Uogólniony postęp arytmetyczny

W matematyce uogólniony postęp arytmetyczny (lub wielokrotny postęp arytmetyczny ) jest uogólnieniem postępu arytmetycznego wyposażonego w wiele wspólnych różnic - podczas gdy postęp arytmetyczny jest generowany przez jedną wspólną różnicę, uogólniony postęp arytmetyczny może być generowany przez wiele wspólnych różnic. $_$ przykład sekwencja _ postęp arytmetyczny, ale zamiast tego jest generowany przez rozpoczęcie od 17 i dodanie 3 lub 5, co pozwala na wygenerowanie wielu wspólnych różnic. Zbiór półliniowy uogólnia tę ideę na wiele wymiarów - jest to raczej zbiór wektorów liczb całkowitych niż zbiór liczb całkowitych.

Skończony uogólniony postęp arytmetyczny

Skończony uogólniony postęp arytmetyczny lub czasami po prostu uogólniony postęp arytmetyczny (GAP) wymiaru d jest zdefiniowany jako zbiór postaci

${\ Displaystyle \ {x_ {0} + l_ {1} x_ {1} + \cdots +l_{d}x_{d}:0\równoważnik l_{1}<L_{1},\ldots,0\równoważnik l_{d}<L_{d}\}}$

gdzie ${\ Displaystyle x_ {0}, x_ {1}, \ kropki, x_ {d}, L_ {1}, \ kropki, L_ {d}\w \mathbb {Z}}$ . Iloczyn $_$ _ _ _ liczność , jeśli niektóre elementy zbioru mają wielokrotne reprezentacje. Jeśli liczność jest równa wielkości, postęp nazywamy właściwym . Uogólnione postępy $arytmetyczne$ można traktować jako rzutowanie siatki o wyższych wymiarach . Ta projekcja jest iniekcyjna wtedy i tylko wtedy, gdy uogólniony postęp arytmetyczny jest właściwy.

Zestawy półliniowe

Formalnie postęp arytmetyczny $nieskończoną$ sekwencją postaci $\ styl wyświetlania \mathbf {v} ,\mathbf {v} +\mathbf {v} ',\mathbf {v} +2\mathbf {v} ',\mathbf {v} +3\mathbf {v} ',\ldots }$ , gdzie i ${N} ^ {d}}$ ustalonymi wektorami w ${\ Displaystyle \ mathbb$$zwanymi$ początkowym i wspólna różnica odpowiednio. O podzbiorze mówi się, że jest liniowy , jeśli ma postać ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {d}}$

${\ Displaystyle \ lewo \ {\ mathbf {v} + \ suma _ {i = 1} ^ {m} k_ {i}\mathbf {v} _{i}\,\dwukropek \,k_{1},\kropki,k_{m}\in \mathbb {N} \right\},}$

gdzie ${\ Displaystyle m}$ jest pewną liczbą całkowitą i ${\ Displaystyle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} _ {1}, \ kropki, \ mathbf {v} _ {m }}$ są stałymi wektorami w ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {d}}$ . $półliniowy,$ podzbiorze mówi się, że jest jest skończoną sumą zbiorów liniowych.

Zbiory półliniowe są dokładnie zbiorami definiowalnymi w arytmetyce Presburgera .

Zobacz też

• Twierdzenie Freimana

•    Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoria liczb addytywnych: problemy odwrotne i geometria sum . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 165. Springera. ISBN 0-387-94655-1 . Zbl 0859.11003 .