Ciąg jednostajnie Cauchy'ego

W matematyce mówi się, że sekwencja funkcji ze zbioru S $do$ metrycznej M jednostajnie , :

• ${\ Displaystyle d (f_ {n} (x), f_ {m} (x)) <\ varepsilon}$ wszystkich $\ Displaystyle \ varepsilon > 0$$istnieje$ takie $x$ że : ilekroć ${\ Displaystyle m, n> N}$ .

Innym sposobem na powiedzenie tego jest to, że ${\ Displaystyle d_ {u} (f_ {n}, f_ {m}) \ do 0}$ as ${\ Displaystyle m, n \ do \ infty }$ , gdzie jednolita odległość $displaystyle d_ {u}}$ dwiema funkcjami jest zdefiniowana przez re u {

${\ Displaystyle d_ {u} (f, g): = \ sup _ {x \ w S} d (f (x), g (x)).}$

Kryteria konwergencji

Ciąg funkcji { f _n } od S do M jest punktowo Cauchy'ego, jeśli dla każdego x ∈ S ciąg { f _n ( x )} jest ciągiem Cauchy'ego w M . Jest to warunek słabszy niż bycie jednostajnie Cauchy'ego.

Ogólnie sekwencja może być punktowo Cauchy'ego i nie punktowo zbieżna, lub może być jednostajnie Cauchy'ego i niejednostajnie zbieżna. Niemniej jednak, jeśli przestrzeń metryczna M jest zupełna , to dowolny punktowy ciąg Cauchy'ego zbiega się punktowo do funkcji od S do M . Podobnie, każdy jednostajnie ciąg Cauchy'ego będzie miał jednostajną tendencję do takiej funkcji.

Jednorodna właściwość Cauchy'ego jest często używana, gdy S jest nie tylko zbiorem, ale przestrzenią topologiczną , a M jest zupełną przestrzenią metryczną. Zachodzi następujące twierdzenie:

• Niech S będzie przestrzenią topologiczną, a M zupełną przestrzenią metryczną. Wtedy dowolny ciąg jednostajnie Cauchy'ego funkcji ciągłych f _n : S → M dąży jednostajnie do unikalnej funkcji ciągłej f : S → M .

Uogólnienie do przestrzeni jednolitych

sekwencja funkcji ze zbioru S do jednolitej przestrzeni U jest jednostajnie Cauchy'ego, jeśli: $} \}}$ \ {f_ { n

• Dla wszystkich $Displaystyle$${\ Displaystyle d (f_ {n} (x), f_ {m} (x)) <\ varepsilon}$ każdego otoczenia ${\$ takie , że $N> 0}$ ilekroć ${\ Displaystyle m, n> N}$ .

Zobacz też

• Tryby konwergencji (indeks z adnotacjami)