Lista rzeczywistych tematów analizy

To jest lista artykułów, które są uważane za prawdziwe tematy do analizy.

Tematy ogólne

Granice

• Granica ciągu
  • Granica następcza – granica jakiegoś podciągu
• Granica funkcji ( patrz Lista granic , aby zapoznać się z listą granic typowych funkcji)
  • Granica jednostronna - jedna z dwóch granic funkcji zmiennych rzeczywistych x, gdy x zbliża się do punktu z góry lub z dołu
  • Twierdzenie o ściśnięciu - potwierdza granicę funkcji poprzez porównanie z dwiema innymi funkcjami
  • Notacja Big O - używana do opisania ograniczającego zachowania funkcji, gdy argument zmierza do określonej wartości lub nieskończoności, zwykle w kategoriach prostszych funkcji

Sekwencje i serie

( zobacz także listę szeregów matematycznych )

• Postęp arytmetyczny – ciąg liczb taki, że różnica między kolejnymi wyrazami jest stała
  • Uogólniony postęp arytmetyczny – ciąg liczb taki, że różnica między kolejnymi wyrazami może być jedną z kilku możliwych stałych
• Postęp geometryczny - ciąg liczb taki, że każdy kolejny wyraz znajduje się mnożąc poprzedni przez ustaloną liczbę różną od zera
• Postęp harmoniczny - ciąg utworzony z odwrotności wyrazów ciągu arytmetycznego
• Skończona sekwencja - patrz sekwencja
• Nieskończona sekwencja - patrz sekwencja
• Sekwencja rozbieżna – patrz granica sekwencji lub szereg rozbieżny
• Sekwencja zbieżna - patrz granica sekwencji lub szereg zbieżny
  • Sekwencja Cauchy'ego - sekwencja, której elementy zbliżają się do siebie w miarę postępu sekwencji
• Szereg zbieżny – szereg, którego ciąg sum częściowych jest zbieżny
• Szereg rozbieżny – szereg, którego ciąg sum cząstkowych jest rozbieżny
• Szereg potęgowy – szereg postaci ${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ lewo (xc \ prawo) ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} (xc) ^ {1}+a_{2}(xc)^{2}+a_{3}(xc)^{3}+\cdots }$
  • Szereg Taylora – szereg postaci ${\ Displaystyle f (a) + {\ Frac {f' (a)} {1!}} (xa) + {\ Frac {f'' (a)} {2!}} (xa) ^ {2} +{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(xa)^{3}+\cdots .} Szereg Maclaurina –$
    • patrz szereg Taylora Szereg
      • dwumianowy – szereg Maclaurina danej funkcji f przez fa ( x ) = (1 + x )   ^α
• Seria teleskopowa
• Serie naprzemienne
• Szeregi geometryczne
  • Rozbieżne szeregi geometryczne
• Szereg harmoniczny
• szereg Fouriera
• szereg Lamberta

Metody sumowania

• Podsumowanie Cesaro
• Podsumowanie Eulera
• Podsumowanie Lamberta
• Sumowanie Borela
• Sumowanie według części – przekształca sumowanie iloczynów na inne sumowania
• znaczy Cezaro
• Formuła sumowania Abela

Bardziej zaawansowane tematy

• • Splot – jest dyskretnym splotem dwóch ciągów
  Iloczyn Cauchy'ego
• Sekwencja Fareya - sekwencja całkowicie zredukowanych ułamków między 0 a 1
• Oscylacja – to zachowanie ciągu liczb rzeczywistych lub funkcji o wartościach rzeczywistych, które nie są zbieżne, ale też nie rozchodzą się do +∞ lub −∞; i jest również miarą ilościową tego.
• ⁰⁰ Formy nieokreślone – wyrażenia algebraiczne uzyskane w kontekście granic. Formy nieokreślone obejmują 0 , 0/0, 1 ^∞ , ∞ - ∞, ∞/∞, 0 × ∞ i ∞ .

