Wymiar obejmujący Lebesgue'a

W matematyce wymiar Lebesgue'a obejmujący wymiar lub wymiar topologiczny przestrzeni topologicznej jest jednym z kilku różnych sposobów definiowania wymiaru przestrzeni w topologicznie niezmienny sposób.

Nieformalna dyskusja

W przypadku zwykłych przestrzeni euklidesowych wymiar obejmujący Lebesgue'a jest po prostu zwykłym wymiarem euklidesowym: zero dla punktów, jeden dla linii, dwa dla płaszczyzn i tak dalej. Jednak nie wszystkie przestrzenie topologiczne mają tego rodzaju „oczywisty” wymiar , dlatego w takich przypadkach potrzebna jest dokładna definicja. Definicja przechodzi przez zbadanie, co się dzieje, gdy przestrzeń jest pokryta zbiorami otwartymi .

Ogólnie rzecz biorąc, przestrzeń topologiczna X może być pokryta zbiorami otwartymi w tym sensie, że można znaleźć taki zbiór zbiorów otwartych, że X leży wewnątrz ich sumy . Wymiar pokrycia jest najmniejszą liczbą n taką, że dla każdego pokrycia istnieje uściślenie , w którym każdy punkt w X leży na przecięciu nie więcej niż n + 1 zestawów pokrycia. To jest sedno formalnej definicji poniżej. Celem definicji jest podanie liczby ( liczby całkowitej ), która opisuje przestrzeń i nie zmienia się, gdy przestrzeń jest w sposób ciągły deformowana; to znaczy liczba, która jest niezmienna w przypadku homeomorfizmów .

Ogólną ideę ilustrują poniższe diagramy, które pokazują okładkę i udoskonalenia koła i kwadratu.

Udoskonalenie okładki koła

Pierwszy obraz przedstawia udoskonalenie (na dole) kolorowej osłony (na górze) czarnej okrągłej linii. Zwróć uwagę, że w udoskonaleniu żaden punkt na linii nie jest zawarty w więcej niż dwóch zestawach, a także w jaki sposób zestawy łączą się ze sobą, tworząc „łańcuch”.

Udoskonalenie okładki kwadratu

Górna połowa drugiego obrazu przedstawia okładkę (kolorową) o płaskim kształcie (ciemna), w której wszystkie punkty kształtu są zawarte w dowolnym miejscu od jednego do wszystkich czterech zestawów okładki. Dół pokazuje, że każda próba udoskonalenia wspomnianej osłony w taki sposób, aby żaden punkt nie zawierał się w więcej niż dwóch zestawach - ostatecznie kończy się niepowodzeniem na przecięciu ustalonych granic. Zatem płaski kształt nie jest „pajęczynowy”: nie może być pokryty „łańcuchami” per se. Zamiast tego okazuje się być *grubszy* w pewnym sensie. Mówiąc ściślej, jego wymiar topologiczny musi być większy niż 1.

Definicja formalna

Henri Lebesgue użył zamkniętych „cegieł” do badania wymiarów w 1921 roku.

Pierwsza formalna definicja wymiaru obejmującego została podana przez Eduarda Čecha na podstawie wcześniejszych wyników Henri Lebesgue'a .

Nowoczesna definicja jest następująca. Otwarte pokrycie przestrzeni topologicznej $,$ to rodzina zbiorów otwartych U _{α takich,} ich suma jest całą przestrzenią U _α = X . Kolejność lub warstwa otwartej okładki to najmniejsza liczba m (jeśli istnieje) , dla której każdy punkt przestrzeni należy co najwyżej ZA $\ Displaystyle {\ mathfrak {A}}}$ = { U _{α }} m otwarte _{zestawy w :} okładce innymi $słowy$ dla α _{+1 1} , , _{α m .} różne _ _ Udoskonalenie otwartej $każda$ to kolejna _otwarta okładka , $_$ że V _{_} _ _ _β jest zawarte w pewnym U _α . Wymiar pokrycia przestrzeni topologicznej X jest definiowany jako minimalna wartość n taka, że ​​​​każda skończona otwarta pokrywa $}$ ma otwarte uściślenie $}}}$ { $\ displaystyle {\ mathfrak {B$ z rzędem n + 1. Zatem, jeśli n jest skończone, V _{β 1} ∩ ⋅⋅⋅ ∩ V _{β n +2} = ${\ displaystyle \ emptyset}$ dla β ₁ , ..., β _{n + 2} różne. Jeśli takie minimalne n nie istnieje, mówi się, że przestrzeń ma nieskończony wymiar pokrycia.

W szczególnym przypadku niepusta przestrzeń topologiczna jest zerowymiarowa w odniesieniu do wymiaru pokrywającego, jeśli każde otwarte pokrycie przestrzeni ma uściślenie składające się z rozłącznych zbiorów otwartych, tak że dowolny punkt w przestrzeni jest zawarty w dokładnie jednym zbiorze otwartym tego wyrafinowania.

Zbiór pusty ma wymiar pokrycia -1: dla dowolnego otwartego pokrycia zbioru pustego każdy punkt zbioru pustego nie jest zawarty w żadnym elemencie pokrycia, więc rząd dowolnej pokrycia otwartego wynosi 0.

Przykłady

Każda dana otwarta osłona okręgu jednostkowego będzie miała udoskonalenie składające się ze zbioru otwartych łuków. Okrąg ma wymiar jeden, zgodnie z tą definicją, ponieważ każde takie pokrycie można dalej uściślić do etapu, w którym dany punkt x okręgu jest zawarty w co najwyżej dwóch otwartych łukach. Oznacza to, że niezależnie od tego, od jakiego zbioru łuków zaczniemy, niektóre można odrzucić lub zmniejszyć, tak aby reszta nadal pokrywała okrąg, ale z prostymi nakładami.

