Jednolita zbieżność

W dziedzinie analizy matematycznej zbieżność jednostajna jest sposobem zbieżności funkcji silniejszym niż zbieżność punktowa . Sekwencja funkcji ${n}}}$$\ displaystyle$$jeśli$ zbiega się równomiernie do funkcji ograniczającej na zbiorze, , biorąc pod uwagę dowolną małą liczbę dodatnią, fa { $} styl wyświetlania \epsilon }$ , można znaleźć taką liczbę , że każda z funkcji $+2},\ldots}$$N$${N}, f_ {N + 1}, f_ {$ różni się $}$ nie więcej niż $w$ każdym punkcie w $mi$ x $E$ . Opisane w sposób nieformalny, jeśli ${\ Displaystyle f_ {n}}$$(x)}$$x$ ) { \ ${\ Displaystyle f ( x)}$ jest „jednolity” w całej swojej dziedzinie w następującym sensie: aby zagwarantować, że mieści się w określonej odległości $n} (x)$$}$ { $\ Displaystyle f (x)}$$można$ , nie musimy znać wartości znaleźć pojedynczą wartość ${\ Displaystyle N = N (\ epsilon)}$ niezależny od ${\ Displaystyle x}$ tak, że wybranie ${\ Displaystyle n \ geq N}$ zapewni, że ${\ Displaystyle f_ {n} ( X)}$ mieści się w wszystkich ${\ displaystyle$$\ epsilon }$$(x)}$ dla wszystkich . W przeciwieństwie do tego, $podanego$ punktowa $}$ do gwarantuje jedynie, że dla każdego z góry możemy znaleźć ${\ displaystyle x \ in$ ${\ Displaystyle N = N (\ epsilon, x)}$ ( ${\ Displaystyle N}$ może zależeć od wartości ${\ Displaystyle x}$ ) tak, że dla tego konkretnego ${\ Displaystyle x$ } ${\ Displaystyle f_ {n} (x)}$ mieści się w zakresie ${\ Displaystyle \ epsilon}$ fa ${\ Displaystyle f (x)}$ ilekroć $Displaystyle n \ geq N}$ .

Różnica między zbieżnością jednostajną a zbieżnością punktową nie została w pełni doceniona na początku historii rachunku różniczkowego, co prowadziło do przypadków błędnego rozumowania. Koncepcja, która została po raz pierwszy sformalizowana przez Karla Weierstrassa , jest ważna, ponieważ kilka właściwości funkcji , takich jak $całkowalność$ Riemanna i, z dodatkowymi hipotezami, różniczkowalność , są przenoszone do granicy ${\ displaystyle f}$ jeśli zbieżność jest jednostajna, ale niekoniecznie, jeśli zbieżność nie jest jednostajna.

Historia

W 1821 Augustin-Louis Cauchy opublikował dowód, że zbieżna suma funkcji ciągłych jest zawsze ciągła, dla którego Niels Henrik Abel w 1826 znalazł rzekome kontrprzykłady w kontekście szeregu Fouriera , argumentując, że dowód Cauchy'ego musiał być błędny. W tamtym czasie nie istniały całkowicie standardowe pojęcia konwergencji, a Cauchy zajmował się konwergencją za pomocą nieskończenie małych metod. Przekładając to na współczesny język, Cauchy udowodnił, że jednostajnie zbieżny ciąg funkcji ciągłych ma ciągłą granicę. Niepowodzenie jedynie punktowo zbieżnej granicy funkcji ciągłych w zbieżności do funkcji ciągłej ilustruje znaczenie rozróżnienia między różnymi typami zbieżności podczas obsługi sekwencji funkcji.

Termin zbieżność jednostajna został prawdopodobnie po raz pierwszy użyty przez Christopha Gudermanna w artykule z 1838 r. na temat funkcji eliptycznych , w którym użył wyrażenia „zbieżność w sposób jednolity”, gdy „tryb zbieżności” szeregu ${\ textstyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n} (x, \ phi, \ psi)}$$niezależne$ od zmiennych i ${\ displaystyle \ psi.}$ Chociaż uważał to za „niezwykły fakt”, gdy szereg zbiegał się w ten sposób, nie podał formalnej definicji ani nie użył tej właściwości w żadnym ze swoich dowodów.