Konwergencja

• Zbieżność punktowa , Zbieżność jednostajna
• Zbieżność bezwzględna , zbieżność warunkowa
• Normalna zbieżność
• Promień zbieżności

Testy konwergencji

• Integralny test zbieżności
• Test zbieżności Cauchy'ego
• Test proporcji
• Bezpośredni test porównawczy
• Limitowy test porównawczy
• Test roota
• Test serii naprzemiennych
• próba Dirichleta
• Twierdzenie Stolza-Cesàro - jest kryterium dowodzenia zbieżności ciągu

Funkcje

• Funkcja zmiennej rzeczywistej
• Rzeczywista funkcja wielu zmiennych
• Funkcja ciągła
  • Nigdzie funkcja ciągła
  • Funkcja Weierstrassa
• Płynna funkcja
  • Funkcja analityczna
    • Funkcja quasi-analityczna
  • Nieanalityczna funkcja gładka
  • Funkcja płaska
  • Funkcja uderzenia
• Funkcja różniczkowalna
• Funkcja całkowalna
  • Funkcja całkowalna kwadratowa , funkcja całkowalna p
• Funkcja monotoniczna
  • Twierdzenie Bernsteina o funkcjach monotonicznych - stwierdza, że ​​​​każda funkcja o wartościach rzeczywistych na półprostej [0, ∞), która jest całkowicie monotoniczna, jest mieszaniną funkcji wykładniczych
• Funkcja odwrotna
• Funkcja wypukła , Funkcja wklęsła
• Funkcja pojedyncza
• Funkcja harmoniczna
  • Funkcja słabo harmoniczna
  • Właściwa funkcja wypukła
• Funkcja wymierna
• Funkcja ortogonalna
• Funkcje ukryte i jawne
  • Twierdzenie o funkcji ukrytej – umożliwia zamianę relacji na funkcje
• Mierzalna funkcja
• Funkcja jednej gwiazdy Baire'a
• Funkcja symetryczna
• Domena
• • Obraz
  domeny kodowej
• Wsparcie
• Różniczka funkcji

Ciągłość

• Jednostajna ciągłość
  • Moduł ciągłości
• Ciągłość Lipschitza
• Półciągłość
• Równociągłe
• Absolutna ciągłość
• Warunek Höldera – warunek ciągłości Höldera

dystrybucje

• Funkcja delta Diraca
• Funkcja kroku Heaviside'a
• Transformacja Hilberta
• Funkcja Greena

Zmiana

• Ograniczona zmienność
• Totalna odmiana

Pochodne

• Druga pochodna
  • Punkt przegięcia – znaleziony za pomocą drugich pochodnych
• Pochodna kierunkowa , Pochodna całkowita , Pochodna cząstkowa

Reguły różniczkowania

• Liniowość różniczkowania
• Reguła produktu
• Reguła ilorazowa
• Zasada łańcuchowa
• Twierdzenie o funkcji odwrotnej - podaje warunki wystarczające, aby funkcja była odwracalna w sąsiedztwie punktu w jej dziedzinie, podaje również wzór na pochodną funkcji odwrotnej

Zróżnicowanie w geometrii i topologii

zobacz także Lista tematów geometrii różniczkowej

• Różniczkowalna rozmaitość
• Struktura różniczkowalna
• Zanurzenie - różniczkowalna mapa między rozmaitościami różniczkowalnymi, których różniczka jest wszędzie suriekcją

całki

(zobacz także Listy całek )

• Funkcja pierwotna
  • Fundamentalne twierdzenie rachunku różniczkowego – twierdzenie funkcji pierwotnych
• Całka wielokrotna
• Całka iterowana
• Całka niewłaściwa
  • Wartość główna Cauchy'ego – metoda przypisywania wartości pewnym całkom niewłaściwym
• Całka liniowa
• Twierdzenie Andersona - mówi, że całka całkowalnej, symetrycznej, jednomodalnej, nieujemnej funkcji na n -wymiarowym wypukłym ciele ( K ) nie zmniejsza się, jeśli K jest tłumaczone do wewnątrz w kierunku początku

