Wymiar Assouad-Nagata

W matematyce wymiar Assouad -Nagata (czasami po prostu wymiar Nagata ) to pojęcie wymiaru dla przestrzeni metrycznych , wprowadzone przez Jun-iti Nagata w 1958 r. I przeformułowane przez Patrice'a Assouada w 1982 r., Który wprowadził obecnie powszechną definicję.

Definicja

Assouada – Nagaty przestrzeni metrycznej ( X , d ) jest zdefiniowany jako najmniejsza liczba całkowita n , dla której istnieje stała C > 0 taka, że ​​​​dla wszystkich r > 0 przestrzeń X ma ograniczone przez Cr pokrycie z r -krotnością co najwyżej n + 1 . Tutaj Cr -ograniczona oznacza, że ​​średnica każdego zestawu pokrycia jest ograniczona przez Cr , a r -krotność jest najmniejszą liczbą całkowitą k ≥ 0 taką, że każdy podzbiór X o średnicy co najwyżej r ma niepuste przecięcie z co większość k członków pokrycia.

Definicję tę można przeformułować, aby była bardziej podobna do definicji obejmującej wymiar Lebesgue'a . Wymiar Assouada – Nagaty przestrzeni metrycznej ( X , d ) jest najmniejszą liczbą całkowitą n , dla której istnieje stała c > 0 taka, że ​​dla każdego r > 0 pokrycie X przez r -kulki ma uściślenie z cr - krotność co najwyżej n + 1 .

Związek z innymi pojęciami wymiaru

Porównaj podobne definicje Lebesgue'a obejmujące wymiar i wymiar asymptotyczny . Przestrzeń ma wymiar obejmujący Lebesgue'a co najwyżej n , jeśli jest co najwyżej n -wymiarowa w skali mikroskopowej, i wymiar asymptotyczny co najwyżej n , jeśli wygląda co najwyżej n -wymiarowo po oddaleniu tak daleko, jak potrzebujesz. Aby mieć wymiar Assouada – Nagaty co najwyżej n , przestrzeń musi wyglądać co najwyżej n -wymiarowo w każdej możliwej skali, w jednolity sposób we wszystkich skalach.

Wymiar Nagata przestrzeni metrycznej jest zawsze mniejszy lub równy jej wymiarowi Assouada .