Później uczeń Gudermanna, Karl Weierstrass , który uczęszczał na jego kurs funkcji eliptycznych w latach 1839–1840, ukuł termin gleichmäßig konvergent ( niem . Jednolicie zbieżny ), którego użył w swoim artykule Zur Theorie der Potenzreihen z 1841 r . , opublikowanym w 1894 r. Niezależnie podobne koncepcje były wyartykułowane przez Philippa Ludwiga von Seidela i George'a Gabriela Stokesa . GH Hardy'ego porównuje trzy definicje w swoim artykule „Sir George Stokes i koncepcja jednolitej zbieżności” i zauważa: „Odkrycie Weierstrassa było najwcześniejsze i tylko on w pełni zdawał sobie sprawę z jego daleko idącego znaczenia jako jednej z podstawowych idei analizy”.

Pod wpływem Weierstrassa i Bernharda Riemanna koncepcja ta i związane z nią kwestie były pod koniec XIX wieku intensywnie badane przez Hermanna Hankela , Paula du Bois-Reymonda , Ulisse Diniego , Cesare Arzelà i innych.

Definicja

Najpierw zdefiniujemy zbieżność jednostajną dla funkcji o wartościach rzeczywistych , chociaż pojęcie to można łatwo uogólnić na funkcje odwzorowujące przestrzenie metryczne i, bardziej ogólnie, przestrzenie jednorodne (patrz poniżej ).

Załóżmy $,$$jest$ zbiorem i na . Mówimy, że ciąg ${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ jest jednostajnie zbieżny na ${\ displaystyle E}$ z granicą $n \ geq N}$$R}}$ jeśli dla każdego $,$ liczba naturalna $displaystyle$ że ​​dla wszystkich ${$ i dla wszystkich ${\ displaystyle x \ in mi}$

${\ Displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) | <\ epsilon.}$

Notacja jednolitej zbieżności do nie jest całkiem znormalizowana, a różni autorzy używali różnych symboli, w tym (w mniej więcej malejącej kolejności popularności): $f_ {n}$${\ displaystyle$

${\ Displaystyle f_ {n} \ rightrightarrows f, \ quad {\ underset {n \ do \ infty}} {\ operatorname {unif \ lim}}} f_ {n} = f, \ quad f_ {n} {\ overset { \mathrm {unif.} }{\longrightarrow }}f,\quad f=u-\lim _{n\do \infty}f_{n}.}$

Często nie stosuje się żadnego specjalnego symbolu, a autorzy po prostu piszą

${\ Displaystyle f_ {n} \ do f \ quad \ operatorname {jednolicie}}$

aby wskazać, że zbieżność jest jednostajna. ( $}$$przysłówka$ wyrażenie ${\ Displaystyle x \ w mi}$ oznacza punktową zbieżność mi \ displaystyle $E$ : dla wszystkich , ${\ Displaystyle f_ {n} (x) \ do f (x)}$ jak ${\ Displaystyle n \ do \ infty}$ .)

Ponieważ jest kompletną przestrzenią metryczną $,$ kryterium Cauchy'ego można zastosować do podania równoważnego alternatywnego sformułowania dla jednolitej zbieżności: ${n \ in \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle (f_ {n})$ zbiega się równomiernie na (w poprzednim sensie) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $istnieje$ liczba naturalna $0}$${\ displaystyle N}$ takie, że

${\ Displaystyle x \ w E, m, n \ geq N \ implikuje | f_ {m} (x) -f_ {n} (x) | <\ epsilon}$ .

