Tryby konwergencji (indeks z adnotacjami)

Celem tego artykułu jest służyć jako opatrzony adnotacjami indeks różnych trybów zbieżności i ich logicznych relacji. Aby zapoznać się z artykułem objaśniającym, zobacz Tryby konwergencji . Proste logiczne relacje między różnymi trybami zbieżności są wskazane (np. jeśli jeden implikuje inny), raczej formalnie niż prozą dla szybkiego odniesienia, a szczegółowe opisy i dyskusje są zarezerwowane dla odpowiednich artykułów.

---

Przewodnik po tym indeksie. Aby uniknąć nadmiernego rozwlekłości, zauważ, że każdy z następujących typów obiektów jest szczególnym przypadkiem poprzedzających go typów: zbiory , przestrzenie topologiczne , przestrzenie jednolite , topologiczne grupy abelowe (TAG), znormalizowane przestrzenie wektorowe , przestrzenie euklidesowe oraz rzeczywista / złożona liczby. Należy również zauważyć, że każda przestrzeń metryczna jest przestrzenią jednostajną. Wreszcie, podtytuły zawsze będą wskazywać specjalne przypadki ich nagłówków.

Poniżej znajduje się lista trybów konwergencji dla:

Sekwencja elementów { an _} w przestrzeni topologicznej ( Y )

• Konwergencja lub „zbieżność topologiczna” dla podkreślenia (tj. istnienie granicy).

...w jednolitej przestrzeni ( U )

• Zbieżność Cauchy'ego

Implikacje:

- Zbieżność Cauchy'ego ${\ displaystyle \ Strzałka w prawo}$

- Zbieżność Cauchy'ego i zbieżność podsekwencji razem zbieżność ${\ displaystyle \ Rightarrow} .$

- U nazywa się „kompletnym”, jeśli zbieżność Cauchy'ego (dla sieci) ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ zbieżność.

Uwaga: Sekwencja wykazująca zbieżność Cauchy'ego jest nazywana sekwencją Cauchy'ego , aby podkreślić, że może nie być zbieżna.

Szereg elementów Σ b _k w TAG ( G )

• Zbieżność (sekwencji sumy częściowej)
• Zbieżność Cauchy'ego (ciągu o sumie częściowej)
• Bezwarunkowa zbieżność

Implikacje:

- Bezwarunkowa zbieżność ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ zbieżność (z definicji).

...w przestrzeni unormowanej ( N )

• Zbieżność bezwzględna (zbieżność ${\ Displaystyle \ suma | b_ {k} |}$ )

Implikacje:

- Zbieżność bezwzględna ${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$ Zbieżność Cauchy'ego ${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$ Zbieżność bezwzględna niektórych grup ¹ .

- Dlatego: N to Banach (kompletny), jeśli zbieżność absolutna ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ zbieżność.

- Zbieżność bezwzględna i konwergencja razem bezwarunkowa zbieżność ${\ displaystyle \ Rightarrow} .$

- Bezwarunkowa zbieżność ${\ displaystyle \ not \ Rightarrow}$ zbieżność absolutna, nawet jeśli N to Banach.

$-$ Jeśli N jest przestrzenią euklidesową, to bezwarunkowa zbieżność .

¹ Uwaga: „grupowanie” odnosi się do szeregu otrzymanego przez zgrupowanie (ale nie zmianę kolejności) wyrazów z oryginalnego szeregu. Grupowanie szeregu odpowiada zatem podciągowi jego sum częściowych.

Ciąg funkcji { f _n } ze zbioru ( S ) do przestrzeni topologicznej ( Y )

• Zbieżność punktowa

...ze zbioru ( S ) do jednolitej przestrzeni ( U )

• Jednolita zbieżność
• Punktowa zbieżność Cauchy'ego
• Jednostajna zbieżność Cauchy'ego

Implikacje to przypadki wcześniejszych, z wyjątkiem:

- Zbieżność jednostajna $punktowa,$ jak i jednostajna zbieżność Cauchy'ego.

- Jednostajna zbieżność Cauchy'ego i zbieżność punktowa podsekwencji jednostajnej zbieżności ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ .

...z przestrzeni topologicznej ( X ) do przestrzeni jednolitej ( U )

Dla wielu „globalnych” trybów zbieżności istnieją odpowiadające im pojęcia a ) „lokalnej” i b ) „zwartej” zbieżności, które są określone przez wymaganie wystąpienia zbieżności a ) w jakimś sąsiedztwie każdego punktu lub b ) we wszystkich zwartych podzbiory X . Przykłady:

• Lokalna zbieżność jednostajna (tj. zbieżność jednostajna w sąsiedztwie każdego punktu)
• Zbieżność zwarta (jednostajna) (tj. zbieżność jednostajna we wszystkich podzbiorach zwartych)
• dalsze przypadki tego wzorca poniżej.