Teoria całkowania i miary

zobacz także Lista tematów integracji i teorii miary

• Całka Riemanna , suma Riemanna całka
  • Riemanna-Stieltjesa
• Całka Darboux
• całkowanie Lebesgue'a

Podstawowe twierdzenia

• Twierdzenie o zbieżności monotonicznej - wiąże monotoniczność ze zbieżnością
• Twierdzenie o wartości pośredniej - stwierdza, że ​​dla każdej wartości między najmniejszą górną a największą dolną granicą obrazu funkcji ciągłej istnieje co najmniej jeden punkt w jej dziedzinie, który funkcja odwzorowuje na tę wartość
• Twierdzenie Rolle'a - zasadniczo stwierdza, że ​​​​funkcja różniczkowalna, która osiąga równe wartości w dwóch różnych punktach, musi mieć punkt gdzieś pomiędzy nimi, w którym pierwsza pochodna wynosi zero
• Twierdzenie o wartości średniej - że dla danego łuku różniczkowalnej krzywej istnieje co najmniej jeden punkt na tym łuku, w którym pochodna krzywej jest równa „średniej” pochodnej łuku
• $daje$ Taylora - przybliżenie funkcji różniczkowalnej wokół danego punktu przez $wielomian$ Taylora -tego rzędu
• Reguła L'Hôpitala - wykorzystuje pochodne, aby pomóc oszacować granice obejmujące nieokreślone formy
• Twierdzenie Abla - wiąże granicę szeregu potęgowego z sumą jego współczynników
• Twierdzenie o odwróceniu Lagrange'a - daje szereg Taylora odwrotności funkcji analitycznej
• Twierdzenie Darboux - stwierdza, że ​​wszystkie funkcje, które wynikają z różniczkowania innych funkcji, mają właściwość wartości pośredniej: obraz przedziału jest również przedziałem
• Twierdzenie Heinego – Borela - czasami używane jako właściwość definiująca zwartość
• Twierdzenie Bolzano – Weierstrassa - stwierdza, że ​​​​każdy ograniczony ciąg w ma zbieżny podciąg ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$
• Twierdzenie o wartości ekstremalnej - stwierdza, że ​​​​jeśli funkcja jest ciągła w przedziale zamkniętym i ograniczonym $a, b]}$$,$ to musi osiągnąć maksimum i minimum

Podstawowe tematy

Liczby

Liczby rzeczywiste

• Konstrukcja liczb rzeczywistych
  • Liczba naturalna
  • Liczba całkowita
  • Liczba wymierna
  • Liczba niewymierna
• Kompletność liczb rzeczywistych
• Najmniejsza górna granica właściwości
• Prawdziwa linia
  • Rozszerzona oś liczb rzeczywistych
  • Cięcie Dedekinda

Konkretne liczby

• 0
• 1
  • 0,999...
• Nieskończoność

Zestawy

• Otwarty zestaw
• Sąsiedztwo
• Zestaw Cantora
• Zbiór pochodny (matematyka)
• Kompletność
• Ogranicz nadrzędny i ogranicz dolny
  • najwyższy
  • Infinite
• Interwał
  • Podział interwału

Mapy

• Mapowanie skurczu
• Mapa metryczna
• Punkt stały – punkt funkcji, który odwzorowuje się na siebie

Stosowane narzędzia matematyczne

Nieskończone wyrażenia

• Ciąg dalszy ułamka
• Seria
• Nieskończona ilość produktów

nierówności

Zobacz listę nierówności

• Nierówność trójkąta
• Nierówność Bernoulliego
• Nierówność Cauchy'ego-Schwarza
• Nierówność Höldera
• Nierówność Minkowskiego
• Nierówność Jensena
• Nierówność Czebyszewa
• Nierówność średnich arytmetycznych i geometrycznych

