Twierdzenie Blumberga

W matematyce twierdzenie Blumberga stwierdza, że ​​​​dla dowolnej $}$$rzeczywistej$ istnieje gęsty podzbiór R $\ Displaystyle D}$$D$$ciągłe$ { R $,$ takie że ograniczenie do jest .

Przykłady

Na przykład ograniczenie funkcji Dirichleta ( funkcja wskaźnika liczb wymiernych $)$ do $jest$ ciągła, chociaż funkcja Dirichleta nigdzie nie ciągła ${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$

Przestrzenie Blumberga

$,$ bardziej ogólnie, Blumberga jest przestrzenią topologiczną dla której dowolna $Twierdzenie$$.$ gęstego Blumberga stwierdza zatem, że $($ w swoją zwykłą topologię) jest przestrzenią Blumberga.

Jeśli jest przestrzenią metryczną $,$$to$ jest przestrzenią Blumberga wtedy i tylko wtedy, gdy jest Baire'a .

Motywacja i dyskusja

Ograniczenie dowolnej funkcji ciągłej do dowolnego podzbioru jej dziedziny (gęstej lub innej) jest zawsze ciągłe, więc wniosek z twierdzenia Blumberga jest interesujący tylko dla funkcji, które nie są ciągłe. Biorąc pod uwagę funkcję, która nie jest ciągła, zwykle nie jest zaskakujące odkrycie, że jej ograniczenie do pewnego podzbioru ponownie nie jest ciągłe, więc tylko te ograniczenia, które są ciągłe, są (potencjalnie) interesujące. Jednak nie wszystkie takie ograniczenia są interesujące. Na przykład ograniczenie dowolnej funkcji (nawet tak interesującej jak funkcja Dirichleta ) do dowolnego podzbioru, w którym jest stała, będzie ciągła, chociaż fakt ten jest równie nieciekawy jak funkcje stałe. Podobnie nieciekawe jest ograniczenie dowolnej funkcji (ciągłej lub nie) do pojedynczego punktu lub ${\ displaystyle \ mathbb {$ skończonego podzbioru (lub bardziej ogólnie do dowolnej dyskretnej podprzestrzeni $}} {R}$$,$ takie jak liczby będą ciągłe.

Znacznie bardziej interesującym przypadkiem jest funkcja nieciągła, $ograniczenie$$do$ jakiegoś podzbioru (jej domeny) jest ciągłe. Ważnym faktem dotyczącym funkcji ciągłych $wartościach$$zdefiniowanych$ w gęstych podzbiorach jest to, że ciągłe rozszerzenie do wszystkich jeśli takie istnieje, będzie unikalne ( istnieją funkcje ciągłe zdefiniowane na gęstych podzbiorach $,$ jak ${\ Displaystyle f (x) = 1/x,}$ można rozszerzać w sposób ciągły dla wszystkich ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ).

funkcja Thomae nie $liczb$ ciągła (w rzeczywistości jest nieciągła przy każdej liczbie wymiernej), chociaż jej ograniczenie do gęstego podzbioru wymiernych jest ciągłe. Podobnie każda funkcja addytywna , $\ mathbb {R}}$ nie jest liniowa (to znaczy nie postaci dla niektórych ${R} \ do$ stała jest nigdzie ciągłą funkcją , której ograniczenie do jest ciągłe (takie funkcje są nietrywialnymi rozwiązaniami równania funkcjonalnego Cauchy'ego $∈ R {\$$Displaystyle c \ in \ mathbb {R$ ). Rodzi to pytanie: czy zawsze można znaleźć tak gęsty podzbiór? Twierdzenie Blumberga odpowiada na to pytanie twierdząco. Innymi słowy, każda funkcja $źle się$ bez względu na to, jak - być ograniczona do jakiegoś gęstego podzbioru, w którym jest ciągła. Mówiąc inaczej, twierdzenie Blumberga pokazuje, że nie istnieje funkcja, $),$ że wszystkie jej wszystkie możliwe gęste podzbiory są nieciągłe.

Konkluzja twierdzenia staje się bardziej interesująca, gdy funkcja staje się bardziej patologiczna lub źle się zachowuje. Wyobraź $}$ zdefiniowanie funkcji przez wybranie każdej wartości całkowicie losowo ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {$ (więc jego wykres wyglądałby jak nieskończenie wiele punktów rozrzuconych losowo $)$ ; bez względu na to, jak to sobie wyobrażałeś, twierdzenie Blumberga gwarantuje, że nawet ta funkcja ma jakiś gęsty podzbiór, na którym jej ograniczenie jest ciągłe.

Zobacz też

• Twierdzenie o grafie zamkniętym (analiza funkcjonalna) - Twierdzenia łączące ciągłość z zamknięciem grafów
• Gęsto zdefiniowany operator - Funkcja, która jest zdefiniowana prawie wszędzie (matematyka)
• Twierdzenie Hahna – Banacha - Twierdzenie o rozszerzeniu ograniczonych funkcjonałów liniowych
• Twierdzenie o rozszerzeniu Tietze - funkcje ciągłe na zamkniętym podzbiorze normalnej przestrzeni topologicznej można rozszerzyć
• Twierdzenie Whitneya o rozszerzeniu - Częściowa odwrotność twierdzenia Taylora

Notatki

• Blumberg, Henry (1922). „Nowe właściwości wszystkich funkcji rzeczywistych” (PDF) . Obrady Narodowej Akademii Nauk . 8 (1): 283-288.
• Blumberg, Henry (1922). „Nowe właściwości wszystkich funkcji rzeczywistych” . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 24 : 113-128.
• Bradford, JC; Goffman, Casper (1960). „Przestrzenie metryczne, w których zachodzi twierdzenie Blumberga” . Proceedings of the American Mathematical Society . 11 : 667-670.
• Biały, ON (1974). „Przestrzenie topologiczne, w których zachodzi twierdzenie Blumberga” . Proceedings of the American Mathematical Society . 44 : 454-462.
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Blumberg_theorem