Podsumowanie Cesaro

W analizie matematycznej sumowanie Cesàro (znane również jako średnia Cesàro ) przypisuje pewne nieskończone sumy wartości, które niekoniecznie są zbieżne w zwykłym sensie. Suma Cesàro jest zdefiniowana jako granica, ponieważ n dąży do nieskończoności, ciągu średnich arytmetycznych pierwszych n sum częściowych szeregu.

Ten szczególny przypadek metody sumowania macierzy został nazwany na cześć włoskiego analityka Ernesto Cesàro (1859–1906).

Termin sumowanie może być mylący, ponieważ można powiedzieć, że niektóre stwierdzenia i dowody dotyczące sumowania Cesàro implikują oszustwo Eilenberg – Mazur . Na przykład jest to powszechnie stosowane do szeregu Grandiego z wnioskiem, że suma tego szeregu wynosi 1/2.

Definicja

Niech ${\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ będzie sekwencją i niech

{\ Displaystyle s_ {k} = a_ {1} + \ cdots + a_ {k} = \ suma _ {n = 1} ^ {k }jakiś}}

być jego $k-$ tą sumą częściową .

Sekwencja $(za n)$ nazywa się Cesàro summable , z Cesàro sum $średnia$ , gdy $dąży$ do nieskończoności, arytmetyczna z jej pierwszych n sum cząstkowych $s 1, s 2, ..., s n$ dąży do $A$ :

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {k = 1} ^ {n} s_ {k} = A.}

Wartość otrzymanej granicy nazywana jest sumą Cesàro szeregu ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}.}$ Jeśli ten szereg jest zbieżny, to jest sumowalny Cesàro, a jego suma Cesàro jest zwykłą sumą.

Przykłady

Pierwszy przykład

Niech $a n = (-1) n$ dla $n \geq 0$ . Oznacza to, że ${\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n = 0} ^ {\ infty}}$ to sekwencja

{\ Displaystyle (1, -1,1, -1, \ ldots).}

Niech $G$ oznacza szereg

{\ Displaystyle G = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = 1-1 + 1-1 +1-\cdots}

Szereg $G$ jest znany jako szereg Grandiego .

Niech ${\ Displaystyle (s_ {k}) _ {k = 0} ^ {\ infty}}$ oznacza sekwencję sum częściowych $G$ :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} s_ {k} & = \ suma _ {n = 0} ^ {k} a_ {n} \\ (s_ {k}) & = (1,0,1,0, \ldots ).\end{wyrównane}}}

Ta sekwencja sum częściowych nie jest zbieżna, więc szereg $G$ jest rozbieżny. Jednak $G$ to sumowalny Cesàro. Niech ${\ Displaystyle (t_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ będzie ciągiem średnich arytmetycznych pierwszych $n$ sum cząstkowych:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} t_ {n} & = {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {k = 0} ^ {n-1} s_ {k} \\ (t_ {n} )&=\left({\frac {1}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{4}}, {\frac {3}{5}},{\frac {3}{6}},{\frac {4}{7}},{\frac {4}{8}},\ldots \right). \end{wyrównane}}}

Następnie

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} t_ {n} = 1/2,}

a zatem suma Cesàro szeregu $G$ wynosi $1/2$ .

Drugi przykład

Jako inny przykład niech $a n = n$ dla $n \geq 1$ . czyli ${\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ to sekwencja

{\ Displaystyle (1,2,3,4, \ kropki).}

Niech $G$ oznacza teraz szereg

{\ Displaystyle G = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} = 1 + 2 + 3 + 4+ \cdots}

Wtedy sekwencja sum częściowych to ${\ Displaystyle (s_ {k}) _ {k = 1} ^ {\ infty}}$

{\ Displaystyle (1,3,6,10, \ kropki).}

Ponieważ ciąg sum częściowych rośnie bez ograniczeń, szereg $G$ rozbiega się do nieskończoności. Sekwencja $(t n)$ średnich sum częściowych G to

{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {1} {1}}, {\ Frac {4} {2}}, {\ Frac {10} {3}}, {\ Frac {20} {4}}, \ldots \po prawej).}

Ta sekwencja również rozbiega się do nieskończoności, więc $G$ nie jest sumowalny Cesàro. W rzeczywistości dla każdego ciągu, który rozchodzi się do (dodatniej lub ujemnej) nieskończoności, metoda Cesàro prowadzi również do ciągu, który również się rozchodzi, a zatem taki szereg nie jest sumowalny Cesàro.