Podobnie, dowolna otwarta pokrywa dysku jednostkowego w płaszczyźnie dwuwymiarowej może być udoskonalona tak, że dowolny punkt dysku mieści się w nie więcej niż trzech otwartych zestawach, podczas gdy dwa są na ogół niewystarczające. Wymiar pokrycia krążka wynosi zatem dwa.

Mówiąc bardziej ogólnie, n - wymiarowa $przestrzeń$ ma wymiar n .

Nieruchomości

• homeomorficzne mają ten sam wymiar pokrycia. Oznacza to, że wymiar pokrywający jest niezmiennikiem topologicznym .
• Wymiar pokrywający normalnej przestrzeni X jest $zamkniętego$ i tylko wtedy, gdy dla dowolnego podzbioru A z X , jeśli $\ Displaystyle f: A \ rightarrow S ^ {n} }$ jest ciągłe, to istnieje rozszerzenie do sol $Displaystyle g: X \ rightarrow S ^$$n}}$ . Tutaj ${\ Displaystyle S ^ {n}}$ to n -wymiarowa kula .
• Twierdzenie Ostranda o barwnym wymiarze. Jeśli X jest normalną przestrzenią topologiczną i $ZA {\ displaystyle {\ mathfrak {A}}} = {$ lokalnie skończonym pokryciem X rzędu ≤ n + l, to dla każdego 1 ≤ ja ≤ n + 1 U α _} , _{istnieje rozłącznych _} rodzina $.$ _zbiorów otwartych _ $_$ , tj. V _{i , α} ⊆ U _α , i razem obejmujące X .

Związki z innymi pojęciami wymiaru

• W przypadku przestrzeni parazwartej X wymiar pokrycia można równoważnie zdefiniować jako minimalną wartość n , tak że każda otwarta osłona z ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}}$ (dowolnego rozmiaru) ma otwarte wygładzenie $} \displaystyle {\mathfrak {B}}}$ z rzędem n + 1. W szczególności dotyczy to wszystkich przestrzeni metrycznych.
• Twierdzenie Lebesgue'a obejmujące. Wymiar obejmujący Lebesgue'a pokrywa się z wymiarem afinicznym skończonego kompleksu symplicalnego .
• Wymiar pokrycia normalnej przestrzeni jest mniejszy lub równy dużemu wymiarowi indukcyjnemu .
• Wymiar pokrycia parazwartej przestrzeni Hausdorffa jest większy lub równy jej wymiarowi kohomologicznemu (w sensie snopów $)$${\ Displaystyle H ^ {i } (X, A) = 0}$ to znaczy, że ma się dla każdego snopka grup abelowych na $displaystyle$$X}$ i na każdym $i}$ większy niż wymiar pokrycia ${\ displaystyle X}$ .
• W przestrzeni metrycznej można wzmocnić pojęcie krotności okładki: okładka ma r -krotność n + 1 , jeśli każda r -kula przecina co najwyżej n + 1 zestawów w okładce. Pomysł ten prowadzi do definicji wymiaru asymptotycznego i wymiaru Assouada – Nagaty przestrzeni: przestrzeń o wymiarze asymptotycznym n jest n -wymiarowa „w dużej skali”, a przestrzeń o wymiarze Assouad – Nagata to n -wymiarowe „w każdej skali”.

Zobacz też

• Twierdzenie Carathéodory'ego o rozszerzeniu
• Geometryczny problem z okładką zestawu
• Teoria wymiarów
• Przestrzeń metakompaktowa
• Zbiór punktowo skończony

Notatki

•    Edgar, Gerald A. (2008). „Wymiar topologiczny”. Miara, topologia i geometria fraktalna . Teksty licencjackie z matematyki (wyd. Drugie). Springer-Verlag . s. 85–114. ISBN 978-0-387-74748-4 . MR 2356043 .
•    Engelking, Ryszard (1978). Teoria wymiarów (PDF) . Biblioteka Matematyczna Holandii Północnej. Tom. 19. Amsterdam-Oxford-Nowy Jork: Holandia Północna. ISBN 0-444-85176-3 . MR 0482697 .
•   Godement, Roger (1958). Topologie algébrique et théorie des faisceaux . Publications de l'Institut de Mathématique de l'Université de Strasbourg (w języku francuskim). Tom. III. Paryż: Hermann. MR 0102797 .
•   Hurewicz, Witold; Wallman, Henry (1941). Teoria wymiarów . Seria matematyczna Princeton. Tom. 4. Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton . MR 0006493 .
•    Munkres, James R. (2000). Topologia (wyd. 2). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2 . MR 3728284 .
•   Ostrand, Phillip A. (1971). „Wymiar pokrycia w przestrzeniach ogólnych”. Topologia ogólna i aplikacje . 1 (3): 209–221. MR 0288741 .

Dalsza lektura

Historyczny

•   Karl Menger , Przestrzenie ogólne i przestrzenie kartezjańskie , (1926) Komunikaty do Akademii Nauk w Amsterdamie. Tłumaczenie angielskie przedrukowane w Classics on Fractals , Gerald A.Edgar, redaktor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
• Karl Menger , Dimensionstheorie , (1928) BG Teubner Publishers, Lipsk.

Nowoczesny

•    Gruszki, Alan R. (1975). Teoria wymiarów przestrzeni ogólnych . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . ISBN 0-521-20515-8 . MR 0394604 .
•   VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , pojawiające się w Encyclopaedia of Mathematical Sciences, tom 17, General Topology I , (1993) AV Archangielskii i LS Pontryagin (red.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178- 4 .

Linki zewnętrzne

• „Wymiar Lebesgue'a” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]