Implikacje:

- „Globalne” tryby konwergencji implikują odpowiadające im „lokalne” i „zwarte” tryby konwergencji. Np:

Jednostajna zbieżność ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ zarówno lokalna jednostajna zbieżność, jak i zwarta (jednolita) zbieżność.

- „Lokalne” tryby konwergencji mają tendencję do implikowania „zwartych” trybów konwergencji. Np,

Lokalna jednostajna zbieżność ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ zwarta (jednolita) zbieżność.

- Jeśli jest lokalnie zwarty, odwrotności do takich mają tendencję do posiadania: ${\ displaystyle X}$

Lokalna zbieżność jednolita zwarta (jednolita) zbieżność ${\ displaystyle \ równoważna}$ .

...od przestrzeni miary (S,μ) do liczb zespolonych (C)

• Prawie wszędzie konwergencja
• Prawie jednostajna zbieżność
• Konwergencja Lp ^_
• Konwergencja w miare
• Konwergencja w dystrybucji

Implikacje:

- Zbieżność punktowa $zbieżność$ .

- Jednolita zbieżność ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ prawie jednolita zbieżność.

- Prawie wszędzie zbieżność ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ zbieżność w mierze. (W przestrzeni o skończonej mierze)

- Prawie jednolita zbieżność ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ zbieżność w mierze.

- L ^p zbieżność ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ zbieżność w mierze.

- Zbieżność w mierze ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ zbieżność w rozkładzie, jeśli μ jest miarą prawdopodobieństwa, a funkcje są całkowalne.

Szereg funkcji Σ g _k ze zbioru ( S ) do TAG ( G )

• Zbieżność punktowa (ciągu o sumie częściowej)
• Zbieżność jednostajna (ciągu o sumie częściowej)
• Punktowa zbieżność Cauchy'ego (ciągu o sumie częściowej)
• Jednolita zbieżność Cauchy'ego (ciągu o sumie częściowej)
• Bezwarunkowa zbieżność punktowa
• Bezwarunkowa zbieżność jednostajna

Implikacje to wszystkie przypadki wcześniejszych.

...ze zbioru ( S ) do przestrzeni unormowanej ( N )

Ogólnie, zastąpienie „zbieżności” przez „absolutną zbieżność” oznacza, że ​​odnosimy się do zbieżności szeregu nieujemnych funkcji ${\ Displaystyle \ Sigma | g_ {k} |}$ zamiast ${\ Displaystyle \ Sigma g_ {k}}$ .

• Zbieżność absolutna punktowa (zbieżność punktowa ${\ Displaystyle \ Sigma | g_ {k} |}$ )
• Jednolita zbieżność bezwzględna (jednolita zbieżność ${\ Displaystyle \ Sigma | g_ {k} |}$ )
• Zbieżność normalna (zbieżność szeregu jednolitych norm ${\ Displaystyle \ Sigma || g_ {k}||_ {u}}$ )

Implikacje to przypadki wcześniejszych, z wyjątkiem:

- Normalna zbieżność ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ jednolita zbieżność absolutna

...z przestrzeni topologicznej ( X ) do TAG ( G )

• Lokalna zbieżność jednostajna (ciągu o sumie częściowej)
• Zbieżność zwarta (jednostajna) (ciągu o sumie częściowej)

Implikacje to wszystkie przypadki wcześniejszych.

...z przestrzeni topologicznej ( X ) do przestrzeni unormowanej ( N )

• Lokalna jednostajna zbieżność absolutna
• Zwarta (jednolita) absolutna zbieżność
• Lokalna zbieżność normalna
• Kompaktowa zbieżność normalna

Implikacje (głównie przypadki wcześniejszych):

- Jednostajna zbieżność bezwzględna ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ zarówno lokalna jednostajna zbieżność bezwzględna, jak i zwarta (jednolita) zbieżność bezwzględna.

Zbieżność normalna ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ zarówno lokalna zbieżność normalna, jak i zwarta zbieżność normalna.

- Lokalna zbieżność normalna ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ lokalna jednostajna zbieżność bezwzględna.

Zwarta zbieżność normalna ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$ zwarta (jednolita) zbieżność absolutna.

- Lokalna jednostajna zbieżność bezwzględna ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ zwarta (jednolita) zbieżność absolutna.

Lokalna zbieżność normalna zwarta zbieżność normalna ${\ displaystyle \ Rightarrow}$

- Jeśli X jest lokalnie zwarty:

Lokalna jednostajna zbieżność bezwzględna ${\ displaystyle \ równoważna}$ zwarta (jednolita) zbieżność bezwzględna.

Lokalna zbieżność normalna zwarta zbieżność normalna ${\ displaystyle \ równoważnik}$

Zobacz też

• Granica ciągu
• Konwergencja środków
• Konwergencja w miare
• Zbieżność zmiennych losowych :
  • w dystrybucji
  • w prawdopodobieństwie
  • prawie pewny
  • Jasne
  • w znaczeniu