Oscylacja (matematyka)

Oscylacja sekwencji (pokazana na niebiesko) to różnica między górną i dolną granicą sekwencji.

W matematyce oscylacja funkcji lub sekwencji jest liczbą, która określa ilościowo, jak bardzo ta sekwencja lub funkcja zmienia się między swoimi skrajnymi wartościami , gdy zbliża się do nieskończoności lub punktu. Podobnie jak w przypadku granic , istnieje kilka definicji, które nadają intuicyjnemu pojęciu formę odpowiednią do matematycznego traktowania: oscylacja ciągu liczb rzeczywistych , oscylacja funkcji o wartościach rzeczywistych w punkcie i oscylacja funkcji na przerwa _ (lub zestaw otwarty ).

Definicje

Oscylacja sekwencji

Niech $rzeczywistych$ . Oscylacja tej sekwencji $})}$ definiowana jako różnica (prawdopodobnie nieskończona) między granicą wyższą i gorszą ${\ Displaystyle (a_ {n}) ω ( za$ n $omega (a_ {n})$ :

{\ Displaystyle \ omega (a_ {n}) = \ limsup _ {n \ do \ infty} a_ {n} - \ liminf _{n\do \infty}a_{n}}

.

Oscylacja wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy sekwencja jest zbieżna. Nie jest zdefiniowane, czy ${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ do \ infty}}$ i ${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty}}$ są równe + ∞ lub oba są równe -∞, to znaczy, jeśli sekwencja dąży do + ∞ lub -∞.

Oscylacja funkcji na zbiorze otwartym

Niech będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach $.$ Oscylacja $\ displaystyle f}$ przedziale w swojej dziedzinie jest różnicą między $}$ i infimum fa $fa$ : {

{\ Displaystyle \ omega _ {f} (ja) = \ sup _ {x \ w ja} f (x) - \ inf _ {x \ w ja} f (x).}

Bardziej ogólnie, jeśli jest funkcją w przestrzeni topologicznej (takiej jak przestrzeń metryczna ), to oscylacja ${\ Displaystyle f:$ $X \ do$ $} \displaystyle f}$ na zbiorze otwartym jest $U$

{\ Displaystyle \ omega _ {f} (U) = \ sup _ {x \ w U} f (x) - \ inf _ {x \ w U} f (x).}

Oscylacja funkcji w punkcie

Oscylacja funkcji zmiennej rzeczywistej w punkcie $\$ ${\ displaystyle$ jako granica $\ epsilon \ do 0} fa {$ displaystyle $} \ Displaystyle f}$ na - sąsiedztwo z ${\ Displaystyle x_ {0}} :$ ${\ Displaystyle \ epsilon$ }

{\ Displaystyle \ omega _ {f} (x_ {0}) = \ lim _ {\ epsilon \ do 0} \ omega _ {f} (x_ {0} - \ epsilon, x_ {0} + \ epsilon). }

$,$ co różnica między górną i dolną granicą funkcji w $pod$ , warunkiem, że punkt nie jest wykluczony z granic.

$Bardziej$ ogólnie, jeśli wartościach rzeczywistych w przestrzeni metrycznej to

{\ Displaystyle \ omega _ {f} (x_ {0}) = \ lim _ {\ epsilon \ do 0} \ omega _ {f} (B_ {\ epsilon} (x_ {0})).}

Przykłady

sin (1/ x ) ( krzywa sinusoidalna topologa ) ma oscylację 2 przy x = 0 i 0 gdzie indziej.

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x}}}$ ma oscylację ∞ przy ${\ displaystyle x}$ = 0 i oscylację 0 przy innej skończonej $przy$ -∞ i + ∞.
${\ Displaystyle \ sin {\ Frac {1} {x}}}$ ( krzywa sinusoidalna topologa ) ma oscylację 2 przy ${\ displaystyle x}$ = 0 i 0 gdzie indziej.
${\ Displaystyle \ sin x}$ ma oscylację 0 przy każdej skończonej $i$ przy -∞ i + ∞.
${\ Displaystyle (-1) ^ {x}}$ lub 1, -1, 1, -1, 1, -1 ... ma oscylację 2.

W ostatnim przykładzie sekwencja jest okresowa , a każda sekwencja, która jest okresowa i nie jest stała, będzie miała niezerową oscylację. Jednak niezerowa oscylacja zwykle nie wskazuje na okresowość.

Z geometrycznego punktu widzenia wykres funkcji oscylacyjnej na liczbach rzeczywistych podąża pewną ścieżką w płaszczyźnie xy , bez osiedlania się w coraz mniejszych obszarach. W dobrze wychowanych przypadkach ścieżka może wyglądać jak pętla powracająca do siebie, czyli zachowanie okresowe; w najgorszych przypadkach dość nieregularny ruch obejmujący cały region.

Ciągłość

₀ Oscylacja może być użyta do zdefiniowania ciągłości funkcji i jest łatwo równoważna zwykłej definicji ε - δ (w przypadku funkcji zdefiniowanych wszędzie na prostej rzeczywistej): funkcja ƒ jest ciągła w punkcie x wtedy i tylko wtedy, gdy oscylacja wynosi zero; w symbolach, ${\ Displaystyle \ omega _ {f} (x_ {0}) = 0.}$ Zaletą tej definicji jest to, że określa ona ilościowo nieciągłość: oscylacja podaje, ile funkcja jest nieciągła w punkcie.

Na przykład w klasyfikacji nieciągłości :

w usuwalnej nieciągłości odległość, o którą różni się wartość funkcji, to oscylacja;
w skoku nieciągłości rozmiarem skoku jest oscylacja (przy założeniu, że wartość w punkcie leży pomiędzy tymi granicami z dwóch stron);
w istotnej nieciągłości oscylacja mierzy brak istnienia granicy.

Definicja ta jest przydatna w opisowej teorii mnogości do badania zbioru nieciągłości i punktów ciągłych – punkty ciągłe to przecięcia zbiorów, w których oscylacja jest mniejsza niż ε (stąd zbiór G _δ ) – i daje bardzo szybki dowód jednego kierunek warunku całkowalności Lebesgue'a .

₀₀ Oscylacja jest równoważna definicji ε - δ przez proste przekształcenie i użycie granicy ( lim sup , lim inf ) do zdefiniowania oscylacji: jeśli (w danym punkcie) dla danego ε nie ma δ , które spełnia definicji ε - δ , to oscylacja wynosi co najmniej ε i odwrotnie, jeśli dla każdego ε istnieje pożądane δ, oscylacja wynosi 0. Definicję oscylacji można w naturalny sposób uogólnić na mapy od przestrzeni topologicznej do przestrzeni metrycznej.

Uogólnienia

Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli f : X → Y jest funkcją z przestrzeni topologicznej X do przestrzeni metrycznej Y , to oscylacja f jest zdefiniowana w każdym x ∈ X przez

\ Displaystyle \ omega (x) = \ inf \ left\{\mathrm {średnica} (f(U))\mid U\mathrm {\ jest\ a\ sąsiedztwo\ of\ } x\right\}}

Zobacz też

Dalsza lektura

Hewitta i Stromberga (1965). Analiza rzeczywista i abstrakcyjna . Springer-Verlag. P. 78 . ISBN 9780387901381 .
Oxtoby, J (1996). Miara i kategoria (wyd. 4). Springer-Verlag. s. 31–35. ISBN 978-0-387-90508-2 .
Pugh, CC (2002). Prawdziwa analiza matematyczna . Nowy Jork: Springer. s. 164–165 . ISBN 0-387-95297-7 .