Nigdzie funkcja ciągła

W matematyce funkcja nigdzie nieciągła , zwana także funkcją wszędzie nieciągłą , jest funkcją , która nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny . Jeśli $jest$ funkcją od liczb rzeczywistych do liczb rzeczywistych, to $,$ jeśli dla każdego punktu $Displaystyle$ jakiś $\ varepsilon > 0}$ $takie$ $,$ że dla każdego znaleźć że ${\ Displaystyle | xy | <\ delta}$ i ${\ Displaystyle | f (x) -f (y) | \ geq \ varepsilon}$ . Dlatego bez względu na to, jak bardzo zbliżymy się do dowolnego stałego punktu, istnieją jeszcze bliższe punkty, w których funkcja przyjmuje wartości niebliskie.

Bardziej ogólne definicje tego rodzaju funkcji można uzyskać, zastępując wartość bezwzględną funkcją odległości w przestrzeni metrycznej lub stosując definicję ciągłości w przestrzeni topologicznej .

Przykłady

Funkcja Dirichleta

Jednym z przykładów takiej funkcji jest funkcja wskaźnika liczb wymiernych , znana również jako funkcja Dirichleta . Ta funkcja jest oznaczona jako $i$ domenę i kodomenę liczbom rzeczywistym . Z definicji ${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {\ mathbb {Q}} (x)}$ jest równe ${\ Displaystyle 1},$ jeśli $inaczej$ $x}$ jest liczbą wymierną i jest $inaczej,$ jeśli jest .

Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli jest dowolnym podzbiorem $jak$ topologicznej takim, że zarówno $displaystyle E},$ $\$ i dopełnienie są $}$ w $X,}$ ${\ displaystyle$ , a następnie funkcja o wartościach rzeczywistych, która przyjmuje wartość $\$ mi $displaystyle E}$ i ${\ displaystyle 0}$ na uzupełnieniu mi {\ displaystyle $}$ nie będzie nigdzie ciągły. Funkcje tego typu były pierwotnie badane przez Petera Gustava Lejeune Dirichleta .

Nietrywialne funkcje addytywne

Funkcja jest nazywana funkcją addytywną , jeśli spełnia równanie funkcjonalne Cauchy'ego : ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y) \ quad {\ tekst {dla wszystkich}} x, y \ w \ mathbb {R}.}

Na przykład każda mapa postaci gdzie jest

}

\ mapsto cx

jest addytywna (w rzeczywistości jest , i ciągłe). Ponadto każda mapa liniowa ma tę postać (biorąc

} 1)}

Displaystyle L: \ mathbb {R} \ do \

).

Chociaż każda mapa liniowa jest addytywna, nie wszystkie mapy addytywne są liniowe. Mapa addytywna $,$ punkt, w którym jest ciągła, w którym to przypadku jest ciągła $jest$ nieliniowa funkcja addytywna nieciągła w każdym punkcie swojej Niemniej jednak ograniczenie dowolnej funkcji addytywnej ${R}} do$ $mathbb$ rzeczywistej skalarnej wielokrotności liczb wymiernych jest ciągła; $wyraźnie$ oznacza to, ${\ Displaystyle f {\ duży \ vert} _ {r \ mathbb {Q}}: r \ \ mathbb {Q} \ do \ mathbb {R}} do zbioru$ ograniczenia r ${\ Displaystyle r \, \ mathbb {Q} : = \ {rq: q \ in \ mathbb {Q} \}} jest$ funkcją ciągłą. Zatem jeśli $Displaystyle$ $} ,}$ funkcją addytywną, to dla każdego punktu $\ in \ mathbb$ ${\ displaystyle f}$ jest nieciągły w ${\ displaystyle x}$ , ale jest również zawarty w niektórych ${\ displaystyle x}$ gęsty $,$ na $ograniczenie$ _ ${\ displaystyle f \ vert _ {D}: D \ do \ mathbb {R}}$ jest ciągła (konkretnie, weź ${\ displaystyle D: = x \, \ mathbb {Q} }$ jeśli ${\ Displaystyle x \ neq 0,}$ i weź re ${\ Displaystyle D: = \ mathbb {Q}}$ jeśli ${\ displaystyle x = 0}$ ).

Nieciągłe mapy liniowe

Liniowa mapa między dwiema topologicznymi przestrzeniami wektorowymi , takimi jak na przykład przestrzenie znormalizowane , jest ciągła (wszędzie) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje punkt, w którym jest ciągła, w którym to przypadku jest nawet jednostajnie ciągła . W konsekwencji każda mapa liniowa jest albo ciągła wszędzie, albo ciągła nigdzie. Każdy funkcjonał liniowy jest mapą liniową iw każdej nieskończenie wymiarowej unormowanej przestrzeni istnieje jakiś nieciągły funkcjonał liniowy .

Inne funkcje

Conwaya o podstawie 13 jest nieciągła w każdym punkcie.

Charakteryzacja hiperrealistyczna

Rzeczywista funkcja $nie jest$ ${\ Displaystyle f (x) -f (y)}$ naturalne hiperrealne $rozszerzenie$ ma tę właściwość, że każdy jest nieskończenie bliski a tak, różnica $)$ jest znacząca (to znaczy nie nieskończenie mała ).

Zobacz też

Twierdzenie Blumberga - nawet jeśli rzeczywista funkcja $\ displaystyle D}$ $\ mathbb {R}} takie$ $nigdzie$ ciągła, istnieje gęsty podzbiór $D$ { $ciągłe$ $,$ że ograniczenie jest .
Funkcja Thomae (znana również jako funkcja popcornu) - funkcja ciągła dla wszystkich liczb niewymiernych i nieciągła dla wszystkich liczb wymiernych.
Funkcja Weierstrassa – funkcja ciągła wszędzie (wewnątrz swojej dziedziny) i nigdzie nie różniczkowalna .

Linki zewnętrzne

„Funkcja Dirichleta” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Funkcja Dirichleta — z MathWorld
Zmodyfikowana funkcja Dirichleta zarchiwizowana 2019-05-02 w Wayback Machine przez George'a Becka, The Wolfram Demonstrations Project .