Krzywa sinusoidalna topologa

Gdy x zbliża się do zera z prawej strony, wielkość tempa zmian 1/ x wzrasta. Dlatego częstotliwość fali sinusoidalnej wzrasta wraz z przesuwaniem się wykresu w lewo.

W gałęzi matematyki znanej jako topologia sinusoida topologa lub warszawska krzywa sinusoidalna jest przestrzenią topologiczną o kilku interesujących właściwościach, które czynią ją ważnym przykładem podręcznikowym.

Można go zdefiniować jako wykres funkcji sin(1/ x ) na przedziale półotwartym (0, 1] wraz z początkiem układu współrzędnych, pod topologią indukowaną z płaszczyzny euklidesowej :

$\ Displaystyle T = \ lewo \ {\ lewo (x \ sin {\ tfrac {1} {x }}\right):x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}.}$

Nieruchomości

T topologa jest spójna , ale nie jest połączona lokalnie ani połączona ścieżką . Dzieje się tak, ponieważ zawiera punkt (0,0), ale nie ma możliwości połączenia funkcji z początkiem, aby utworzyć ścieżkę .

Przestrzeń T jest ciągłym obrazem przestrzeni lokalnie zwartej (mianowicie niech V będzie przestrzenią {−1} ∪ (0, 1] i użyj mapy f od V do T określonej przez f (−1) = (0 ,0) i f ( x ) = ( x , sin(1/ x )) dla x > 0), ale T samo nie jest lokalnie zwarte.

Wymiar topologiczny T wynosi 1 .

Warianty

Dwa warianty krzywej sinusoidalnej topologa mają inne interesujące właściwości.

Krzywą sinusoidalną zamkniętego topologa można zdefiniować, biorąc krzywą sinusoidalną topologa i dodając jej zestaw punktów granicznych , ${\ Displaystyle \ {(0, y) \ mid y \w [-1,1]\}}$ ; niektóre teksty definiują samą krzywą sinusoidalną topologa jako tę zamkniętą wersję, ponieważ wolą używać terminu „krzywa sinusoidalna zamkniętego topologa” w odniesieniu do innej krzywej. Ta przestrzeń jest zamknięta i ograniczona i tak dalej zwarty według twierdzenia Heinego – Borela , ale ma podobne właściwości do krzywej sinusoidalnej topologa - również jest połączony, ale nie jest połączony lokalnie ani połączony ścieżkami.

Krzywą sinusoidalną rozszerzonego topologa można zdefiniować, biorąc krzywą sinusoidalną zamkniętego topologa i dodając do niej zbiór ${\ Displaystyle \ {(x, 1) \ mid x \ in [0,1]\}}$ . Jest podłączony łukowo , ale nie jest podłączony lokalnie .

Zobacz też

• Lista topologii
• kółko warszawskie

•    Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( przedruk Dover z 1978 r.), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., s. 137–138, ISBN 978-0-486-68735 -3 , MR 1382863
• Weisstein, Eric W. „Krzywa sinusoidalna topologa” . MathWorld .