Jednostajna zbieżność absolutna
W matematyce jednostajna zbieżność bezwzględna jest rodzajem zbieżności szeregu funkcji . Podobnie jak zbieżność absolutna , ma tę użyteczną właściwość, że jest zachowywana, gdy zmienia się kolejność sumowania.
Motywacja
Zbieżny szereg liczb można często uporządkować w taki sposób, że nowy szereg jest rozbieżny. Nie jest to jednak możliwe w przypadku szeregów liczb nieujemnych, więc pojęcie zbieżności bezwzględnej wyklucza to zjawisko. Gdy mamy do czynienia z jednostajnie zbieżnymi szeregami funkcji, zachodzi to samo zjawisko: szereg ten można potencjalnie zmienić w szereg niejednorodnie zbieżny lub szereg, który nie jest nawet zbieżny punktowo. Jest to niemożliwe w przypadku szeregu funkcji nieujemnych, więc pojęcie jednolitej zbieżności bezwzględnej może być użyte do wykluczenia tych możliwości.
Definicja
zbiór X i funkcje lub do dowolnej ) , szereg
nazywa się jednostajnie bezwzględnie zbieżnym, jeśli szereg funkcji nieujemnych
jest jednostajnie zbieżny.
Wyróżnienia
Szereg może być jednostajnie zbieżny i bezwzględnie zbieżny, nie będąc jednostajnie zbieżnym bezwzględnie. Na przykład, jeśli ƒ n ( x ) = x n / n w przedziale otwartym (−1,0), to szereg Σ f n ( x ) jest zbieżny jednostajnie przez porównanie sum cząstkowych z sumami Σ (−1) n / n , oraz szereg Σ| fa n ( x )| zbiega się bezwzględnie w każdym punkcie przez test szeregów geometrycznych, ale Σ| fa n ( x )| nie zbiega się jednostajnie. Intuicyjnie dzieje się tak, ponieważ zbieżność bezwzględna staje się coraz wolniejsza, gdy x zbliża się do -1, gdzie zbieżność zachodzi, ale zbieżność bezwzględna zawodzi.
Uogólnienia
Jeżeli szereg funkcji jest jednostajnie bezwzględnie zbieżny w jakimś sąsiedztwie każdego punktu przestrzeni topologicznej, to jest on lokalnie jednostajnie bezwzględnie zbieżny . Jeśli szereg jest jednostajnie zbieżny bezwzględnie na wszystkich zwartych podzbiorach przestrzeni topologicznej, to jest zwarty (jednostajnie) bezwzględnie zbieżny . Jeśli przestrzeń topologiczna jest lokalnie zwarta , pojęcia te są równoważne.
Nieruchomości
- Jeśli szereg funkcji w C (lub dowolnej przestrzeni Banacha ) jest jednostajnie zbieżny bezwzględnie, to jest jednostajnie zbieżny.
- Jednolita zbieżność bezwzględna jest niezależna od uporządkowania szeregu. Dzieje się tak, ponieważ w przypadku szeregu funkcji nieujemnych zbieżność jednostajna jest równoważna właściwości, że dla dowolnego ε > 0 istnieje skończenie wiele wyrazów szeregu, tak że wykluczenie tych wyrazów daje szereg o sumie mniejszej niż stała funkcja ε, a właściwość ta nie odnosi się do porządku.