W jeszcze innym równoważnym sformułowaniu, jeśli zdefiniujemy

$\ Displaystyle d_ {n} = \ sup _ {x \ in E} | f_ {n} (x) -f (x) |,}$

fa $Displaystyle f_ {n}}$$\$ zbiega się równomiernie wtedy i tylko wtedy, gdy $\ Displaystyle d_ {n} \ do 0}$ n $\ Displaystyle n \ do \ infty }$ . W ten sposób możemy scharakteryzować jednostajną zbieżność ( prosta) zbieżność $}$$}$ ${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ w przestrzeni funkcyjnej ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {E}}$ w odniesieniu do jednolitej metryki (zwana także metryką supremum ), zdefiniowana przez

${\ Displaystyle d (f, g) = \ sup _ {x \ w E} | f (x) -g (x) |.}$

Symbolicznie,

${\ Displaystyle f_ {n} \ rightrightarrows f \ iff d (f_ {n}, f) \ do 0}$ .

że sekwencja ${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ jest lokalnie jednostajnie zbieżna z granicą $f}$ mi $mi$$\ displaystyle$ jest przestrzenią metryczną i dla każdego $displaystyle$ taka, że ${\ Displaystyle (f_ {n})}$$r>$ zbiega się równomiernie na ${\ Displaystyle B (x, r) \ cap E.}$ Jest oczywiste, że zbieżność jednostajna implikuje lokalną zbieżność jednostajną, co implikuje zbieżność punktową.

Notatki

$\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$ sekwencja funkcji $zbiega$$się$ jednostajnie do ${$ uwagę dowolnie małą $∈$ znaleźć tak, że wszystkie funkcje $\$$displaystyle n> N}$ mieszczą się w „rurze” o szerokości displaystyle f_ {n}} ${\ Displaystyle 2 \ epsilon}$ skupione wokół (tj. między $Displaystyle$$f (x) - \ epsilon}$ i $(x) +\epsilon }$ ) dla całej dziedziny funkcji.

$,$ że zamiana kolejności kwantyfikatorów w definicji zbieżności jednostajnej poprzez przesunięcie „dla wszystkich” $istnieje$ liczba naturalna definicją. punktowej zbieżności ciągu. Aby ta różnica była $}$ , w przypadku zbieżności jednostajnej od $\ Displaystyle \$$.$ wybór musi działać dla wszystkich $,$$określonej$ wartości, podana $\ Displaystyle \ epsilon}$ w przypadku zbieżności punktowej może zależeć zarówno od $,$$x$ } i wybór $}$$displaystyle N}$ musi działać tylko dla określonych wartości i ${\ displaystyle \ epsilon$ , które są podane. Zatem zbieżność jednostajna implikuje zbieżność punktową, jednak sytuacja odwrotna nie jest prawdziwa, jak ilustruje przykład w poniższej sekcji.

Uogólnienia

Można w prosty sposób rozszerzyć to pojęcie na funkcje E → M , gdzie ( M , d ) jest przestrzenią metryczną , zastępując ${\ Displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) |}$ z re $\ Displaystyle d (f_ {n} (x), f (x)) }$ .

Najbardziej ogólnym ustawieniem jest zbieżność jednostajna siatek funkcji E → X , gdzie X jest przestrzenią jednorodną . Mówimy, że sieć ${\ Displaystyle (f _ {\ alfa})}$ zbiega się równomiernie z granicą fa : mi → X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia V w X istnieje ${\ displaystyle \ alpha _ {0}}$ , takie, że dla każdego x w E i co ${\ Displaystyle \ alfa \ geq \ alfa _ {0}}$ , ${\ Displaystyle (f _ {\ alfa} (x), f ( x))}$ jest w V . W tej sytuacji jednostajna granica funkcji ciągłych pozostaje ciągła.

Definicja w hiperrealnej scenerii

Jednolita zbieżność dopuszcza uproszczoną definicję w hiperrealnym otoczeniu. Zatem sekwencja $,$ się do $f$ jeśli dla wszystkich $\ displaystyle f_ {n} ^ {*} (x)}$ w i wszystkich nieskończonych , fa { jest nieskończenie blisko ${\ Displaystyle f ^ {*} (x)}$ (patrz mikrociągłości dla podobnej definicji jednolitej ciągłości).

