Normalna zbieżność

W matematyce zbieżność normalna jest rodzajem zbieżności szeregu funkcji . Podobnie jak zbieżność absolutna , ma tę użyteczną właściwość, że jest zachowywana, gdy zmienia się kolejność sumowania.

Historia

Pojęcie zbieżności normalnej zostało po raz pierwszy wprowadzone przez René Baire'a w 1908 r. w jego książce Leçons sur les théories générales de l'analyse .

Definicja

$($ zbiór S i funkcje lub do dowolnej wektorowej , szereg

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n} (x)}$

nazywa się normalnie zbieżnym , jeśli szereg jednolitych norm wyrazów szeregu jest zbieżny, tj.

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \| f_ {n} \|: = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sup _ {x \ w S} | f_ {n}(x)|<\infty .}$

Wyróżnienia

jednostajną zbieżność absolutną , ale nie należy jej z nią mylić , tj. jednostajną zbieżność szeregu funkcji nieujemnych ${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} | f_ {n} (x) |}$ . Aby to zilustrować, rozważ

${\ Displaystyle f_ {n} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} 1/n, & x = n, \\ 0, i x \ neq n. \ koniec {przypadków}}}$

Wtedy szereg ${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | f_ {n} (x) |}$ jest jednostajnie zbieżny (dla dowolnego ε weź n ≥ 1/ ε ), ale szereg jednolitych norm jest harmoniczną szeregi , a więc są rozbieżne. Przykład użycia funkcji ciągłych można wykonać, zastępując te funkcje funkcjami wypukłości o wysokości 1/ n i szerokości 1 wyśrodkowanej na każdej liczbie naturalnej n .

Również zbieżność normalna szeregu różni się od zbieżności norma-topologia , tj. zbieżności ciągu sum częściowych w topologii indukowanej przez normę jednolitą. Zbieżność normalna implikuje zbieżność topologii normowej wtedy i tylko wtedy, gdy rozważana przestrzeń funkcji jest kompletna względem normy jednolitej. (Odwrotność nie zachodzi nawet w przypadku kompletnych przestrzeni funkcyjnych: na przykład rozważ szereg harmoniczny jako ciąg funkcji stałych).

Uogólnienia

Lokalna zbieżność normalna

Szereg można nazwać „lokalnie normalnie zbieżnym na X ”, jeśli każdy punkt x w X ma takie sąsiedztwo U , że szereg funkcji ƒ _n jest ograniczony do dziedziny U

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n} \ mid _ {U}}$

jest normalnie zbieżny, tj. taki, że

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \|f_ {n} \|_ {U}<\ infty}$

$_$ norma domeną U .

Kompaktowa zbieżność normalna

Mówimy, że szereg jest „normalnie zbieżny na zwartych podzbiorach X ” lub „zwarty normalnie zbieżny na X ”, jeśli dla każdego podzbioru zwartego K od X , szereg funkcji ƒ _n ograniczony do K

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n} \ mid _ {K}}$

jest normalnie zbieżny na K .

Uwaga : jeśli X jest lokalnie zwarty (nawet w najsłabszym sensie), lokalna zbieżność normalna i zwarta zbieżność normalna są równoważne.

Nieruchomości

• Każdy szereg normalny zbieżny jest jednostajnie zbieżny, lokalnie jednostajnie zbieżny i zwarto jednostajnie zbieżny. Jest to bardzo ważne, ponieważ zapewnia, że ​​każde przekształcenie szeregu, wszelkie pochodne lub całki szeregu oraz sumy i iloczyny z innymi szeregami zbieżnymi doprowadzą do „poprawnej” wartości.
• Jeśli $fa$ { $f}$ to ciągu ( ƒ ₁ , ƒ ₂ , ƒ ₃ ...) również zbiega się normalnie do tego samego ƒ . To znaczy dla każdej bijekcji ${\ Displaystyle \ tau: \ mathbb {N} \ do \ mathbb {N}}$ , ${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ { \ tau (n)} (x)}$ jest normalnie zbieżny do ${\ displaystyle f}$ .

Zobacz też

• Tryby konwergencji (indeks z adnotacjami)