Oznacza

• Średnia uogólniona
• środki pitagorejskie
  • Średnia arytmetyczna
  • Średnia geometryczna
  • Średnia harmoniczna
• Średnia geometryczno-harmoniczna
• Średnia arytmetyczno-geometryczna
• Średnia ważona
• Średnia quasi-arytmetyczna

Wielomiany ortogonalne

• Klasyczne wielomiany ortogonalne
  • Wielomiany Hermite'a
  • Wielomiany Laguerre'a
  • Wielomiany Jacobiego
  • Wielomiany Gegenbauera
  • Wielomiany Legendre'a

Przestrzenie

• Przestrzeń euklidesowa
• Przestrzeń metryczna
  • Twierdzenie Banacha o punkcie stałym - gwarantuje istnienie i niepowtarzalność punktów stałych pewnych automap przestrzeni metrycznych, zapewnia metodę ich znajdowania
  • Pełna przestrzeń metryczna
• Przestrzeń topologiczna Przestrzeń
  • funkcji Przestrzeń
    • sekwencji
• Kompaktowa przestrzeń

Środki

• Miara Lebesgue'a
• Miara zewnętrzna
  • Miara Hausdorffa
• Twierdzenie o zbieżności zdominowanej – zapewnia dostateczne warunki, w których dochodzą do siebie dwa procesy graniczne, a mianowicie całka Lebesgue'a i prawie wszędzie zbieżność ciągu funkcji.

Pole zestawów

• Sigma-algebra

Postacie historyczne

• Michel Rolle (1652-1719)
• Brook Taylora (1685-1731)
• Leonhard Euler (1707-1783)
• Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
• Józef Fourier (1768-1830)
• Bernard Bolzano (1781–1848)
• Augustyn Cauchy (1789-1857)
• Niels Henrik Abel (1802–1829)
• Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)
• Karol Weierstrass (1815–1897)
• Eduarda Heinego (1821–1881)
• Pafnutij Czebyszew (1821–1894)
• Leopold Kronecker (1823–1891)
• Bernhard Riemanna (1826-1866)
• Richarda Dedekinda (1831–1916)
• Rudolfa Lipschitza (1832–1903)
• Camille Jordan (1838–1922)
• Jean Gaston Darboux (1842–1917)
• Georg Cantor (1845–1918)
• Ernesto Cesaro (1859–1906)
• Otto Hölder (1859–1937)
• Hermann Minkowski (1864–1909)
• Alfreda Taubera (1866–1942)
• Felix Hausdorff (1868–1942)
• Émile Borel (1871–1956)
• Henri Lebesgue (1875–1941)
• Wacław Sierpiński (1882–1969)
• Johann Radon (1887–1956)
• Karl Menger (1902–1985)

Powiązane dziedziny analizy

• Analiza asymptotyczna - bada metodę opisywania zachowań ograniczających
• Analiza wypukła – bada właściwości funkcji wypukłych i zbiorów wypukłych
  • Lista tematów wypukłości
• Analiza harmoniczna – bada reprezentację funkcji lub sygnałów jako superpozycji fal podstawowych
  • Lista tematów analizy harmonicznej
• Analiza Fouriera – bada szeregi Fouriera i transformaty Fouriera
  • Lista tematów analizy Fouriera
  • Lista transformat związanych z Fourierem
• Analiza złożona - bada rozszerzenie analizy rzeczywistej o liczby zespolone
• Analiza funkcjonalna - bada przestrzenie wektorowe wyposażone w struktury związane z granicami i operatory liniowe działające na te przestrzenie
• Analiza niestandardowa – bada analizę matematyczną przy użyciu rygorystycznego traktowania nieskończenie małych .

Zobacz też

• Rachunek różniczkowy , klasyczny rachunek różniczkowy Newtona i Leibniza .
• Rachunek niestandardowy , rygorystyczne zastosowanie nieskończenie małych w sensie analizy niestandardowej do klasycznego rachunku różniczkowego Newtona i Leibniza.