Przykłady

Dla podstawowego przykładu $jednolitej$$1/2$ : sekwencja $^$ równomiernie, podczas gdy nie W szczególności załóżmy, że ${\ Displaystyle \ epsilon = 1/4}$ . Każda funkcja ${\ Displaystyle (1/2) ^ {x + n}}$ jest mniejsze lub równe ${\ Displaystyle 1/4}$ , gdy ${\ Displaystyle n \ geq 2}$ , niezależnie wartości ${\ displaystyle x}$ . $displaystyle$ drugiej strony, $tylko$ lub równe przy stale wartościach $n}$ gdy wartości są wybierane $1$ (wyjaśnione bardziej szczegółowo poniżej).

Mając przestrzeń topologiczną X , możemy wyposażyć przestrzeń ograniczonych funkcji rzeczywistych lub zespolonych nad X w jednolitą topologię norm , z jednolitą metryką zdefiniowaną przez

${\ Displaystyle d (f, g) = \ | fg \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ w X} | f (x) -g (x) |.}$

Wtedy jednostajna zbieżność oznacza po prostu zbieżność w topologii jednolitej normy :

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \|f_ {n} -f \|_ {\ infty} = 0}$ .

Sekwencja funkcji ${\ Displaystyle (f_ {n})}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} f_ {n}: [0,1] \ do [0,1] \\ f_ {n}(x)=x^{n}\end{przypadki}}}$

$punktowo,$ klasycznym przykładem sekwencji funkcji, która zbiega się do funkcji ale nie równomiernie. Aby to $f}$ , najpierw zauważamy, że granica punktowa as $\ Displaystyle$$n \ do \ infty}$ funkcją daną przez

${\ Displaystyle f (x) = \ lim _ {n \ do \ infty} f_ {n} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} 0, i x \ w [0,1); \ \1,&x=1.\end{przypadki}}}$

$f_{n}(0)=f(0)=0$ punktowa: fa $f_$ ) = $x=1$ and $f_{n}(1)=f(1)=1$, for all $n$. For ${\ Displaystyle x \ in (0,1)}$$i$ biorąc pod uwagę zapewnić, że ${\ Displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) | <\ epsilon}$ ilekroć ${\ Displaystyle n \ geq N}$ wybierając ${\ Displaystyle N = \ lceil \ log \ epsilon / \ log x \ rceil}$ (tutaj górne nawiasy kwadratowe wskazują zaokrąglenie w górę, patrz funkcja sufitu ). Stąd $f$ dla wszystkich $} \ do$ \ $\ epsilon}$ , że wybór zależy od wartości i $displaystyle$${\ displaystyle x}$ . Co więcej, dla ustalonego wyboru $}$ którego nie można zdefiniować jako mniejszego) rośnie bez ograniczeń w $miarę zbliżania się do 1. Obserwacje$ wykluczają możliwość jednolitego ${\ displaystyle \ epsilon$ konwergencja.

Niejednorodność zbieżności: zbieżność nie jest $}$ , ponieważ możemy znaleźć takie, że bez względu na to, jak duże wybierzemy będą wartości ${\ Displaystyle x \ w [0,1]}$${\ displaystyle \ epsilon > 0$ i ${\ Displaystyle n \ geq N}$ takie, że ${\ Displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) | \ geq \ epsilon .}$$Aby$ to zobaczyć, najpierw zauważ, że niezależnie od tego, jak duży się, zawsze istnieje ${\ Displaystyle x_ {0} \ w [0,1)}$ takie, że ${\ Displaystyle f_ {n} (x_ {0}) = 1/2.$ } jeśli wybierzemy ${\ Displaystyle \ epsilon = 1/4,} nigdy$$że$ możemy znaleźć takiego, ${\ Displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) | <\ epsilon}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ w [0,1]}$ i ${\ Displaystyle n\geq N}$ . Wyraźnie, niezależnie od tego, jakiego kandydata wybierzemy dla ${\ Displaystyle N}$ rozważ wartość fa $\ Displaystyle f_ {N}}$ w ${\ Displaystyle x_ {0} = (1/2) ^ {1/N} }$ . Od