$(C, α)$ sumowanie

W 1890 roku Ernesto Cesàro przedstawił szerszą rodzinę metod sumowania, które od tego czasu nazwano $(C, α)$ dla nieujemnych liczb całkowitych $α$ . Metoda $(C, 0)$ to zwykłe sumowanie, a $(C, 1)$ to sumowanie Cesàro, jak opisano powyżej.

Metody wyższego rzędu można opisać w następujący sposób: mając szereg $Σ a n$ , zdefiniuj wielkości

\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A_ {n} ^ {- 1} i = a_ {n} \\ A_ {n} ^{\alpha }&=\suma _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}\end{wyrównane}}}

(gdzie górne indeksy nie oznaczają wykładników) i zdefiniuj $E α n$ jako $A α n$ dla szeregu 1 + 0 + 0 + 0 + ... . Wówczas $(C, α)$ suma $Σ a n$ jest oznaczona przez $(C, α)-Σ a n$ i ma wartość

{\ Displaystyle (\ operatorname {C}, \ alfa) {\ tekst {-}} \ suma _ {j = 0 }^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty}{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}}

jeśli istnieje ( Shawyer i Watson 1994 , s. 16-17). Ten opis reprezentuje $α$ -krotne iterowane zastosowanie metody sumowania początkowego i może być przekształcony jako

{\ Displaystyle (\ operatorname {C}, \ alfa) {\ tekst {-}} \ suma _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {j} = \ lim _ {n \ do \ infty} \ suma _{j=0}^{n}{\frac {\binom {n}{j}}{\binom {n+\alpha}}{j}}}a_{j}.}

Jeszcze bardziej ogólnie, niech A $α n będzie$ pośrednio dane przez współczynniki szeregu ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} A_ {n} ^ {\ alfa} x ^ {n} = {\ Frac {\ Displaystyle {\ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n}}} {(1-x) ^ {1 + \ alfa }}},}

i $Eαn jak powyżej$ . W szczególności $E α n$ to dwumianowe współczynniki potęgi $-1 - α$ . Wtedy $(C, α)$ suma $Σ a n$ jest zdefiniowana jak powyżej.

Jeśli $Σ an sumę$ ma sumę $(C, α)$ , to ma również $(C, β)$ dla każdego $β > α$ , a sumy są zgodne; ponadto mamy $o n = o (n α),$ jeśli $α > -1$ (patrz notacja little- $)$ .

Cesàro sumowalność całki

Niech $α \geq 0$ . Całka jest $(C, α)$ sumowalna, jeśli $, dx}$ ∞

{\ Displaystyle \ lim _ {\ lambda \ do \ infty} \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ lewo (1- { \frac {x}{\lambda}}\right)^{\alpha}f(x)\,dx}

istnieje i jest skończony ( Titchmarsh 1948 , §1.15). Wartość tej granicy, gdyby istniała, jest $(C, α)$ całki. Analogicznie jak w przypadku sumy szeregu, jeśli $α = 0$ , wynikiem jest zbieżność całki niewłaściwej . W przypadku $α = 1$ , $(C, 1)$ zbieżność jest równoważna istnieniu granicy

{\ Displaystyle \ lim _ {\ lambda \ do \ infty} {\ Frac {1} {\ lambda}} \ int _ {0} ^ {\lambda}\int _{0}^{x}f(y)\,dy\,dx}

co jest granicą średnich całek cząstkowych.

Podobnie jak w przypadku szeregów, jeśli całka jest $(C, α)$ sumowalna dla pewnej wartości $α \geq 0$ , to jest również sumowalna $(C, β)$ dla wszystkich $β > α$ , a wartością wynikowej granicy jest To samo.

Zobacz też

Bibliografia

Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications , Oxford University Press, ISBN 0-19-853585-6
Titchmarsh, EC (1948), Wprowadzenie do teorii całek Fouriera (wyd. 2), New York, NY: Chelsea Publishing . Przedruk 1986 z ISBN 978-0-8284-0324-5 .
Volkov, II (2001) [1994], „Metody sumowania Cesàro” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
Zygmund, Antoni (1988) [1968], Seria trygonometryczna (wyd. 2), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35885-9