje są (w większości przypadków) równoważne. Tak więc, jeśli ktoś zamierza przyjąć takie założenie, to chciałby użyć najprostszej definicji. Ale gdyby ktoś nie przyjął tego założenia, najprostsza definicja może nie być właściwa dla najbardziej użytecznego pojęcia; w każdym razie zniszczyłoby to (przechodnią) implikację T i przez T j , dopuszczając (na przykład) regularne przestrzenie inne niż Hausdorff.
Topologowie pracujący nad problemem metryzacji na ogół zakładali T 1 ; w końcu wszystkie przestrzenie metryczne to T 1 . Użyli więc najprostszych definicji T i . Następnie, w przypadkach, gdy nie zakładali T 1 , używali słów („zwykły” i „normalny”) dla bardziej skomplikowanych definicji, aby skontrastować je z prostszymi. Podejście to zastosowano dopiero w 1970 roku wraz z publikacją Counterexamples in Topology autorstwa Lynn A. Steen i J. Arthur Seebach, Jr.
Natomiast topologowie ogólni , kierowani przez Johna L. Kelleya w 1955 r., zwykle nie zakładali T 1 , więc od początku badali aksjomaty separacji w największej ogólności. Użyli bardziej skomplikowanych definicji dla T i , aby zawsze mieli ładną właściwość odnoszącą T i do T j . Następnie, dla prostszych definicji, używali słów (ponownie „zwykły” i „normalny”). Można powiedzieć, że obie konwencje mają „oryginalne” znaczenie; różne znaczenia są takie same dla T 1 0 przestrzenie, co było pierwotnym kontekstem. Ale w rezultacie różni autorzy używali różnych terminów w dokładnie przeciwny sposób. Dodając do zamieszania, w niektórych publikacjach można zaobserwować ładne rozróżnienie między aksjomatem a przestrzenią, która spełnia aksjomat, tak że przestrzeń T 3 może wymagać spełnienia aksjomatów T 3 i T (np. w Encyclopedic Dictionary of Mathematics , 2. wyd.).
Od 1970 roku terminy topologów ogólnych zyskują na popularności, także w innych gałęziach matematyki, takich jak analiza . (Dlatego używamy ich terminów w Wikipedii.) Ale użycie nadal nie jest spójne.
spacje Hausdorffa, Urysohna i T 2 1 ⁄ 2
Steen i Seebach definiują przestrzeń Urysohna jako „przestrzeń z funkcją Urysohna dla dowolnych dwóch punktów”. Willard nazywa to całkowicie przestrzenią Hausdorffa. Steen i Seebach definiują całkowicie przestrzeń Hausdorffa lub przestrzeń T 2 1 / 2 jako przestrzeń, w której każde dwa punkty są oddzielone zamkniętymi sąsiedztwami, które Willard nazywa przestrzenią Urysohna lub przestrzenią T 2 1 / 2 . (Wikipedia podąża za Willardem.)
Zobacz też
- Johna L. Kelleya ; Topologia ogólna ; ISBN 0-387-90125-6
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( przedruk Dover z 1978 r.), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , MR 0507446
- Stephen Willard, Topologia ogólna , Addison-Wesley, 1970. Przedruk: Dover Publications, Nowy Jork, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (wydanie z Dover).
- Willard, Stephen (2004) [1970]. Topologia ogólna . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240 .