${\ Displaystyle \ lewo | f_ {N} (x_ {0}) -f (x_ {0}) \ prawo | = \ lewo | \ lewo [\ lewo ({\ Frac { 1}{2}}\right)^{\frac {1}{N}}\right]^{N}-0\right|={\frac {1}{2}}>{\frac {1} {4}}=\epsilon ,}$

$umknął ” naszej$ ponieważ znaleźliśmy przykład elementu, $\$ „ograniczenia” każdego w obrębie ${\ Displaystyle \ epsilon}$ od ${\ Displaystyle f}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ w [0,1]}$ . W rzeczywistości łatwo to zauważyć

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \|f_ {n} -f \|_ {\ infty} = 1,}$

wbrew wymaganiu, że ${\ Displaystyle \|f_ {n} -f \|_ {\ infty} \ do 0}$ jeśli ${\ Displaystyle f_ {n} \ rightrightarrows f }$ .

Na tym przykładzie łatwo zauważyć, że zbieżność punktowa nie zachowuje różniczkowalności ani ciągłości. Chociaż każda funkcja sekwencji jest gładka, to znaczy, że dla wszystkich n , ${\ Displaystyle f_ {n} \ w C ^ {\ infty} ([0,1] )}$ , granica ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} f_ {n}}$ nie jest nawet ciągła.

Funkcja wykładnicza

Można wykazać, że rozwinięcie szeregowe funkcji wykładniczej jest jednostajnie zbieżne na $pomocą$ ograniczonym podzbiorze testu Weierstrassa .

Twierdzenie (test M Weierstrassa). Niech ${\ Displaystyle (f_ {n})}$ będzie sekwencją funkcji ${\ displaystyle f_ {n}: E \ do \ mathbb {C}}$ i niech ${\ displaystyle M_{n}}$ będzie ciągiem dodatnich liczb rzeczywistych takich, że ${\ Displaystyle | f_ {n} (x) | \ równoważnik M_ {n}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ w E}$ i ${\ Displaystyle n = 1,2,3, \ ldots}$ Jeśli ${\ textstyle \ suma _ {n} M_ {n} }$$.$ , a następnie absolutnie i równomiernie na $E}$ displaystyle

Złożoną funkcję wykładniczą można wyrazić jako szereg:

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {z ^ {n}} {n!}}.}$

Każdy ograniczony podzbiór jest podzbiorem jakiegoś dysku $displaystyle$ promieniu $R,}$ wyśrodkowanym na początku płaszczyzny . Test M Weierstrassa wymaga od nas znalezienia górnej granicy na warunkach szeregu, przy czym ${\ displaystyle M_ {n} }$ jest niezależny od pozycji na dysku: ${\ displaystyle M_ {n}}$

${\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {z ^ {n}} {n!}} \ prawo | \ równoważnik M_ {n}, \ forall z \ w D_ {R}.}$

Aby to zrobić, zauważamy

${\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {z ^ {n}} {n!}} \ prawo | \ równoważnik {\ Frac {| z | ^ {n}} {n!}} \ równoważnik {\ Frac {R ^{n}}{n!}}}$

i weźmy ${\ Displaystyle M_ {n} = {\ tfrac {R ^ {n}} {n!}}.}$

Jeśli $jednostajnie$ to test M potwierdza, że ​​​​pierwotny szereg

Test proporcji można zastosować tutaj:

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty}} {\ Frac {M_ {n + 1}}} {M_ {n}}} = \ lim _ {n \ do \ infty }{\frac {R^{n+1}}{R^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}=\lim _{n\to \infty}{ \frac {R}{n+1}}=0}$

$,$ ​​szereg po zbieżny. Zatem oryginalny szereg jest zbieżny jednostajnie dla wszystkich $}$${$ displaystyle S ${\ Displaystyle S.}$

Nieruchomości

• Każdy ciąg jednostajnie zbieżny jest lokalnie jednostajnie zbieżny.
• Każdy ciąg lokalnie jednostajnie zbieżny jest zbieżny zwarto .
• Dla przestrzeni lokalnie zwartych lokalna zbieżność jednostajna i zbieżność zwarta pokrywają się.
• Sekwencja funkcji ciągłych w przestrzeniach metrycznych, przy czym przestrzeń metryczna obrazu jest zupełna, jest jednostajnie zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednostajnie Cauchy'ego .
• Jeśli jest $zwartym przedziałem ($$x$ ogólnie zwartą przestrzenią topologiczną) ${\ Displaystyle f_ {n} (x) \ równoważnik f_ {n + 1} (x)}$ rosnącą sekwencją ( oznacza dla wszystkich n i x ) ciągłego funkcje z granicą punktową, $jest$ również ciągła, to zbieżność jest koniecznie jednostajna ( twierdzenie Diniego ). $,$ jeśli jest zwartym przedziałem i $jest$ ciągiem równociągłym , który zbiega punktowo

Aplikacje

Do ciągłości

Główny artykuł: jednolite twierdzenie graniczne

Kontrprzykład dla wzmocnienia twierdzenia o zbieżności jednostajnej, w którym zakłada się zbieżność punktową, a nie jednostajną. Ciągłe zielone funkcje ${\ Displaystyle \ sin ^ {n} (x)}$ się do nieciągłej funkcji czerwonej. Może się to zdarzyć tylko wtedy, gdy zbieżność nie jest jednostajna.

Jeśli $:$ są przestrzeniami topologicznymi , to $: E$ sens mówienie o ciągłości funkcji $n$ f . Jeśli dodatkowo założymy, że $M}$ przestrzenią metryczną , to (jednolita) zbieżność do M $displaystyle$${\ displaystyle f}$ jest również dobrze zdefiniowany. Następujący wynik stwierdza, że ​​ciągłość jest zachowana przez zbieżność jednostajną:

Jednolite twierdzenie graniczne - Załóżmy $że$ przestrzenią topologiczną, metryczną $i$$jest$ funkcji ${\ Displaystyle f_ {n}: E \ do M}$ . fa ${\ displaystyle f_ {n} \ rightrightarrows f}$ mi $\ displaystyle E}$ , to ${\ displaystyle f}$ jest również ciągły.

Twierdzenie to jest udowodnione za pomocą „ sztuczki ε/3 ” i jest archetypowym przykładem tej sztuczki: aby udowodnić daną nierówność ( ε ), używa się definicji ciągłości i zbieżności jednostajnej, aby uzyskać 3 nierówności ( ε/3 ), a następnie łączy je za pomocą nierówności trójkąta, aby uzyskać pożądaną nierówność.

To twierdzenie jest ważne w historii analizy rzeczywistej i analizy Fouriera, ponieważ wielu XVIII-wiecznych matematyków intuicyjnie rozumiało, że ciąg funkcji ciągłych zawsze zbiega się do funkcji ciągłej. Powyższy obraz pokazuje kontrprzykład, a wiele nieciągłych funkcji można w rzeczywistości zapisać jako szereg Fouriera funkcji ciągłych. Błędne twierdzenie, że punktowa granica ciągu funkcji ciągłych jest ciągła (pierwotnie wyrażona jako zbieżny szereg funkcji ciągłych) jest niesławnie znane jako „błędne twierdzenie Cauchy'ego”. Jednolite twierdzenie graniczne pokazuje, że potrzebna jest silniejsza forma zbieżności, jednostajna zbieżność, aby zapewnić zachowanie ciągłości funkcji granicznej.

Dokładniej, to twierdzenie stwierdza, że ​​jednostajna granica funkcji jednostajnie ciągłych jest jednostajnie ciągła; dla lokalnie zwartej ciągłość jest równoważna lokalnej ciągłości jednostajnej, a zatem jednostajna granica funkcji ciągłych jest ciągła.

Do różniczkowalności

Jeśli jest $\ displaystyle$ i wszystkie funkcje są różniczkowalne i zbiegają się do granicy , często pożądane jest wyznaczenie funkcji pochodnej $} fa n {$${\ displaystyle f_ {n}$$}} \ displaystyle f'}$ biorąc granicę ciągu ${\ displaystyle f'_ {n}}$ . Jest to jednak generalnie niemożliwe: nawet jeśli zbieżność jest jednostajna, funkcja graniczna nie musi być różniczkowalna (nawet jeśli ciąg składa się z analitycznych wszędzie , patrz funkcja Weierstrassa ), a nawet jeśli jest różniczkowalna, pochodna funkcja graniczna nie musi być równa granicy pochodnych. Rozważmy na przykład ${\ Displaystyle f_ {n} (x) = n ^ {- 1/2} {\ sin (nx)}}$ z jednolitym limitem ${\ Displaystyle f_ {n} \ rightrightarrows f \ równoważnik 0}$ . Oczywiście, ${\ displaystyle f'}$ jest również identycznie zerowe. Jednak pochodne sekwencji funkcji są podane przez ${\ Displaystyle f'_ {n} (x) = n ^ {1/2} \ cos nx,}$ a sekwencja nie zbiega się ani do ${\ displaystyle f'_$ ani nawet do żadnej funkcji. ${n}}$ Aby zapewnić związek między granicą ciągu funkcji różniczkowalnych a granicą ciągu pochodnych, wymagana jest jednostajna zbieżność ciągu pochodnych plus zbieżność ciągu funkcji w co najmniej jednym punkcie:

Jeśli ${\ Displaystyle (f_ {n})}$ jest sekwencją różniczkowalnych funkcji na ${\ Displaystyle [a, b]}$ tak, że ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} f_ {n} (x_ {0})}$ istnieje (i jest skończony) przez pewien ${\ Displaystyle x_ {0} \ w [a, b] }$ i sekwencja ${\ Displaystyle (f'_ {n})}$ zbiega się równomiernie na ${\ Displaystyle [a, b]}$ , wtedy ${\ Displaystyle f_ {n}}$ zbiega się równomiernie do funkcji ${\ Displaystyle f}$ na ${\ Displaystyle [a, b]}$ i ${\ Displaystyle f' (x) = \ lim _ {n \ do \ infty} f'_ {n} (x)}$ dla ${\ Displaystyle x \ w [a, b] }$ .

Do integralności

Podobnie często chce się wymieniać całki i procesy graniczne. W przypadku całki Riemanna można to zrobić, zakładając jednostajną zbieżność:

Jeśli $\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$$jest$ ciągiem funkcji całkowalnych Riemanna zdefiniowanych na zwartym przedziale , który równomiernie zbiegają ${\ displaystyle f_ {n}}$ z granicą $fa$ to jest całkowalna Riemanna, a jej całkę można obliczyć jako granicę całek z $displaystyle f_ {n}}$ :

$${\ Displaystyle \ int _ {I} f = \ lim _ {n \ do \ infty} \ int _ {I} f_ {n}.}$$

W rzeczywistości dla jednostajnie zbieżnej rodziny funkcji ograniczonych w przedziale górne i dolne całki Riemanna zbiegają się do górnych i dolnych całek Riemanna funkcji granicznej. Wynika to z faktu, że dla wystarczająco dużego n wykres jest w obrębie ε wykresu fa $,$ więc suma górna i dolna sumy $}$ mieszczą się w obrębie ${\ Displaystyle \ varepsilon | ja |}$ wartości odpowiednio górnej i $sumy$ .

Znacznie silniejsze twierdzenia w tym zakresie, które wymagają niewiele więcej niż zbieżności punktowej, można uzyskać, jeśli porzuci się całkę Riemanna i zamiast niej zastosuje się całkę Lebesgue'a .

Do analityczności

Korzystając z twierdzenia Morery , można pokazać, że jeśli ciąg funkcji analitycznych jest jednostajnie zbieżny w obszarze S płaszczyzny zespolonej, to granica jest analityczna w S. Ten przykład pokazuje, że funkcje zespolone zachowują się lepiej niż funkcje rzeczywiste, ponieważ jednolita granica funkcji analitycznych na rzeczywistym przedziale nie musi nawet być różniczkowalna (patrz funkcja Weierstrassa ).

Do serii

Mówimy, że ${\textstyle \ suma _ {n=1} ^ {\ infty} f_ {n}}$ zbieżny:

1. s $} f_ {j} (x)}$ jot ${\ Displaystyle s_ {n} (x) = \ suma _ {j = 1}$ ^ zbiega się dla każdego ${\ displaystyle x \ in mi}$ .
2. równomiernie na E wtedy i tylko wtedy, gdy s _n zbiega się równomiernie jak ${\ displaystyle n \ do \ infty}$ .
3. absolutnie na E wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ textstyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} | f_ {n} |}$ zbiega się dla każdego ${\ displaystyle x \ in mi}$ .

Z tą definicją wynika następujący wynik:

₀₀₀ Niech x będzie zawarte w zbiorze E i każda f _n będzie ciągła w x . Jeśli ${\ textstyle f = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n}}$ zbiega się jednostajnie na E , to f jest ciągłe w x w E . Załóżmy, że ${\ Displaystyle E = [a, b]}$ i każdy fa _n jest całkowalne na E . Jeśli ${\ textstyle \ suma _ {n=1} ^ {\ infty} f_ {n}}$ zbiega się jednostajnie na E , to f jest całkowalne na E , a szereg całek f _n jest równy całka szeregu f _n .

Prawie jednostajna zbieżność

Jeśli dziedziną funkcji jest przestrzeń miary E , to można zdefiniować powiązane pojęcie zbieżności prawie jednostajnej . Mówimy, że ciąg funkcji $n})}$$δ$$\ displaystyle E_ {} \ delta }}$ zbiega się prawie równomiernie na E , jeśli dla każdego mierzalny zbiór mi z miarą mniejszą niż ${\ displaystyle \ delta}$ tak, że sekwencja funkcji $\ setminus E _$ się równomiernie na $delta}$ . Innymi słowy, zbieżność prawie jednostajna oznacza, że ​​istnieją zbiory o dowolnie małych miarach, dla których sekwencja funkcji zbiega się jednostajnie w ich dopełnieniu.

Zauważ, że prawie jednolita zbieżność ciągu nie oznacza, że ​​ciąg zbiega się jednostajnie prawie wszędzie , jak można wywnioskować z nazwy. Jednak twierdzenie Jegorowa gwarantuje, że w przestrzeni o skończonej mierze ciąg funkcji, który zbiega się prawie wszędzie, również zbiega się prawie równomiernie w tym samym zbiorze.

Niemal jednostajna zbieżność implikuje prawie wszędzie zbieżność i zbieżność miar .

Zobacz też

• Jednostajna zbieżność prawdopodobieństwa
• Tryby konwergencji (indeks z adnotacjami)
• Twierdzenie Diniego
• Twierdzenie Arzelà-Ascoli

Notatki

•   Konrad Knopp , Teoria i zastosowanie nieskończonych szeregów ; Blackie and Son, Londyn, 1954, przedrukowany przez Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2 .
• GH Hardy , Sir George Stokes i koncepcja zbieżności jednostajnej ; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 19 , s. 148–156 (1918)
•   Bourbaki ; Elementy matematyki: ogólna topologia . Rozdziały 5–10 (miękka oprawa) ; ISBN 0-387-19374-X
• Walter Rudin , Zasady analizy matematycznej , wyd. 3, McGraw-Hill, 1976.
•   Gerald Folland , Analiza rzeczywista: nowoczesne techniki i ich zastosowania, wydanie drugie, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 .
• William Wade, Wprowadzenie do analizy , wyd. 3, Pearson, 2005

Linki zewnętrzne

• „Jednolita zbieżność” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Graficzne przykłady zbieżności jednostajnej szeregu Fouriera z University of Colorado